11章习题解答

思 考 题 第11章：分析力学 11.1.1 质点被约束在半径为 ，球心在坐标原点的球面上运动。试写出质点的约束方程，指出该质点的自由度数，并为该质点选择合适的广义坐标。 解：取坐标系如图。该质点的约束方程是： （或 ）。 该质点的自由度数是： 。 可取球面坐标 、 为广义坐标。 11.1.2 图示滑套 套在光滑直杆 上，并带动杆 在铅直滑道上滑动。试写出滑套 的约束方程，指出它的自由度数，并为系统选择合适的广义坐标。 解：滑套 的约束方程是： 。 滑套 的自由度数是： 。可取图中的 角为广义坐标。 11.1.3 四根等长同重的均质连杆由铰链连接如图，其两端用铰链固定在同一水平线上。试写出系统的约束方程，指出该系统的自由度数，并为该系统选择合适的广义坐标。 解：取平面直角坐标系如图。设杆长为 ， 则系统的约束方程为： ， ， ， 该系统的自由度数是： 。可取图中的 、 角为广义坐标。 11.2.1 一半径为 的均质圆盘在水平的 面上做纯滚动，盘面保持垂直，可绕垂直轴转动。试写出质心坐标 、 、 、绕盘面的对称轴的转角 以及绕铅直直径的转角 之间的约束关系、虚位移满足的关系，系统具有几个独立的广义坐标和独立的虚位移？ 解：参考题图，坐标原点取在出发位置。设初始时刻盘面平行于 轴，则 ， 。于是质心坐标 、 、 、绕盘面的对称轴的转角 及绕铅直直径的转角 之间的约束关系是 ， ， . 虚位移满足的关系是 ， 系统有三个独立的广义坐标和两个独立的虚位移。 11.2.2 螺旋千斤顶螺距为 ，手柄长为 ，物体重为 ，忽略螺旋和螺母间摩擦。要把重物顶起来，在手柄末端施加的与手柄垂直的水平力至少应为多大？ 解：系统只有一个自由度，可取手柄的转角 为广义坐标。给它一个虚位移 ，由几何关系，手柄转过一周，重物上升一个螺距。因此与虚位移 相对应的升高是： 。在忽略摩擦的条件下，系统所受为理想约束。应用虚功原理，即有 以 代入，解得： 答：在手柄末端施加的与手柄垂直的水平力至少应为 11.2.3 均匀直杆 之长为 ，重量为 ，一端靠在光滑垂直墙面上，另一端放在光滑固定的柱面上，为使杆在任意位置均能平衡，求此柱面方程。设杆在竖直位置时，其下端位于坐标原点。 解：如图，取平面直角坐标系 ，记 点的坐标为 ，杆的质心坐标为 ，以 和杆与垂直墙面之间的夹角 为广义坐标，则 系统所受为理想约束，可以应用虚功原理。系统仅受一个主动力即杆的重力 的作用，给 一个虚位移 ，则有 即 解得 或 这里是积分常数，它由初始条件决定。当 时， 。由此解得 。这样 或 又 和杆 之长为 ，即有 。由此可得柱面方程为 。 11.2.4 自然长度为 、重量为 的弹簧圈套在顶角为 的表面光滑的圆锥体上，圆锥体铅直放置，弹簧圈的弹簧常数为 。试求平衡时圈面与锥体顶点的距离。 解：系统只有一个自由度，取圈面与锥顶的距离 为广义坐标。此时弹簧的长度是 系统受到两个主动力：弹簧圈的重力 和弹簧的弹性力的作用 ，且受理想约束，可以应用虚功原理。即 此即 解得平衡时圈面与锥体顶点的距离是 11.3.1 如图所示离心调速器，两小球的重量各为 ，套管的重量为 ，由4根长度均为 、重量可以忽略不计的直杆连接起来。试求当调速器以角速度 转动时，它的张角 为多大？ 解：系统只有一个自由度，取图中的 角为广义坐标。则 ， ， 系统所受主动力：两小球的重力 和套管的重力 以及两个惯性力的作用，且受理想约束，可以应用动力学的虚功原理。