第09讲 杆系结构-08B_254002285

汽车工程系 结构分析与CAE研究室 有限元分析基础有限元分析基础 (第九讲) 清华大学清华大学 汽车工程系汽车工程系 结构分析与结构分析与CAECAE研究室研究室 第第77章章 杆系结构的有限元分析杆系结构的有限元分析 7.1 7.1 基本概念基本概念 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 33 -- －由杆件组成的结构系统。 (杆件: 一个方向的尺寸远大于其它两个方 向，且其它两方向尺寸相差不大) －各杆轴线和外力作用线都在同一平面内的杆系。 －各杆轴线和外力作用线不在同一平面内的杆系。 －各杆之间的联接为铰链联接的杆系结构。 －各杆之间的联接为刚性连接的杆系结构。 杆系结构 平面杆系 空间杆系 桁架结构 刚架结构 本章重点介绍刚架结构有限元分析，其结果经简化后 可适用于桁架结构。 7.1 7.1 基本概念基本概念 第第77章章 杆系结构的有限元分析杆系结构的有限元分析 7.1 7.1 基本概念基本概念 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 55 -- 平面刚架单元（平面梁单元）:只在两端联接的直杆取为单元。 在刚架中： a) 将杆件相交的刚铰点取为结点； b) 边界点 （支承点）和杆件截面面积发生改变处取为结点; c) 集中力和集中力偶矩作用处亦应设置为结点。 7.2.1 7.2.1 结构离散化结构离散化 x y 1 2 3 45 12 34 1F2 F 34 56 x y 1 2 3 4 1F2F 3 5 5 1 简 化 42 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 66 -- 7.2.2 7.2.2 平面梁单元分析平面梁单元分析 在平面刚架结构中，各杆件（或单元）的轴线方向大多 不相同，为便于单元分析，除结构的整体坐标系XOY外，还 要在每个单元中建立局部坐标系（或单元坐标系）。 , i x y z ⎫⎪⎬⎪⎭ 单元坐标系原点：结点 端截面形心 ：单元轴线 右手系 ：截面的形心主惯性轴 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 ixf iyf iM y x iθ iu iv jv ju jθ jxf jyf jM y zo 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 77 -- 设外力作用在各杆的形心主惯性平面内－梁单元处 于轴向拉压和平面弯曲组合变形状态。 { } [ , , ]Ti i i iu vδ θ= { } [ , ] , , , , , Te T T Ti j i i i j j ju v u vδ δ δ θ θ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ { } { } ,{ } , , , , ,T Te T Ti j ix iy i jx jy jf f f f f M f f M⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦⎣ ⎦ 梁单元结点力列阵为： 梁单元结点位移列阵为： 则梁单元结点位移(自由度)为： ixf iyf iM y x iθ iu iv jv ju jθ jxf jyf jM y zo 7.2.2 7.2.2 平面梁单元分析平面梁单元分析 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 88 -- 在小变形情况下：梁单元的变形由轴向拉压位移 u 和 弯曲引起挠度v 及转角 θ 的叠加而成。 , T i ju u⎡ ⎤⎣ ⎦ x iu j ui l j 1 2( ) (7 1)u x xα α= + − 0, ; ,i jx u u x l u u= = = = 1 2, ( ) /i j iu u u lα α= = − 结点位移列阵： 假设位移: 由结点条件： 代入式(7-1)得： 轴向拉压位移模式: 7.2.2 7.2.2 平面梁单元分析平面梁单元分析 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 99 -- ( ) (7-2)iu i ju ju x N u N u= + 1 / , / (7 3)iu juN x l N x l= − = − 1 ( ) , 1 0 ( )iu iu ju i N N N j ⎧= + =⎨⎩ 在点 且 在点 由此，得位移插值函数： 式中： 为轴向变形形函数。 易见： 7.2.2 7.2.2 平面梁单元分析平面梁单元分析 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 1010 -- 横向弯曲横向弯曲位移模式位移模式: : d dx νθ＝ [ , , , ]i i j jν θ ν θ 2 3 1 2 3 4 2 2 3 4 ( ) ( ) 2 3 (7-4) v x x x x x x x β β β β θ β β β = + + + = + +假设位移： 结点位移： 梁横向弯曲位移：挠度v，横截面转角θ .由经典梁理论 (Kirchhoff假设),有 7.2.2 7.2.2 平面梁单元分析平面梁单元分析 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 1111 -- ( ) (7-5)iv i i i jv j j jv x N v N N v Nθ θθ θ= + + + 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 11 , (7-6) 3 2 1 1, iv i jv j N x x N x x x l l l l N x x N x x l l l l θ θ ⎫= − + = − + ⎪⎪⎬⎪= − = − + ⎪⎭ 由结点条件可以求出待定系数β1 ～β4 ，代回(7-4)， 可得横向弯曲梁单元位移插值函数： →梁单元横向弯曲形函数（满足形函数特性）。 式中： 7.2.2 7.2.2 平面梁单元分析平面梁单元分析 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 1212 -- [ ] 0 0 0 0 (7-8) 0 0 iu ju iv i jv j N N N N N N Nθ θ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ { }( ) [ ] (7-7) ( ) eu x N v x δ⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭ 合并横向位移模式(7-2)和轴向位移模式(7-5)，并 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 成矩阵形式： 得到平面梁单元位移模式。 →平面梁单元形函数。 