补充：拉氏变换 补充：拉氏变换 一、复数 1、定义 将 的数称为复数，其中 称为虚数单位， 为 的实部， 为 的虚部。可分别
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示为Res= ，Ims= 。 2、共轭复数 设 为一个复数，称 为 的共轭复数，记为 。 3、复数的运算 设 ， 是两个复数，则 （1）加减法定义 ， ， （2）乘法定义 （3）除法定义 （ ） 4、复变函数的概念 设A是复平面上的一个点集，如对于A中任意的一点 ，有确定的复数G同它对应，则说在A上定义了一个复变函数，称为 。 5、指数复变函数 定义：对于复数 ，称 为指数复变函数。 因此，对任意的实数 有： 该式也称为欧拉（Euler）公式。 二、拉普拉斯变换（LapLace 变换，简称拉氏变换） （一）、定义 设函数 满足：（1）当 时， ；（2）当 时， 分段连续且 则 的拉氏变换存在，且表达式记为： 相应地， 为 的拉氏逆变换。记为： 。 例：求正弦函数 的拉氏变换。 解：由欧拉公式有， ，可得 解法二： 故 （二）、基本性质 1、线性性质 ； 2、微分性质 （1） 证明： （分部积分法） 一般地： （2） 一般地： 3、积分性质 证明： 令 ，则有 ，且 ，也即 ，故 4、位移性质（也称复位移性质）： ； 证明： （变量替换的概念）。 5、延迟定理（也称实位移性质）： ；[注意： 为正值] 证明： （时间小于零，没定义，变量替换的概念） 6、初值定理： ；终值定理： （三）、常见函数的拉氏变换 1. 单位脉冲函数 2.单位阶跃函数 3.单位斜坡函数 4.指数函数 5.正弦函数 6.余弦函数 （四）、拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： （a）F(s)中具有不同的极点时，可展开为 （b）F(s)中具有多重极点时，可展开为 ，其中系数a求法同上。 例： ，求拉氏反变换 解：将 展开为部分分式得 因此， 例： ，求拉氏反变换 解：将 展开为部分分式得 因此， 例： ，求拉氏反变换 解：方法一：部分分式法 因此， 方法二：拉氏变换的位移定理 根据典型信号的拉氏变换得， 例： ，求拉氏反变换 解：将 展开为部分分式得 因此，
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