null§2.5 逆矩阵★逆矩阵的概念
★矩阵可逆的条件
★逆矩阵的求法§2.5 逆矩阵 矩阵之间没有定义除法，而数的运算有除法，本节相对于实数中的除法运算，引入逆矩阵的概念。上页 下页逆阵的概念则说方阵 A 是可逆的，并把方阵 B 称为 A 的逆矩阵。逆阵的概念注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。 由定义即得：当B为A 的逆矩阵时，A也是B 的逆矩阵。例如定义2.7 对于n阶方阵A，如果有一个n 阶方阵B，使AB = BA = I，上页 下页nullB = A -1 。命
题
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1: 如果方阵A是可逆的，则 A 的逆阵一定是唯一的。
证明
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：设 B、C 都是 A的逆矩阵，则有B = BI = B（AC）=（BA）C = IC = C，所以 A 的逆阵是唯一的。A的逆阵记作 A -1 。即若AB = BA = I，则例如因为AB=BA=I，所以B是A的逆阵，即B = A -1上页 下页矩阵可逆的条件称为A的伴随矩阵。 定义2.9：行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下方阵矩阵可逆的条件上页 下页定义2.8 若n阶方阵A的行列式非奇异的。则称方阵A是null类似地有■ 利用Th1.4－1.5有证明： 设 ，记 ，则上页 下页命题2 AA* = A*A = |A|I 。故null定理2.1 n阶阵 A=(aij)可逆<==>A 非奇异 。且 证明：(=>) A可逆，即有 A -1 ，使 AA -1 = I，故 |A|·|A -1 |=|I| = 1，
所以 |A| ≠ 0 ，即A为非奇异。 (<=)设A非奇异，由命题2知 A A＊= A*A=|A| I，因|A| ≠ 0 ，故从而■上页 下页null注：定理2.1可用来求一些矩阵的逆矩阵。例如故A可逆。 需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算A的逆矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可能很大。
对于阶数高于3 的矩阵，以后将介绍用初等变换的方法来求逆矩阵。上页 下页 当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵。 由定理2.1可得：
矩阵A 是可逆方阵的充分必要条件是 |A| ≠ 0 。例2(P75)所以A可逆。
验证例2(P75)上页 下页Ex.1解：Ex.1求A的逆矩阵。设因|A| = 24≠0，知A可逆。又A11= 12，A22= 8，A33= 6，
Aij= 0，(i, j = 1,2,3，且i ≠ j )所以于是上页 下页例3(P76)证明：可直接按定义来验证这一结论。例3(P76)则上页 下页Ex.2解Ex.2设计算AB，并求A-1。经简单计算，得即于是由推论知上页 下页nullB = I B =（A -1 A）B = A -1 （AB）= A -1 I = A -1 。推论 若 AB = I（或 BA = I），则B = A -1 。证明：因为|A| |B| = |I| ＝1，故|A| ≠ 0，因而 A -1存在，于是（P77）■上页 下页 这个结论
表
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明,以后验证一个矩阵是否可逆或是另一个矩阵的逆矩阵时,只需要证明一个等式AB=In或BA= In即可,而用不着按定义同时验证两个等式，工作量减少一半.null例4．设n阶矩阵A满足aA2+bA+cI=O，证明A为可逆矩阵，并求 A–1 ，(a,b,c为常数,且c≠0) 解根据定理2. 1的推论, A可逆证毕上页 下页Ex.3解Ex.3设又3阶方阵B满足等式其中I是3阶单位阵，求B。由可得上页 下页null上页 下页null逆矩阵的性质：证证 上页 下页null其中 k 为正整数。定义上页 下页例5(P78) 若A、B、C是同阶矩阵 ，且A可逆，证明下列结论中(1)、(3)成立，举例说明(2)、(4)不一定成立。因 A 可逆，所以有 A-1A＝I ，于是有 IB=IC例5(P78)(1)、若AB=AC，则B=C解：(2)、若AB=CB，则A=C(3)、若AB=O，则B=O(4)、若BC=O，则B=O(1)、若AB=AC，等式两边左乘A-1，有A-1 AB=A-1AC即 B=C上页 下页null(2)、设则有虽然 AB=CB，但 A≠C(3)、若AB=O，等式两边左乘A-1，有A-1 AB=A-1O从而 IB=O，即 B＝O(4)、设则有虽然 BC=O，但 B≠O上页 下页例6(P79)解：由A可逆，有例6(P79)上页 下页证明：如果n阶矩阵A可逆，则其伴随矩阵A*也可逆，且且即由此可知A*可逆，且又由有从而又有所以例7(P79)分块方阵解：设 D可逆，且同阶的方阵，于是有即这样又有例7(P79)其中 A，B 分别为r阶与k阶可逆方阵，C是r×k矩阵，O是k×r零矩阵。证明D可逆，并求D-1。其中 X，Y 分别为与A,B上页 下页null再用B-1右乘上式，得 于是得到容易验证上页 下页null试求A–1 .练习上页 下页null试求A–1 .练习上页 下页null上页 下页
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