式中，形函数为： 7.2.2 7.2.2 平面梁单元分析平面梁单元分析 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 1313 -- 1 d dx u x ε = 2 ddx y x θε = − 2 1 2 2 d d (7-9) d dx x x u vy x x ε ε ε= + = − [ ] 2 3 2 2 3 2 1 6 12 4 6[ , ( ), ( ), 1 6 12 2 6 , ( ) , ( )] (7-11) B y x y x l l l l l y x y x l l l l l = − − − + − − + − − − − + [ ] { }1 6 6 1 (7-10)ex Bε δ× ×= { }[ ] (7-12)ex xE E Bσ ε δ= = 单元的轴向拉压应变 ，横向弯曲正应变 单元内应力： 式中应变矩阵为： 将u，v 代入上式： 则梁单元内任意一点的轴向应变 7.2.7.2.3 3 单元的应变和应力单元的应变和应力 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 1414 -- 2 d d d d 0 Z d d Z A A z A y z A y y z y y z I = = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ （单元横截面面积） （横截面对形心轴 的静矩） （横截面对主惯性轴 的惯性矩） y z { } { } { } { } { } [ ] [ ] { } * * d d d ( d d d ) TeT e V TeT e V f x y z B E B x y z δ ε σ δ δ ∗= = ∫∫∫ ∫∫∫ { } { }[ ] (7 13)e eef k δ= − [ ] [ ] [ ]d d d (7-14)Te V k B E B x y z= ∫∫∫ 由虚功方程： 得单元刚度方程： 单元刚度矩阵： 将[B]代入上式，并注意到： 7.2.7.2.4 4 梁单元刚度方程与刚度矩阵梁单元刚度方程与刚度矩阵 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 1515 -- 积分后，可得局部坐标下梁单元刚度矩阵： [ ] [ ] 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 0 0 0 0 12 6 12 6 0 0 6 4 6 0 0 z z z z z z ii ije ji jj EA EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI l lk k k k k × × × × × − − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ # # # 2 3 2 3 2 2 2 2 0 0 0 0 12 6 12 6 0 - - 0 - 6 2 6 4 0 0 z z z z z z z z z z EI EI l l EA EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢ − −⎣ """""""""""""""""" # # # 6 6× ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ 7.2.7.2.4 4 梁单元刚度方程与刚度矩阵梁单元刚度方程与刚度矩阵 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 1616 -- 考虑剪切变形的梁单元考虑剪切变形的梁单元 : 10 : 5 l h l h > ⇒ < ⇒ （梁跨度）若 忽略横向剪切变形影响（ 梁高 ） 若 考虑剪切变形影响 2 12 z y s EI Gl A φ = 5/ 6, 0.9 sA kA k G =—横向有效抗剪力截面积 —截面形状系数，矩形为 圆形为 —剪切模量 由弹性力学可知，对于梁单元： 由弹性力学，剪力影响系数： 式中 7.2.7.2.4 4 梁单元刚度方程与刚度矩阵梁单元刚度方程与刚度矩阵 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 1717 -- 考虑横向剪切力影响的平面梁单元的刚度矩阵： 3 2 3 12 0 (1 ) (4 )6 0 (1 ) (1 ) 0 0 12 6 0 - - (1 ) (1 ) z y y zz y y z z y y EA l EI l EIEI l l EA EA l l EI EI l l φ φ φ φ φ φ + + + + − + + 3 2 2 6 6 12 0 (1 ) (2 ) (4 )6 6 0 0 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) z y y z y zz z y y y y EI l EI EIEI EI l l l l φ φ φ φ φ φ φ × ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥− +⎢ ⎥−⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 7.2.7.2.4 4 梁单元刚度方程与刚度矩阵梁单元刚度方程与刚度矩阵 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 1818 -- 7.2.7.2.5 5 等效结点载荷等效结点载荷 ixP iyP iMP i j q { } , , , , , Te ix iy iM jx jy jMp p p p p p p⎡ ⎤= ⎣ ⎦ { } { } { } [ ] 0 0 0 0 d d T l leT eTe Tup x N x q qv δ δ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭∫ ∫ { } [ ] 2 2 0 0 d [0 0 ] 2 12 2 12 le T Tql ql ql qlp N x q ⎧ ⎫ − − −= =⎨ ⎬−⎩ ⎭∫ 移置按静力等效原则： 如图所示梁 ij 上，有横向均布力 q 作用。设等效结点载荷为： 由等效原则： 故： 原载荷与移置后的结点载荷在 相应的虚位移上的虚功相等。 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 1919 -- 7.2.7.2.6 6 平面梁单元整体分析平面梁单元整体分析 iox y� { } [ ] { } { } { } { } { } { } { } { } { } TT i i i i i ix iy i T T j j j j j jx jy j T TT Te T e T i j i j u v f f f M u v f f f M f f f δ θ δ θ δ δ δ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ **坐标变换坐标变换 前述单元分析为局部坐标下的结论， 为了由单元刚度方程组集总刚度方程， 必须将局部坐标转化为整体坐标。 