数学无忧之最终幻想版 数学无忧之最终幻想版 涛涛：dwrong@163.com 我们每个人都是单翼的天使，只有相互扶持，才能飞向梦中的天堂. 祝福在这条路上一同奋斗的情侣们。 代数与几何部分 1.正整数n有奇数个因子,则n为完全平方数 2.因子个数求解公式:将整数n分解为质因子乘积形式,然后将每个质因子的幂分别加一相乘.n=a*a*a*b*b*c则因子个数=(3+1)(2+1)(1+1) eg. 200=2*2*2 * 5*5 因子个数=(3+1)(2+1)=12个 3.能被8整除的数后三位的和能被8整除;能被9整除的数各位数的和能被9整除.能被3整除的数,各位的和能被3整除. 4.多边形内角和=(n-2)x180 5.菱形面积=1/2 x 对角线乘积 6.欧拉公式： 边数=面数+顶点数-2 8.三角形余玄定理 C2=A2+B2-2ABCOSβ,β为AB两条线间的夹角 9.正弦定理:A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R(A,B,C是各边及所对应的角,R是三角形 外接圆的半径) 10.Y=k1X+B1,Y=k2X+B2，两线垂直的条件为K1K2=-1 11.N的阶乘公式: N!=1*2*3*....(N-2)*(N-1)*N 且规定0!=1 1!=1 Eg:8!=1*2*3*4*5*6*7*8 12. 熟悉一下根号2、3、5的值 sqrt(2)=1.414 sqrt(3)=1.732 sqrt(5)=2.236 13. ...2/3 as many A as B: A=2/3*B ...twice as many... A as B: A=2*B 14. 华氏温度与摄氏温度的换算 换算公式:(F-32)*5/9=C PS.常用计量单位的换算:（自己查查牛津大字典的附录吧） 练习
题
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: 1：还有数列题：a1=2，a2=6，an=an-1/an-2，求a150. 解答: an=an-1/an-2,所以an-1=an-2/an-3,带入前式得an=1/an-3,然后再拆一遍得到an=an-6,也就是说,这个数列是以6为周期的,则a150=a144=...=a6,利用a1,a2可以计算出a6=1/3. 如果实在想不到这个方法,可以写几项看看很快就会发现a150=a144,大胆推测该数列是以6为周期得,然后写出a1-a13(也就是写到你能看出来规律),不难发现a6=a12,a7=a13,然后那,稍微数数,就可以知道a150=a6了,同样计算得1/3. 2：问摄氏升高30度华氏升高的度数与62比大小. key:F=30*9/5=54<62 3：那道费波拉契数列的题:已知,a1=1 a2=1 an=an-1+an-2 ，问a1,a2,a3,a6四项的平均数和a1,a3,a4,a5四项的平均数大小比较。 解答:费波契那数列就是第三项是前两项的和,依此类推得到a1-a6为: 1 1 2 3 5 8 13 21 a1+a2+a3+a6=12, a1+a3+a4+a5=11,所以为大于. 4：满足x^2+y^2<=100的整数对（x,y）有多少？ key: 按照X的可能情况顺序写出: X= Y= 1 1-9 2 1-9 3 1-9 4 1-9 5 1-8 6 1-8 7 1-7 8 1-6 9 1-4 ＝>My answer:加起来=69 5：24，36，90，100四个数中,该数除以它的所有的质因子，最后的结果是质数的是那个：Key:90 6:0.123456789101112….，这个小数无限不循环地把所有整数都列出来.请问小数点后第100位的数字是多少？ Key: 位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 11 12 ………………………19 20 20 21……………………………29 20 30……………………………… 39 20 40……………………………… 49 20 50 51 52 53 54 55 56 ――――――第101位 ＝5？？ 7：2904x=y2（y的平方），x、y都是正整数，求x的最小值。 因为：X^2×Y^2×Z^2=(X×Y×Z)^2 所以把2904除呀除＝2×2×2×3×11×11＝2^2×11^2×6再乘一个6就OK了 2^2×11^2×6×6＝（2×11×6）^2=132^2 Key：最小的x＝6 8:序列An=1/n-1/(n+1),n>=1,问前100项和. 解答：An ＝1/n-1/(n+1) An-1=1/(n-1)-1/n An-2=1/(n-2)-/(n-1) ……………………… ……………………… A1＝1－1/2 把左边加起来就是An+An-1+……+A1=1-1/(n+1) ...消掉了好多好多项之后的结果 Key:把n＝100带入得 前100项之和为100/101 9:等腰三角形，腰为6.底边上的高为x,底边为y,问4x2+y2和144谁大 解答:勾股定理得(y/2)2+x2=62,所以4x2+y2=144 10:-1