给 角一个虚位移 ，有 即 消去任意变分 ，解得 11.3.2 两重球 与 装在刚性直角尺 的两端，角尺可绕 点在竖直面内摆动，而通过 点的竖直轴又可带动角尺绕竖直轴转动。设杆长 ， ，求系统绕竖直轴的转速与角 的关系。 解：系统只有一个自由度，取图中的 角为广义坐标。则 ， ， ， 系统受到两个小球的重力 和 以及两个惯性力的作用，且受理想约束，可以应用动力学的虚功原理。给 角一个虚位移 ，有 即 消去任意变分 ，解得 11.3.3 半顶角为 的倒立空心圆锥内放一重量为 的小球，当圆锥以角速度 绕过顶点的竖直轴转动时，求小球放到多大的高度 时，刚好能够达到相对平衡。 解：小球被限制在圆锥面上运动，只有一个自由度，可取小球距顶点的高度 为广义坐标。小球受的主动力为重量 及惯性离心力 。系统所受理想约束，可以应用动力学的虚功原理： 即 消去任意变分 ，解得 11.3.4 半径为 、鼓轮半径为 的匀质轮轴，重量为 ，通过鼓轮上缠绕的绳子挂一重物 ，置于倾角为 的粗糙斜面上，如图所示。轮轴与斜面间的摩擦系数为 。求轮轴处于平衡的条件。 解：轮轴可绕水平轴转动并沿斜面滑动，系统有两个自由度，可取轮轴与斜面的接触点到斜面顶点的距离 和轮轴绕水平轴转过的角度 为广义坐标。系统受三个主动力：重物的重力 、轮轴的重力 及摩擦力 的作用。当把摩擦力当作主动力看待时，可以应用动力学的虚功原理： 给 一个虚位移 ，让 不变，有 解得 再给 一个虚位移 ，让 不变，这时摩擦力不做功，有 解得 因为 ， ，上式分母必大于0，进一步有 。 11.3.5 一个在均匀重力场中运动的质点，如果用球坐标来描述质点的运动，取垂直向上方向为极轴，求重力的三个广义力分量。 解：取图示球坐标系，以球坐标 、 、 为广义坐标，则质点的直角坐标分量是 ， ， 质点在均匀重力场中运动，属于保守系统。系统的势能是： 由保守系统的广义力公式，有 ， ， 11.3.6 质量为 、半径为 的均质薄圆筒在另一个质量为 、半径为 的均质薄圆筒内做纯滚动；后者又在水平面上做纯滚动。选大圆筒的角位移 以及两圆筒的轴构成的平面与铅垂面的夹角 为广义坐标，求作用于系统的所有力的广义力分量 和 。 解：如图所示，以水平面为重力势能的0点，系统的势能是： 则由保守系统的广义力公式，有 ， 11.3.7 质量为 、半径为 的均质圆柱体在另一个质量为 的木块中割出一个半径为 的半圆柱形空心槽内做纯滚动，木块又由劲度系数为 的弹簧支撑着可沿竖直导轨无摩擦运动。取木块的竖直向上的位移 和圆柱中心的角位移 为广义坐标，求作用于系统的所有力的广义力分量。 和 的零点选在系统的平衡位置。 解：系统有两个自由度，可取木块的竖直向上的位移 和圆柱中心的角位移 为广义坐标，则 ， 这里 是系统平衡时木块上部半圆形的圆心到其质心的高度。系统仅受重力和弹簧弹性力的作用，属于保守系统，系统势能为 这里 是系统平衡时弹簧的压缩量，因而有 。由保守系统的广义力公式，有 11.4.1长为 、质量为 的均匀直杆 ， 端与光滑水平地面接触，在重力作用下，此杆由竖直位置释放，在铅垂面内滑倒，求杆落至地面瞬间的角速度？ 解：杆做平面运动，只有一个自由度，取杆与铅垂线之间的夹角 为广义坐标，则 ， 系统的动能与势能分别是： 由于地面光滑，系统仅受理想约束，应用基本形式的拉格朗日方程有： 即 或 上式成为 积分可得： 这里 是积分常数，它由初始条件决定。当 时， ， ，可得 。