单元局部坐标系：ixy 整体坐标 ： 结点位移及力： 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 x y �y �x i j 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 2020 -- i i i cos sin cos sin ( , ) i i i i i i i i u u v v u v i j α α α α θ θ ⎫= − ⎪⎪= + ⎬⎪= ⎪⎭ cos , sinc sα α= = i{ } [ ]{ } i{ } [ ]{ } i{ } [ ]{ } (7-15) i i j j e e t t T δ δ δ δ δ δ = = = 由坐标变换： 设 则 7.2.7.2.6 6 平面梁单元整体分析平面梁单元整体分析 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 2121 -- [ ] 0 0 0 0 1 c s t s c −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 c s s c T c s s c −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎯⎯→平面梁单元坐标变换矩阵 式中： 7.2.7.2.6 6 平面梁单元整体分析平面梁单元整体分析 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 2222 -- i{ } [ ]{ } (7-16)e ef T f= { } [ ] { }ee ef k δ= { } [ ] i{ }1 ee Tδ δ−= i{ } [ ][ ] [ ] i{ } (7-17)ee e Tf T k T δ= i{ } � i{ } (7-18)ee ef k δ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ � [ ][ ] [ ] (7-19)e e Tk T k T⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 同理，单元结点力单元结点力在整体坐标和局部坐标之间的关系： 将 代入(7-16)式，那么有： 即： 式中： 是单元在整体坐标中的刚度矩阵。 及(7-15)的逆 7.2.7.2.6 6 平面梁单元整体分析平面梁单元整体分析 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 2323 -- i i{ } i (7-20)K Rδ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ i{ } i i i i i i 1 23 1 1 1 1 , ,... , , TT T T nn T u v δ δ δ δ θ × ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎣ ⎦6 —节点位移列阵 i{ } i j j j j j 1 23 1 1 1 1 , ,... , , TT T T nn T x y R R R R R R M × ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎣ ⎦6 —节点载荷列阵 i 3 3n n K × ⎡ ⎤⎣ ⎦ � e k⎡ ⎤⎣ ⎦ 通过方程（7－18）可组集得到平面刚架结构的总体刚度方程。 对于n个结点的平面刚架， 为结构总刚度矩阵，由 求解总刚度方程时，仍要由位移边界条件来消除刚体位移， 修正总刚体矩阵。 组集而成。 7.2.7.2.6 6 平面梁单元整体分析平面梁单元整体分析 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 第第77章章 杆系结构的有限元分析杆系结构的有限元分析 7.1 7.1 基本概念基本概念 7.2 7.2 平面刚架结构有限元分析平面刚架结构有限元分析 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 2525 -- 单元位移列阵： { } [ ] ( , )Ti i i ix iy izu v w i jδ θ θ θ=i { } 12 1 { } { } Te T T i jδ δ δ ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ x z y izθ ixθ iyθ iu iv iw i j l 局部坐标系 ixyz 原点i－截面形心 x轴 －梁轴线 yz －形心主惯性轴 结点i 位移： 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 2626 -- 这些变形这些变形正交正交（不耦合），（不耦合）， 故可以独立分析每种变形下的单元刚度。故可以独立分析每种变形下的单元刚度。 { } , , , , , , , , , , , { } { } Te ix iy iz ix iy iz jx jy jz jx jy jz TT T i j f f f f M M M f f f M M M f f ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ xy xz ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ 轴向拉压 扭转组合变形形态 平面弯曲 平面弯曲 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→小变形情况下 单元结点力也有12个分量： 空间梁单元通常处于复杂受力状态。 