MIMO信道容量极限

1 MIMO 信道容量极限 摘要——我们对最近的关于单用户和多用户多输入多输出(MIMO)信道的香农容 量的研究结果进行了全面的概述。尽管预测了这样的信道有着巨大的容量增益， 这些预测却或多或少基于一些不切实际的前提下，比如基本的时变信道模型，信 道被接收端和发送端追踪的程度如何。更加实际一点的前提会对 MIMO 技术潜 在的容量增益造成很大的影响。对于时变 MIMO 信道有多种香农理论容量定义， 对于每一种定义又有着不同的相关模型和要考虑的信道信息量前提条件。我们首 先对单用户 MIMO 信道的遍历容量和中断容量结果进行了全面的总结。这些结 果表明多天线带来的容量增益很大程度上依赖于接收端或者发送端获得的信道 信息：信道的信号噪声比，每一个天线单元的信道增益之间的相关性。我们把注 意力集中在多址接入信道(MACs)的容量区域，已知的广播信道可获得的最大速率 区域，与单用户 MIMO 信道相反，多用户 MIMO 信道容量的获得是相当困难的。 我们总结了 MIMO 广播信道和多址接入信道的结果，这些信道要么是固定的， 要么发送端和接收端都能对信道的瞬时状态有着精确的了解。MIMO 多址接入信 道的容量区域和已知的广播信道可获得的最大速率区域（又叫做脏纸区域）可以 通过对偶变换紧密联系起来。这一变换方便了寻找能够达到 MIMO MAC 容量区 域边界上点的发送策略，也方便了寻找 MIMO 广播脏纸区域的发送策略，反之 亦然。最后我们讨论了采用基站协作多小区 MIMO 信道的容量结果。基站起到 了天线阵列空间分集的作用，利用这一结构的发送策略显示出巨大的容量增益。 本文对 MIMO 蜂窝系统的容量问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 也进行了简要讨论。在这一领域内尚存在大 量的未解决的问题，对这些未解决问题的讨论贯穿于全文。 关键字——天线相关；波束成形；广播信道(BCs)；信道分布信息(CDI)；信道状态 信息(CSI)；多小区系统；多址接入信道(MACs)；多输入多输出(MIMO)信道；多用 户系统；香农容量。 Ⅰ引言 无线通信系统继续为更好的数据速率而努力。尤其地，这一目标要挑战系统 的功率、带宽和复杂度限制。然而另一领域能够被很好地利用来极大地提高系统 的容量：使用多个发送天线和接收天线。Winters [81]， Foschini [20]和Telatar [69] 在这一领域内所做的开创性工作激起了大家的浓厚兴趣，当信道呈现出丰富的分 散性并且信道的变化能够被精确地跟踪的时候，他们预测了多天线的无线系统有 着非常可观的频谱效率。这一优异的频谱效率的愿景几乎是免费的，导致了爆炸 似的研究活动，这些研究的目的是要描绘多输入多输出(MIMO)无线信道的理论 问题和实际问题的特征，并且要将这些思想延伸到多用户系统。本节总结了最近 一些集中于研究单用户和多用户MIMO系统容量方面的工作，这些研究都是在不 同的空间相关性和发送端接收端可获得的信息的前提条件下进行的。 MIMO信道带来的大频谱效率是基于丰富的分散环境前提下的，丰富的分散环境 可以提供由每一个发送天线到每一个接收天线的独立传播路径。因此，对单用户 系统而言，发送和接收策略利用这一结构达到接近于  min ,M N 个的独立路径的 2 容量，其中M 是发送天线的数目 N 是接收天线的数目。这样相应于只有一个发 送天线和一个接收天线，容量可以随着  min ,M N 线性增长。这一容量的增长需 要一个分散的环境，比如发送和接收天线对之间的信道增益矩阵是满秩的、有着 相互独立的元素（行与行、列与列之间是独立的），并且这些增益的精确估计能 够被接收端获得。发送端和接收端对这些增益的精确估计提供了常数乘法器和线 性尺度的增加。很多随后的工作旨在描绘出MIMO信道在更加现实的前提下的特 性，这些前提条件涉及到根本的信道模型和发送端接收端获得的信道估计。不管 从理论的角度还是现实的角度来看，主要的问题都是最初由Winters, Foschini, and Telatar预测的容量增益是否能够在现实可操作的情况下获得，增加更多的天线和 （或）用来反馈接收端获得的信息给发送端的反馈链路能够获得多少的增益。 MIMO 信道容量很大程度上取决于信道的统计特性和信道天线单元的相关 性。近期的研究既发展了基于分析的 MIMO 信道模型也发展了基于测量的 MIMO 信道模型，以及对于室内和室外环境的相应的信道容量的计算。