这样，杆落至地面瞬间的角速度是： 11.4.2 质量为 的质点，受重力作用，被约束在半顶角为 的倒立空心圆锥的光滑内表面上运动，以图中的 、 为广义坐标，由拉氏方程求此质点的运动微分方程？ 解：系统具有两个自由度，以图中的 、 为广义坐标，则质点的直角坐标是： ， ， 以圆锥顶点为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是： 由于圆锥的内表面光滑，系统仅受理想约束，应用基本形式的拉格朗日方程有： ， 即 ， 或 11.4.3 用一根轻弹簧把质量为 的小球悬挂在固定点 ，任其在铅直平面内摆动。已知弹簧原长为 、劲度系数为 ，用拉氏方程求此系统的运动微分方程？ 解：小球做平面运动，具有两个自由度，以弹簧长度即摆长 和摆线与铅直线的夹角 为广义坐标，则小球的直角坐标是： ， 。以弹簧的悬挂点为重力势能的0点，以弹簧的原长为弹性势能的0点，则系统的动能与势能分别是： ， 系统的拉格朗日函数是： 由于系统仅受理想约束，应用保守系统的拉格朗日方程有： ， 即 ， 或 11.4.4 质量为 、半径为 的中空的圆环通过光滑铰链铰接在固定轴 上，环管内有一质量为 的质点 ，可在管内无摩擦的滑动。写出圆环和质点组成的力学系统的拉格朗日函数，并由拉氏函数写出运动第一积分。 解：系统做平面运动，具有两个自由度，以图中的角 和 为广义坐标，则有： ， ， ， 以圆环的悬挂点为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是： 系统的拉格朗日函数是： 由于 中不显含时间因子 ，系统所受为定常约束，系统的机械能守恒，即 11.4.5 质量为 、半径为 的薄球壳，其外表面粗糙，内表面光滑，放在粗糙的水平面上。在球壳内放一质量为 ，长为 的均匀棒。设此系统从静止开始运动，且在开始的瞬间，棒位于通过球心的竖直平面内，两端都与球壳相接触，并与水平线成 角。用拉格朗日方程 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：在以后的运动中，棒与水平线的夹角 满足关系： 证明：系统有两个自由度，可取球心的水平坐标 与角 为广义坐标。则 ， 以水平面为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是： 系统的拉格朗日函数是： 由于 中不显含坐标 ， 是循环坐标，存在循环积分： ① 又因 中不显含时间因子 ，系统所受为定常约束，系统的机械能守恒， 当 时， ， ， ，可以求得 ， 则由①式解得 以次代入能量守恒式，整理即得 证毕。 11.4.6 一根质量为 、长为 的均质棒 挂在固定点 处的光滑枢轴上，一个质量为 的珠子 用一根自然长度为 、劲度系数为 的轻弹簧连于 点，并套在棒上，可沿棒做无摩擦滑动。设 是 与铅垂线间的夹角， 是包含 的铅垂面与固定铅垂面间的夹角， 为 间的距离。取 、 、 为广义坐标，写出系统的拉格朗日函数，并给出两个运动积分。 解：如图，取 、 、 为广义坐标，则珠子 的坐标为 ， ， 杆 的质心 的坐标为 ， ， 故有 以 点为重力势能的0点，弹簧自然伸直状态为弹性势能的0点，则系统的动能与势能分别是： 系统的拉格朗日函数是： 由于 中不显含坐标 ， 是循环坐标，存在循环积分： 又因 中不显含时间因子 ，系统所受为定常约束，系统的机械能守恒， 11.5.1半径为 的均匀圆球，可在一具有水平轴，半径为 的固定空心圆柱的内表面滚动，求圆球在平衡位置附近做小振动的周期？ 