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 2727 -- 7.3.1 7.3.1 轴向拉压杆单元轴向拉压杆单元 , i ix j jx u f u f ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ i jl iu ixf jxfju xu x 1 2( ) (7-21)u x xα α= + ( ) [ ] i j u u x N u ⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ [ ] [ ]1 / /N x l x l= − [ ]1 1 i ix j j u udu B u udx l l ε ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤= = − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ [ ] ix x j u E E B u σ ε ⎧ ⎫⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ 0, (0) ; , ( )i jx u u x l u l u= = = = 结点位移和结点力： 位移模式： 由 可以求得 α1、α2： 其中， 因此， 再代回(7-21)得轴向拉压位移模式： 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 2828 -- [ ] (7-22)eix i jx j f u k f u ⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ [ ] 1 1 11 1 1 1 1 e V EAlk E dxdydz l l l l ⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤⎡ ⎤= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫∫ 1 1 1 1 ix i jx j f uEA f ul ⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 由虚功方程可得拉压杆刚度方程： 式中， →杆单元刚度矩阵 式中，EA为截面抗拉压刚度。故式(7-22)变为： 7.3.1 7.3.1 轴向拉压杆单元轴向拉压杆单元 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 2929 -- 7.3.7.3.2 2 扭转单元扭转单元 ,ix ix jx jx M M θ θ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 1 2( ) (7-24)x xθ α α= + [ ] [ ] [ ]( ) , 1 / /ix jx x N N x l x l θθ θ ⎧ ⎫⎪ ⎪= = −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ [ ]eix ix jx jx M k M θ θ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 1 1 1 1 ix ixx jx jx M GI M l θ θ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ixM jxMjxθ ixθ i jl x 单元结点位移列阵和单元结点力列阵： 位移模式为： 同样可以得到： 以及扭转单元刚度方程： 式中GIx 为截面抗扭刚度。 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 3030 -- 7.3.7.3.3 3 xyxy平面横向弯曲单元平面横向弯曲单元 izM jzMjzθizθ i jl x iv jv y y z , T i iz j jzv vθ θ⎡ ⎤⎣ ⎦ T iy iz jy jzf M f M⎡ ⎤⎣ ⎦ 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 12 6 6 2 6 4 iy i iziz z jjy jzjz l l l l f v l l l lM EI vf M l l l l l l l l θ θ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− − −⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ # # """"""""" # # 单元结点位移列阵和单元结点力列阵： 由前面梁单元的分析可以得到： EIz ：截面在xy平面内弯曲的抗弯刚度。 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 3131 -- 7.3.7.3.4 4 xzxz平面弯曲单元平面弯曲单元 由xz平面与xy平面比较，θiy ,θjy , Miy , Mjy 与θiz ,θjz , Miz , Mjz 比较仅差一符号,故对(7-25)中 单元刚度矩阵，只要把 Miz , Mjz 和θiz ,θjz 对应的列 分别乘以负号，并将EIz 改为EIy 就可以得到xz平面 内弯曲的单元刚度方程，即： 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 12 6 12 6 6 4 6 2 (7-26) 12 6 12 6 6 2 6 4 iz i iy iy y jz j jy jy l l l l f w M l l l lEI f w l l l lM l l l l θ θ ⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ iw jwiy θ iyM y x z i j 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 汽车工程系 结构分析与CAE研究室 -- 3232 -- 把式(7-23)-(7-26)组合起来，便形成空间梁单元的刚度方程。 { } [ ] { }12 1212 1 12 1 (7-27)e eef k δ×× ×= 为组集总刚度方程，需将单元坐标系中的结点位移、结 点力和单元刚度矩阵转换到整体坐标中。 转换方法与平面问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 类似。 7.3.7.3.5 5 空间梁单元的刚度方程空间梁单元的刚度方程 7.3 7.3 空间梁单元空间梁单元 有限元分析基础��(第九讲)�����清华大学 汽车工程系�结构分析与CAE研究室 第7章 杆系结构的有限元分析 7.1 基本概念 第7章 杆系结构的有限元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2.2 平面梁单元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 横向弯曲位移模式: 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 考虑剪切变形的梁单元 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2.5 等效结点载荷 7.2.6 平面梁单元整体分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 7.2 平面刚架结构有限元分析 第7章 杆系结构的有限元分析 7.3 空间梁单元 7.3 空间梁单元 7.3.1 轴向拉压杆单元 7.3 空间梁单元 7.3.2 扭转单元 7.3.3 xy平面横向弯曲单元 7.3.4 xz平面弯曲单元 7.3.5 空间梁单元的刚度方程