初中数学竞赛辅导资料(9) 初中数学竞赛辅导资料(9) 一元一次方程解的讨论 甲内容提要 1, 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如:方程 2x+6=0, x(x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是: x=-3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数,无解。 2, 关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax=b后, 讨论它的解:当a≠0时,有唯一的解 x= ; 当a=0且b≠0时,无解; 当a=0且b=0时,有无数多解。(∵不论x取什么值,0x=0都成立) 3, 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a|b时,方程有整数解; 当a|b,且a、b同号时,方程有正整数解; 当a、b同号时,方程的解是正数。 综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax=b 乙例题 例1 a取什么值时,方程a(a-2)x=4(a-2) ①有唯一的解?②无解? ③有无数多解?④是正数解? 解:①当a≠0且a≠2 时,方程有唯一的解,x= ②当a=0时,原方程就是0x= -8,无解; ③当a=2时,原方程就是0x=0有无数多解 ④由①可知当a≠0且a≠2时,方程的解是x= ,∴只要a与4同号, 即当a>0且a≠2时,方程的解是正数。 例2 k取什么整数值时,方程 ①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数? ②(1-x)k=6的解是负整数? 解:①化为最简方程(k+2)x=4 当k+2能整除4,即k+2=±1,±2,±4时,方程的解是整数 ∴k=-1,-3,0,-4,2,-6时方程的解是整数。 ②化为最简方程kx=k-6, 当k≠0时x= =1- , 只要k能整除6, 即 k=±1,±2,±3,±6时,x就是整数 当 k=1,2,3时,方程的解是负整数-5,-2,-1。 例3 己知方程a(x-2)=b(x+1)-2a 无解。问a和b应满足什么关系? 解:原方程化为最简方程: (a-b)x=b ∵方程无解,∴a-b=0且b≠0 ∴a和b应满足的关系是a=b≠0。 例4 a、b取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7有无数多解? 解:原方程化为最简方程:(3a+2b-8)x=2a+3b-7, 根据 0x=0时,方程有无数多解,可知 当 时,原方程有无数多解。 解这个方程组得 答当a=2且b=1时,原方程有无数多解。 丙练习(9) 1, 根据方程的解的定义,写出下列方程的解: 1 (x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9, ④|x|=-3, ⑤3x+1=3x-1, ⑥x+2=2+x 2,关于x的方程ax=x+2无解,那么a__________ 3,在方程a(a-3)x=a中, 当a取值为____时,有唯一的解; 当a___时无解; 当a_____时,有无数多解; 当a____时,解是负数。 4, k取什么整数值时,下列等式中的x是整数? 1 x= ②x= ③x= ④x= 5, k取什么值时,方程x-k=6x的解是 ①正数? ②是非负数? 6, m取什么值时,方程3(m+x)=2m-1的解 ①是零? ②是正数? 7, 己知方程 的根是正数,那么a、b应满足什么关系? 8, m取什么整数值时,方程 的解是整数? 9, 己知方程 有无数多解,求a、b的值。
练习题
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参考
答案
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1. ①-1 ②±3 ③±9 ④无解 ⑤无解 ⑥无数多个解 1. a=1 3. a≠3,a≠0;a=3;a=0; a<3且a≠0 4.① k=±1,±2,±4 ②2,0,3,-1,4,-2,7,-5 ③±1,±3 ④4,-5,0-2( ) 5. ①k<0 ②k ≤0 6. ①m=-1 ②m<-1 7. 2a+b>0 8. 化为最简方程mx=m+3, 当m=±1,±3时,有整数解 9.化为最简方程(3a-b)x=b+2 当 时方程无解,解得