解：设圆球的质量为 ，作剖面图如图。系统只有一个自由度，以圆柱轴线和球心连线与铅直线之间的夹角 为广义坐标，则球心坐标为： ， 因为圆球在固定空心圆柱的内表面做纯滚动，由速度合成公式，有 或 这里 是圆球的自转角速度。以圆柱轴线为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是： 则 ， 系统的振幅方程是： 系统的特征值方程是： 由此解得微振动的圆频率是： 11.5.2 在定滑轮 上绕过一条不可伸长的轻绳，绳的一端悬挂质量为 的砝码，另一端连接在劲度系数为 的竖直弹簧上，弹簧下端固定。滑轮质量为 ，且均匀分布在轮缘上，绳与滑轮间无相对滑动。求砝码的振动频率？ 解：系统只有一个自由度，以图示坐标 为广义坐标并取系统静平衡时砝码所在的位置为坐标原点和重力势能的0点，以弹簧自然伸直状态为弹性势能0点，则系统的动能和势能分别是： ， 这里 是系统静平衡时弹簧的伸长量，因此有 ，这样 。于是 ， 系统的振幅方程是： 系统的特征值方程是： 由此解得微振动的圆频率是： 11.5.3 两个质量都为 的小球由两根劲度系数均为 的弹簧串联后悬挂起来，求系统沿铅直方向振动的固有频率和固有振型。 解：系统有两个自由度，分别取两个质点向下的位移 与 为广义坐标，其原点取在系统静平衡位置处，并以各自的原点为其重力势能的0点。又以弹簧自然伸直状态为弹性势能的0点，则系统的动能和势能分别是： 这里 、 分别是系统静平衡时两根弹簧的伸长量，从而有 ， 这样 于是 ， ， ， ， 系统的振幅方程是： 系统的特征值方程是： 即 由此解得： ， 或 ， 分别以 、 代入振幅方程，有 ， 可得 ， 可得 11.5.4 一质量为 的矩形物块放在光滑的水平桌面上，它的下方悬挂一质量为 的小球，悬线的长度为 ，求系统微振动的频率？ 解：系统有两个自由度，分别取物块质心的水平位移 与悬线和铅直线之间的夹角 为广义坐标，则摆球的位置坐标是 ， 系统的动能为： 当取系统静平衡位置为势能0点时，系统的势能是： ，这样 ， ， ， ， 系统的振幅方程是： 相应的特征值方程是： 即 由此解得： ， 即系统微振动的圆频率是： ， 。 11.5.5 一个系统运动时，其动能和势能分别为 ， 如开始时， ， 。求此系统的运动。 解：系统的动能和势能可以改写为： ， 系统的振幅方程是： 相应的特征值方程是： 即 或 由此解得： ， ， 以此代入振幅方程，可得相应的振型分别是： ， ， 可得 ， ， 可得 ， ， 可得 振动微分方程的通解是： 而由初始条件： ， 由此解得 ， ， ， 最后我们得到： 11.6.1 半径为 的均匀圆球，自半径为 的固定圆球的顶端无初速的滚下，用正则方程求动球球心下降的切向加速度。 解：系统只有一个自由度，取图中的 角为广义坐标，则动球球心的坐标是： ， 动球作无滑滚动， ，这样，系统的动能和势能分别是： ， 这里势能零点取在初始位置处。系统的拉格朗日函数是： 相应的广义动量是： 反解有 这样 系统仅受理想约束且为保守系统，可以应用正则方程： ， 以广义动量的表达式代入，即得动球的切向加速度是： 11.6.2 半径为 的光滑圆圈，以匀角速绕竖直直径转动，圈上套一质量为 的小环，用正则方程求小环的运动微分方程。 解：取固连于圆圈的动坐标系如图。