-1. 11:有长方形4feet*8feet,长宽各截去x inch,长宽比2：5， 解答:列出方程:(4*12-x)/(8*12-x)=2/5 => x=16 概率论部分 1.排列(permutation): 从N个东东(有区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个并作排列,共有几种方法：P(M,N)=N!/(N-M)! 例如:从1-5中取出3个数不重复,问能组成几个三位数？ 解答：P(3,5)=5!/(5-3)!=5!/2!=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60 也可以这样想从五个数中取出三个放三个固定位置 那么第一个位置可以放五个数中任一一个,所以有5种可能选法，那么第二个位置余下四个数中任一个,....4.....，那么第三个位置……3…… 所以总共的排列为5*4*3=60 同理可知如果可以重复选(即取完后可再取),总共的排列是5*5*5=125 2．组合(combination): 从N个东东(可以无区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个(不作排列,即不管取得次序先后),共有几种方法 C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!/(M-N)!/M! C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!/2!/3!=5*4*3/(1*2*3)=10 可以这样理解：组合与排列的区别就在于取出的M个作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M!， 那末他们之间关系就有先做组合再作M的全排列就得到了排列 所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得组合公式 性质:C(M,N)=C( (N-M), N ) 即C(3,5)=C( (5-2), 5 )=C(2,5) = 5!/3!/2!=10 3．概率 概率的定义：P=满足某个条件的所有可能情况数量/所有可能情况数量 概率的性质 ：0<=P<=1 1)不相容事件的概率： a,b为两两不相容的事件（即发生了a，就不会发生b) P(a或b)=P(a)+P(b) P(a且b)=P(a)+P(b)=0 (A,B不能同时发生) 2）对立事件的概率: 对立事件就是a+b就是全部情况,所以不是发生a,就是b发生,但是,有一点a,b不能同时发生.例如: a:一件事不发生 b:一件事发生,则A,B是对立事件 显然：P（一件事发生的概率或一件事不发生的概率）=1（必然事件的概率为1） 则一件事发生的概率=1 - 一件事不发生的概率...........公式1 理解抽象的概率最好用集合的概念来讲，否则结合具体体好理解写 a,b不是不相容事件(也就是说a,b有公共部分)分别用集合A和集合B来表示 即集合A与集合B有交集，表示为A*B （a发生且b发生） 集合A与集合B的并集，表示为A U B （a发生或b发生） 则:P（A U B）= P(A)+P(B)-P(A*B).................公式2 3）条件概率： 考虑的是事件A已发生的条件下事件B发生的概率 定义：设A，B是两个事件，且P（A）>0,称 P（B|A）=P（A*B）/P（A）....................公式3 为事件A已发生的条件下事件B发生的概率 理解：就是P（A与B的交集）/P（A集合） 理解: “事件A已发生的条件下事件B发生的概率”，很明显，说这句话的时候，A，B都发生了，求的是A，B同时发生的情况占A发生时的比例，就是A与B同时发生与A发生的概率比。 4）独立事件与概率 两个事件独立也就是说，A，B的发生与否互不影响，A是A，B是B，用公式表示就是P（A|B）=P(A)所以说两个事件同时发生的概率就是： P（A U B）＝P（A）×P（B）................公式4 练习题: 1：A, B独立事件，一个发生的概率是0.6 ，一个是0.8，问：两个中发生一个或都发生的概率 ？ 解答： P＝P(A且!B)+P(B且!A)+P(A且B) =0.6*(1-0.8)+0.8*(1-0.6)+0.6*0.8=0.92 另一个角度,所求概率P=1-P(A,B都不发生) =1-(1-0.8)*(1-0.6)=0.92 2：一道概率题：就是100以内取两个数是6的整倍数的概率. 解答:100以内的倍数有6,12,18,...96共计16个 所以从中取出两个共有16*15种方法,从1-100中取出两个数的方法有99*100种,所以P=(16*15)/(99*100)=12/505=0.024 3：1-350 inclusive 中，在100-299inclusive之间以3,4,5,6,7,8,9结尾的数的概率. 因为100-299中以3,4,5,6,7,8,9结尾的数各有20个,所以 Key:（2*10*7）/350=0.4 4.在1-350中（inclusive），337-350之间整数占的百分比 Key:(359-337+1)/350=4% 5.在E发生的情况下，F发生的概率为0.45，问E不发生的情况下，F发生的概率与0.55比大小 解答:看了原来的
