哈尔滨工业大学秋数值分析试题及答案

1．用Newton迭代法解方程32340fxxx的根2x，讨论迭代法的收敛阶，设计修正的方法提高迭代法的收敛阶；并对初值01.5x迭代二步，结果保留3位小数。解：设32()34fxxx2()36fxxx()66fxx(2)0,(2)0,(2)0fff所以2是()0fx的二重根，故Newton迭代在2附近是线性收敛；构造修正的Newton迭代：32122()2(34)()36nnnnnnnfxxxxxxfxxx2243nnnxxx200102437/183xxxx21121243997/19982.0013xxxx2．给定线性方程组Axb，其中242492227A，8201b（1）利用Doolittle（杜利特尔）三角分解求解此线性方程组；（2）使用乘幂法计算矩阵A的特征值和对应的特征向量。（初值取(0)T(1,0,0)v。只需计算前三次迭代，给出计算过程和结果，计算结果保留四位小数。）解：（1）由Doolittle三角分解ALU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，得111213111213212223212223313233313233100100100aaauuuaaaluuaaallu即242100242492210012227121001原方程变为LybUxy，解得8,4,1,1,2,1TTyx。（2）0000(1,0,0),1,0,0max()TTvvuv1102,4,2TvAu，1110.5,1,0.5max()Tvuv4216,12,6.5TvAu，2220.5,1,0.5417max()Tvuv12326.0834,12.0834,6.7919TvAu，3330.5035,1,0.5621max()Tvuv，12.08343．已知()sx是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定32312()2(1)(1)(1)xxsxbxcxdx0112xx中的参数b，c和d。解：记31232()12()2(1)(1)(1)sxxxsxbxcxdx，由三次样条和自然边界条件的定义，有121212(10)(10),'(10)'(10),''(10)''(10)ssssss12''(0)0,''(2)0ss解得，1,3,1bcd。4．确定两点求积公式201-222()()()33fxdxAfAf系数01,AA,使求积公式有尽可能高的代数精度。是否是Gauss型的？并用此公式计算积分20sinxdx,(结果保留四位小数)解：令()1,fxx求积公式准确成立，有：0101422()()033AAAA得：012AA求积公式：2222()2()2()33fxdxff令23(),fxxx求积公式准确成立的，4()fxx求积公式不是准确成立的，求积公式代数精度为3，是Gauss型的；作变换(2),[2,2]8xtt222022sinsin(2)sin(2)222888822[2sin(2)2sin(2))]888330.9985xdxtdttdt5．已知函数()fx满足数表：ix-102ifx10161）试求()fx在-1,2上的Hermite插值多项式()Hx,使之满足下列条件：()(),0,1,2iiHxfxi，1()0Hx2）设(4)()[0,2]fxC， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 余项(4)2()()()()(1)(2)4!fRxfxHxxxx，(-1,2)解：(1)设230123()Hxaaxaxax,由0123001231(1)1(0)0(2)24816'(0)0HaaaaHaHaaaaHa得23()23Hxxx（2）设余项2()()()()(1)(2)RxfxHxkxxxx，()kx为待求函数。构造2(2()()()()(1))tftHtktxtt，则(1)0,(0)0,(2)0,'(0)0,()0x故()t有5个零点，(4)()t至少有一个零点：(4)(4)()4!()(0)kfx所以(4))4!(()kxf，余项表达式为(4)2()()()()(1)(2)4!fRxfxHxxxx6．利用逆Broyden迭代法，解方程组221222124010xxxx，取初值01.6,1.2x迭代二步，结果保留3位小数。逆Broyden秩1方法：11()()()()iiiiiTiiiiiiiTiiyxxHFxrHHHrHyrH解：记221222124()1xxFxxx，则121222'()22xxFxxx0[1.6,1.2]x，0100.156250.15625'[]0.2083330.208333HFx00121121[1.58125,1.225][0.000976562,0.120273][0.01875,0.025]0.1543450.1543450.2064280.210238[1.58114,1.22474][0.000977866,0.000291477][0.000108524,0.000259077]0.1501450.150xyrHxyrH1450.2022280.2144387．求数据1,2,0,1,1,2,2,4的最小二乘拟合多项式201xaax解：法方程为0146961820aa得017/613/18aa。8．应用差分方法：112[3]4nnhyyKK121(,)2(+,)33nnnnKfxyhKfxyhK解初值问题0-(0)yyyy时，讨论步长应取何值方能保证方法的绝对稳定性？解：应用差分格式为：1221(12/3)(1/2)nnnnKyKhyyhhy，h需要满足2|/2|11hh所以02.h9．给定线性多步法：111412333nnnnyyyhy（1）求出该格式的局部截断误差首项和首项系数；（2）分析该格式的收敛性；（3）讨论该格式的绝对稳定性，指出绝对稳定区间。（在局部截断误差中10111[()()],2,3,!pprrriiiiCiaribrr）（参考定理：设1x和2x是实系数二次方程20xbxc的根，则121,1xx的充要条件是1,1bcc。）