系统只有一个自由度，取图中的 角为广义坐标，则小环的位置坐标是 ， 小环的绝对速度是： 以坐标原点为重力势能0点，系统的动能和势能分别是 系统的拉格朗日函数是： 相应的广义动量是： 反解有 这样 系统仅受理想约束且为保守系统，可以应用正则方程： ， 以广义动量的表达式代入，即得系统的运动微分方程是： 亦即 11.6.3 用柱坐标和球坐标分别写出质量为 的质点在势场 中运动的哈密顿函数。 解：对于柱坐标，质点的直角坐标分量是： ， ， 。因此 ， 系统的拉格朗日函数是： 相应的广义动量是： ， ， 反解有 ， ， 这样，系统的哈密顿函数是： 对于球坐标，质点的直角坐标分量是： ， ， 。因此 ， 系统的拉格朗日函数是： 相应的广义动量是： ， ， 反解有 ， ， 这样，系统的哈密顿函数是： 11.6.4 一个单位质量的质点，在用极坐标表达的势能为 的力场中在一个平面上运动。如 时， ， ，试用哈密顿正则方程证明： ， 其中 为恒定的总能量， 为常数。 证明：质点作平面运动，只有两个自由度，以极坐标 、 为广义坐标，系统的拉格朗日函数是： 相应的广义动量是： ， ； 反解有 ， 这样，系统的哈密顿函数是： 系统仅受理想约束且为保守系统，可以应用正则方程： ① 以广义动量的表达式代入，即有 ② 又因 中不显含时间因子 ，系统所受为定常约束，系统存在能量积分， 以②式代入，即有 ， 积分即得 再积分一次，有 由初始条件： 时， ， ，得 ， 。这样，上式成为 即 证毕。 11.6.5 质量分别为 和 的两个质点相互作用，其势能为 ，这里 是两个质点之间的距离。选系统质心的直角坐标 、 、 和质点 相对于 的球坐标 、 、 为广义坐标，写出系统的哈密顿函数，并找出6个运动第一积分。 解：在所选的广义坐标下，两个质点的原用直角坐标是： ， ， ， ， 这里， ， 。这样，系统的拉格朗日函数是： 相应的广义动量是： ， ， ， ， ； 反解有 ， ， ， ， ， 这样，系统的哈密顿函数是： 6个第一积分是：由于 中不显含广义坐标 、 、 和 、 ，存在5个循环坐标和循环积分： ， ， ， ， 又由于 中不显含时间因子 ，系统所受为定常约束，系统存在能量积分： 11.7.1 试证由质点组的动量 和角动量 的直角坐标分量所组成的9个泊松括号为： ， ， ， ， 证明：角动量 的直角坐标分量是： ， ， 则由泊松括号的定义，有 同理可证 ， 。类似的， 同理可证 ， 。又 同理可证 ， 。证毕。 11.7.2 如果 是坐标和动量的任意函数，试证 。 证明：记 。 证毕。 11.8.1 试用哈密顿原理重解11.4.2题。 解：前已给出，系统具有两个自由度，以题11.4.2图中的 、 为广义坐标，则质点的直角坐标是： ， ， 以圆锥顶点为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是： 系统的拉格朗日函数是： 应用哈密顿原理，有 因为 ， 以此代入，有 即 由于这里端点是固定的， ， ， ， ，上式第一项为0。又由于 、 是彼此独立的任意变分，即有 ， 或 ， 。 11.8.2 试用哈密顿原理重解11.4.3题。 解：小球做平面运动，具有两个自由度，以弹簧长度即摆长 和摆线与铅直线的夹角 为广义坐标，则小球的直角坐标是： ， 。以弹簧的悬挂点为重力势能的0点，以弹簧的原长为弹性势能的0点，则系统的动能与势能分别是： ， 系统的拉格朗日函数是： 应用哈密顿原理，有 因为 ， 以此代入，有 即 由于这里端点是固定的， ， ， ， ，上式第一项为0。