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
,我差点要不考G了.无论柳大侠的推理还是那个哥哥的图,都太过分了吧?其实用全概率公式是很好解决这个问题的,还是先用白话文说一遍吧: 某一个事件A的发生总是在一定的其它条件下如B,C,D发生的,也就是说A的概率其实就是在,B,C,D发生的条件下A发生的概率之和.A在B发生时有一个条件概率,在C发生时有一个条件概率,在D发生时有一个条件概率,如果B,C,D包括了A发生的所有的条件.那么,A的概率不就是这几个条件概率之和么. P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D) 好了,看看这个题目就明白了.F发生时,E要么发生,要么不发生,OK? 所以,P(F)=P(F|E)+P(F|!E) 感觉上也没错吧? 给了P(F|E)=0.45,所以 P(F|!E)= P(F)-P(F|E)= P(F)-0.45 如果P(F)=1,那么P(F|!E)=0.55 如果0.45=
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偏差） 一堆数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，除以这堆数的个数(n) e.g. standard error of 0,2,5,7,6 is: (|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.4 6.standard variation 一堆数中，每个数与平均数之差的平方之和，再除以n 标准方差的公式：d2=[(a1-a)2+(a2-a)2+....+(an-a)2 ]/n e.g. standard variation of 0,2,5,7,6 is: average=4 ((0-4)2 +(2-4)2+(5-4)2+(7-4)2+(6-4)2)/5=6.8 7.standard deviation 就是standard variation的平方根 d 8.the calculation of quartile(四分位数的计算) Quartile（四分位数）： 第0个Quartile实际为通常所说的最小值（MINimum）； 第1个Quartile（En：1st Quartile）； 第2个Quartile实际为通常所说的中分位数（中数、二分位分、中位数：Median）；第3个Quartile（En：3rd Quartile）； 第4个Quartile实际为通常所说的最大值（MAXimum）； 我想大家除了对1st、3rd Quartile不了解外，对其他几个统计值的求法都是比较熟悉的了，而求1st、3rd是比较麻烦的。 下面以求1rd为例： 设样本数为n（即共有n个数），可以按下列步骤求1st Quartile： 1．n个数从小到大排列，求(n-1)/4，设商为i，余数为j 2．则可求得1st Quartile为：(第i+1个数)*(4-j)/4+(第i+2个数)*j/4 例（已经排过序啦！）： 1）.设序列为{5}，只有一个样本则：(1-1)/4 商0，余数0 1st=第1个数*4/4+第2个数*0/4=5 2）.设序列为{1,4}，有两个样本则：(2-1)/4 商0，余数1 1st=第1个数*3/4+第2个数*1/4=1.75 3）.设序列为{1,5,7}，有三个样本则：(3-1)/4 商0，余数2 1st=第1个数*2/4+第2个数*2/4=3 4）.设序列为{1,3,6,10}，四个样本：(4-1)/4 商0，余数2 1st=第1个数*1/4+第2个数*3/4=2.5 5）.其他类推！因为3rd与1rd的位置对称，这是可以将序列从大到小排（即倒过来排），再用1rd的公式即可求得：例（各序列同上各列，只是逆排）： 1.序列{5}，3rd=5 2.{4,1}，3rd=4*3/4+1*1/4=3.25 3.{7,5,1}，3rd=7*2/4+5*2/4=6 4.{10,6,3,1}，3rd=10*1/4+6*3/4=7 9．The calculation of Percentile 设一个序列供有n个数，要求（k%）的Percentile： （1）从小到大排序，求(n-1)*k%，记整数部分为i，小数部分为j 可以如此记忆：n个数中间有n-1个间隔，n-1/4就是处于前四分之一处， （2）所求结果＝（1－j）*第(i＋1)个数＋j*第(i+2)个数 特别注意以下两种最可能考的情况： （1）j为0，即(n-1)*k%恰为整数，则结果恰为第(i+1)个数 （2）第(i+1)个数与第(i+2)个数相等，不用算也知道正是这两个数. 注意：前面提到的Quartile也可用这种方法计算， 其中1st Quartile的k%=25% 2nd Quartile的k%=50% 3rd Quartile的k%=75% 计算结果一样. 