数学篇 ·教学随笔· 《数理化解
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
研究》2005年第5期
隔板法解排列组合问题
如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便
可看作成一行的小球的空隙中插人了若干隔板，相
邻两块隔板形成一个“盒 ．每一种插人隔板的方法
对应着小球放人盒子的一种方法，此法称为隔板法．
隔板法专门解决相同元素的分配问题．
例 l 6个相同的小球放入4个编号为 l、2、3、4
的盒子．求下列放法的种数：①每个盒子都不空；②
恰有一个空盒子；③恰有 2个空盒子：
解 ①先把 6个相同的小球排成一行，在首尾
两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙
中任选3个空各插一块隔板，有 =10种．
② 恰有一个空盒，插板分两步进行．
先在首尾两球外侧各放置一板隔板，并在 5个空
隔中任选 2个空各插一块隔板．如：10l0 0 0l0 0l，
有 种插法，然后将剩下一块隔板与前面 4块板中
的任意一块并放形成空盒．如 1 0 1 0 0 0 ll 0 0I，
有c：种插法．故共有c ·C 40种．
③分两步进行．
首先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5
个空隙中任选一空插人一块隔板，有 c 种插法．
如 l 0 0 l 0 0 0 0 l，然后将剩下的 2块隔板插 入形
成空盒 ．
空盒形成有两种情形 ．
其一，这两块板分别与前面 3块中任选 2块并
放形成不相邻的两个空盒．如 lIo 0lIo 0 0 0I，有ci
种；其二，将 2块板一起与前面 3块板之一并放，形
成相邻的两个空盒，有c：种方法．如10llIo 0 0 0 O1．
故共有c (c；+c：)=30种．
例2 将参加数学竞赛的20个名额分给 9所学
校，每所学校至少1个名额，问名额分配方法有多少种．
分析 这个问题转化为用隔板将排成一排的 20
个相同的球隔开成九段，每段之间至少一个球．为达
到此目的，可在两球之间的 19个空隙中选 8个空隙
放隔板，得到的结果对应一种分配
方案
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，所以共有c8。。
种分配方案．
例 3 l0个相同的小球放入编为 l，2，3的3个
盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编 号数，则
有多少种不同的放法?
分析 先在编号为 l，2，3的 3个盒子内分别放
人 0个，1个，2个小球，还剩下 7个小球．问题转化
为用隔板将排成一排的 7个相同的球隔开分成三
段．每段之间至少有一个球，则有 =l5种分配方案．
一
、分堆问题
求解分堆问题，首先应理解：堆与堆之间是没有
顺序的；其次要注意各堆的元素个数是否相同，若相
同，需除以堆数的阶乘．
(1)四个不同的小球分成二堆，每堆两个，有多
少种分法?(
答案
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为3种，即q÷A；)
(2)四个不 同的小球分成 三堆，每堆 至少一
个，有多少种分法?(答案为6种，即c：c ÷A；，也
可只列c：)
(3)六个不同的小球分成三堆，每堆两个．有多
少种分法?(答案为 l5种，即C6乙2 2c ÷A )
(4)六个不同的小球分成三堆，一堆 3个，一堆 2
个，一堆 1个，有多少种分法?(答案为60种，即 c；)
(5)六个不同的小球分成三堆，一堆 4个，另两
堆各 1个，有一种分法?(答案为 l5种，即c ÷ ，
也可只例 c：或c：)
二、分配问题
求解分配问题，若 与人的顺序无关，可直接抽
取，若与人的顺序有关，可先分堆，再分配(eP先组
合，后排列)．
六本不同的分书给甲、乙、丙三人，
(1)每人 2本，有多少种分法?(答案为90种即
C62乙42)．
(2)1人 3本，1人 2本，另 1人 l本，有多少分
法?(答案为 360种即C～ 3(～-~2 A3 )．
(3)甲 3本，乙 2本，丙 l本，l仃多少种分法?
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