又由于 、 是彼此独立的任意变分，即有 ， 11.8.3 试用哈密顿原理重解11.6.2题。 解：取固连于圆圈的动坐标系如图。系统只有一个自由度，取图中的 角为广义坐标，则小环的位置坐标是 ， 小环的绝对速度是： 以坐标原点为重力势能0点，系统的动能和势能分别是 系统的拉格朗日函数是： 应用哈密顿原理，有 因为 以此代入，有 此即 由于这里端点是固定的， ， ，上式第一项为0。又由于 是独立的任意变分，即有 11.9.1 试证下列变换是正则变换： (1) ， ； 证明：取 ，因为这里的变换式中不显含时间因子 ，所以变换前后的新老哈密顿函数实际上相等， 。这样只需证明 是一个全微分就够了。事实上 的确是一个全微分。证毕。 (2) ， ； 证明：取 ，因为这里的变换式中不显含时间因子 ，所以变换前后的新老哈密顿函数实际上相等， 。这样只需证明 是一个全微分就够了。事实上 的确是一个全微分。证毕。 (3) ， 证明：取 ，因为这里的变换式中不显含时间因子 ，所以变换前后的新老哈密顿函数实际上相等， 。这样只需证明 是一个全微分就够了。事实上 的确是一个全微分。证毕。 11.9.2 证明 ， （ 为常数）是正则变换。若系统 的 ，求新变量下体系的 。 解：(1) 取 ，因为这里的变换式中不显含时间因子 ，所以变换前后的新老哈密顿函数实际上相等， 。这样只需证明 是一个全微分就够了。事实上 的确是一个全微分。证毕。 (2) 11.9.3 若已知在重力场中竖直上抛物体的正则变换母函数为： 试求物体的运动规律。式中 为确定物体位置的广义坐标，并问 的物理意义是什么？ 解：以 为广义坐标，则广义动量为 ，系统的哈密顿函数就是系统的机械能 记新正则变量为 、 ，由正则变换关系式，有 ， 中不显含正则变量 ， 是循环坐标，因此 ，注意到上面关于 的表达式，这里的常数 实际上就是系统的机械能，即 。又 ， 积分即有 可见 就是时间变量。以此代入 的表达式，解得： 11.10.1试用哈密顿—雅可比方程求圆柱体沿倾斜角为 的斜面无滑动的滚落时的加速度。 解：以圆柱体与斜面的切点到斜面顶点的距离 为广义坐标，系统的拉格朗日函数为 则相应的广义动量是 。这样，系统的哈密顿函数是： 这里 不显含时间变量 ，采用分离变量法，可令 满足简化的哈密顿—雅可比方程： 解得 这里 。积分可得： 这样 于是， 圆柱体无滑下滚的加速度是： 负号表示 与 的方向相反。 11.10.2 试用哈密顿—雅可比方程求图示系统的加速度。设 与桌面的接触是光滑的，滑轮质量忽略不计。 解：以 沿水平面前进的距离 为广义坐标，系统的拉格朗日函数为 这里 是初始时刻 距水平面的距离并以水平面作为重力势能的零点。相应的广义动量是 。这样，系统的哈密顿函数是： 这里 不显含时间变量 ，采用分离变量法，可令 满足简化的哈密顿—雅可比方程： 解得 这里 。积分可得： 这样 于是， 圆柱体无滑下滚的加速度是： 11.10.3 某系统的哈密顿函数为 。 试用哈密顿方程和哈密顿—雅可比方程求此系统的运动轨道。 解：这里 不显含时间变量 ，采用分离变量法，可令 满足简化的哈密顿—雅可比方程： 这是含有两个自变量的一阶偏微分方程，可以进一步分离变量。令： 以此代入上式，有 或 这里，式子左边是 的函数，右边是 的函数，要使它们相等，只能同时等于常数。即 由此解得 ， 积分可得： ， 这样 于是， 由此即得系统的运动轨道方程是：