解：011412,0,333aab（1）把局部截断误差nT在nx处Taylor展开：()01()()()rrnnnrnTcyxchyxchyx0120ccc3209c33(3)(3)122()(),(,)99nnnnnnhhTyxyxx（2）010cc，方法是相容的；第一特征多项式：241()33rrr，两根为：0111,,3rr方法满足根条件；由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。(3)稳定多项式：2241(;)(1)333rhhrr，由绝对稳定性要求知0,h故2103h由参考定理知：(;)0rh的两根0,1()1rh41331221133131213hhh0h即方法是无条件绝对稳定的。1．对于位数有限的实数0a，给出一个不用除法运算求倒数1a的二阶收敛的迭代公式；分析迭代初值0x可以选取的范围；若0.324a，试求1a（迭代4次，计算结果保留四位小数）。解：（1）考虑方程1()0fxax，1a为此方程的根,21'()fxx，利用Newton法建立迭代公式1()(2)'()kkkkkkfxxxxaxfx迭代函数()(2)xxax。由2111(2)(1)kkkkaxaxaxax有201(1)kkaxax所以201(1(1))kkxaxa当020xa时，0|1|1ax，因此20lim(1)0kkax，即1limkkxa又因为11'()0,''()0,aa所以格式是二阶收敛的。（2）当0.324a，002/6.17284xa，可取05x100211322433(2)1.9(2)2.6304(2)3.0190(2)3.0845xxaxxxaxxxaxxxax3．利用反差商方法，求有理插值函数Rx（）通过3467(0,2),(1,),(2,),(4,),(5,)251726。解：构造反差商表如下x0v1v_2v3v4v0213/2-224/5-5/3346/17-17/7-7-1/557/26-26/9-9/2-2/5-5所以22()2112231455xxRxxxxx4.确定数值积分公式10121()d(()()())fxxAfxfxfx中的求积系数A和求积结点012,,xxx，使得该公式具有最高代数精度。利用该公式计算积分4241d1xx的近似值。（计算结果精确到四位小数）。解：（1）由代数精度的定义，分别令23()1,,,.fxxxx使积分公式精确成立，有01222201201323332()0()2/3()0AAxxxAxxxAxxx解得，012211,,0,322Axxx。令4()fxx，积分公式不成立，故代数精度为3。（2）4241210121d114d1164(()()())883.259327xxxxAfxfxfx5．利用共轭梯度法求解线性方程组Axb，其中211120101A，010b初值取(0)T(1,0,0)x，给出计算中间过程和结果。已知的计算过程为：给定(0)x，计算(0)(0)(0)0,Arbxpr对0,1,k计算()()(1)()(1)()(1)(1)(1)1()()(,),,(,)(,),(,)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkrrxxprrAppAprrprprr解：计算过程如下000110112321232[2,2,1],[2,2,1],9/29[11/29,18/29,9/29][5/29,4/29,2/29],5/841[135/841,126/841,63/841],145/81[2/3,8/9,4/9][0,1/9,2/9],841/729[5/27,5/81,25/81],9/5[1,1,1][rpxrpxrpxr0,0,0]6．设()fx充分光滑，给出的带有余项的中矩形求积公式3()()d()()(),[,]224baabffxxbafbaab将[,]ab区间n等分，试导出复化中矩形求积公式；分析复化中矩形求积公式的误差。解：记分点,,0,1,kbaxkhhknn。则在每个 单元 初级会计实务单元训练题天津单元检测卷六年级下册数学单元教学设计框架单元教学设计的基本步骤主题单元教学设计 上用中矩形求积公式：111100()d()d()()2kknnbxaxkkkknxxfxxfxxhfRf复化中矩形求积公式110()2nkkkxxhf余项为130310()()()2424nnkknkkfhRfhf存在(,)ab，使得101"()()nkkffn，所以2()()"()24nbaRfhf7．考虑下面的Hermite插值问题：已知函数()fx在01,xx（01xx）的函数值01(),()fxfx和在0x的导数值0()fx。（1）构造二次多项式2()Hx满足条件：200211200()(),()(),()()HxfxHxfxHxfx（2）若()fx充分光滑，试分析误差2()()fxHx。解：(1)设2001001()()[,]()()(),HxfxfxxxxAxxxx由200()()Hxfx,得01010[,]'()fxxfxAxx（2）设余项2201()()()()()()RxfxHxkxxxxx，()kx为待求函数。构造2210()()()()()()tftHtkxxtxt，则010()0,()0,'()0,()0xxxx故()t有4个零点，(3)()t至少有一个零点：(3)(3)()()6()0fkx所以(3)()()6fkx，余项表达式为(3)2201()()()()()()6fRxfxHxxxxx，8．取0.2h利用四阶经典Runge-Kutta格式求解下面初值问题（计算到0.6x，结果保留四位小数）1,01(0)1yyxxy四阶经典Runge-Kutta公式:11234(44)6nnhyyKKKK121212132413(,)(,)2(,)2(,)nnnnnnnnKfxyhKfxyKhKfxyKKfxyhK解：(1)方法为11234(44)6nnhyyKKKK1213243(1)((0.5)(0.5)1)((0.5)(0.5)1)(()()1,)nnnnnnnnKhyxKhyhKxhKfyhKxhKfyhKxh结果为1231,10,20.1,30.09,40.182,1.01242,10.1876,20.26884,30.260716,40.335457,1.047493,10.352513,20.417262,30.410787,40.470356,1.10252nKKKKynKKKKynKKKKy30.6,1.10252xy