例：（注意一定要先从小到大排序的，这里已经排过序啦！） ｛1，3，4，5，6，7，8，9，19，29，39，49，59，69，79，80｝ 共16个样本 要求:percentile＝30%：则 (16-1)*30%=4.5=4+0.5 i＝4，j＝0.5 (1-0.5)*第5个数＋0.5*第6个数=0.5*6+0.5*7=6.5 10.To find median using Stem-and-Leaf (茎叶法计算中位数) Stem-and-Leaf method 其实并不是很适用于GRE考试,除非有大量数据时可以用这种方法比较迅速的将数据有序化.一般GRE给出的数据在10个左右,茎叶法有点大材小用. Stem-and-Leaf 其实就是一种分级将数据分类的方法.Stem就是大的划分,如可以划分为1～10，11～20，21～30…，而Leaf就是把划分到Stem一类中的数据再排一下序。看了例子就明白了。 Example for Stem-and-Leaf method: Data：23，51，1，24，18，2，2，27，59，4，12，23，15，20 0| 1 2 2 4 1| 12 15 18 2| 20 23 23 24 27 5| 51 59 Stem (unit) = 10 Leaf (unit) = 1 分析如下： 最左边的一竖行 0, 1, 2, 5叫做Stem, 而右边剩下的就是Leaf(leaves). 上面的Stem-and-Leaf 共包含了14个data, 根据Stem及leaf的unit, 分别是： 1, 2, 2, 4 (first row), 12, 15, 18 (second row), 20, 23, 23, 24, 27(third row), 51, 59 (last row). Stem and Leaf其实就是把各个unit，比如个位，十位等归类了而已，一般是从小到大有序排列，所以在找Stem-and Leaf 找median的时候，一般不需要你自己把所有的数写出来从新排序.所以只要找到中间的那个数 (如果data个数是偶，则取中间两数的平均数), 就是median了.这道题的median是18和20的平均值 =19. 大家在碰到这种题的时候都可以用上面的方法做，只要注意unit也就是分类的数量级就行了. 为什么用Stem-and-Leaf 方法？可能你觉得这样做太麻烦了，其实Stem-and-Leaf 方法好处就是：你不必从一大堆数里去按大小挑数了，按照data给出的顺序填到表里就可以了。但是，GRE考试这样做是否值自己斟酌。 我的方法，不就是找十来个数么？排序！在先浏一眼数据看看大致范围，然后在答题纸上按个的写，觉得小的写前面，大的写后面，写了几个数之后，就是把剩下的数儿们，一个个的插到已写的数中间么！注意尽可能的把数之间的距离留大一些，否则，如果某些数比较密集，呵呵，你会死的很惨的。 11．To find the median of data given by percentage(按比例求中位数) 给了不同年龄range, 和各个range的percentage, 问median 落在哪个range里. 把percentage加到50%就是median的range了.担小心一点，range首先要保证是有序排列. Example for this: Given: 10～20 = 20%, 30～50 = 30%, 0～10 = 40%, 20～30 = 10%, 问median在哪个range里. 分析： 千万不要上来就加，要先排序，切记！！ 重新排序为： 0～10 = 40%, 10～20 = 20%, 20～30 = 10%, 30～50 = 40%. 然后从小开始加， median（50％）落在 10～20这个range里. 如果觉得比较玄乎，我的方法，GRE大部分的题都可以这么搞。0～10岁 40匹ETS猪，10～20岁 20匹ETS猪，20～30岁 匹ETS猪，30～50岁 匹ETS猪，这100匹ETS猪按着年龄排下来，你说第五十匹ETS猪的年龄落在那个范围。 (原题: 说一堆人0-10岁 占 10%,11-20岁 占 12%,21-30岁 占 23%,31-40岁 占 20%,〉40岁 占 35%,问median 在什么范围?) 12：比较,当n<1时，n，1，2 和1，2,3的标准方差谁大 standard error 和 standard variation (作用=standard deviation)都是用来衡量一组数据的离散程度的统计数值,只不过由于standard error中涉及绝对值,在数学上是很难处里的所以,都用标准方差,实际上standard error更合理一些,它代表了数据和平均值的平均距离.很明显题目中如果n=0的话,0,1,2的离散程度应该和1,2,3的离散程度相同.如果n<0,则n,1,2,的离散程度大于后者,而0
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