天线相关性作为 分散环境、发送端和接收端之间的距离、天线的配置结构以及多普勒频移的函数 ([1],[65])剧烈地变化着。正如我们看到的那样，信道相关性对于容量的影响取决 于发送端和接收端对于信道状况了解了多少：相关性有时候会增加容量，有时候 却会减少容量[16]。此外，天线之间相关性很低的信道仍然会呈现出“锁孔”效 应：信道增益矩阵的秩非常小，导致容量的增加很有限[12]。庆幸的是，这一效 应在大多数环境中并不是普遍的。在低功率（宽带）的情况下，信道统计特性的 影响也有几条有趣的性质：这一方面最近的研究成果能够在参考文献[71]中找到。 我们把重点放在香农理论意义下的 MIMO 信道容量上。单用户时不变信道 的香农容量定义为信道输入和输出间的最大互信息量。香农容量定理指出了这一 最大互信息量是能够在信道中以任意小的错误概率传输数据的最大数据速率。当 信道是时变时，信道容量有很多种定义，取决于发送端和（或）接收端对信道状 态或信道分布知道了多少，以及取决于 基于在所有信道状态/分布上进行速率平 均或者维持一个固定的常数或维持一个最小的速率意义下 容量是否能够被测量 出来。特别地，当被称为信道状态信息(CSI)的瞬时信道增益被发送端和接收端精 确知道时，发送端就可以采用相应于瞬时信道状态的发送策略。在这种情况下， 香农（遍历）容量是在所有信道状态上取平均的最大互信息量。这个遍历容量通 常是用自适应发送策略来获得，发送功率和数据速率随着信道状态变化而变化。 对于发送端和接收端有着精确 CSI的时变信道的其他容量的定义包括中断容量和 最小速率容量。在所有非中断信道状态中，这些容量需要一个固定的或者最小数 据速率，延时受限数据的应用需要知道非中断信道的状态，数据速率不取决于信 道变化（中断时例外，此时没有数据传输）。与中断容量或最小速率容量相关的 平均速率一般会比遍历容量小，这是由于这些定义附加的限制导致的。本文重点 放在发送端和接收端精确了解 CSI 情况下的遍历容量上。 当发送端（接收端）只知道信道的概率分布函数信息时，发送（接收）策略 是基于信道分布而不是基于瞬时信道状态的。信道系数一般都假设为联合高斯分 布，因此信道分布由信道的均值矩阵和方差矩阵来指定。我们把对信道分布的了 解看作是是信道分布信息(CDI)。在全文中我们假设 CDI 是理想的，因此发送端或 者接收端和真实的信道分布之间没有失配。当只有接收端获得精确 CSI 时，发送 端必须要维持一个固定速率的相应于 CDI 最优的发送 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。在这种情况下，遍历 容量定义了在所有信道状态上取平均时能够获得的速率[69]。或者，发送端发送 一个不能够被所有信道状态支持的速率：在这些差的信道状态中接收端会发生掉 3 话并且发送数据丢失。在这一场景下，每一个发送速率都有一个与之有关的掉话 概率，容量由相应的掉话概率来测量（容量 CDF）[20]。一篇关于单天线信道的 衰落信道容量的极好的学习材料可以在[4]中找到。对于有着发送端和接收端理 想 CSI 的单用户 MIMO 信道，遍历容量和中断容量的获得是容易的，因为对于每 一个信道状态 容量都已经知晓了。因此，对于单用户 MIMO 系统本文重点放在 容量结果上，假定发送端获得理想 CDI 接收端获得理想 CSI 或 CDI。尽管最近在 这一领域内获得很大进步，还有很多未解决的问题。 在多用户信道中，容量变成一个由所有速率向量  1, , KR R 集合定义的K维 区域，这一速率向量由K个用户同时获得。时变信道在不同发送端和接收端 CSI、 CDI 假设下的多个容量定义可以以显然的方式扩展到多址接入信道(MAC)和广播 信道(BC)的容量区域[28],[48],[49],[70]。然而，这些 MIMO 多用户容量区域即使对 于时不变信道也是很难找到的。。多用户 MIMO 时变信道的容量结果基本上是没 有的，尤其是在发送端和（或）接收端只有 CDI 的实际情况下。因此对于多用户 MIMO 系统，本文的重点是在发送端和接收端获得理想 CSI 假设下的遍历容量， 对已知的结果以及其他容量定义和 CSI/CDI 假设下的尚未解决的问题进行了简要 讨论。 注意到此处描述的 MIMO 技术对于任何由矩阵描述的信道都是适用的。矩 阵信道不仅能描述多天线系统也能描述带有串扰的信道[85]和宽带信道[72]。尽 管本文的重点是无记忆信道（平坦衰落），我们会在一节中讨论使用广泛知道的 将信道时延扩展合并到信道矩阵中的方法，结果也可以扩展到有记忆信道(ISI)。 已经发展了很多实际的 MIMO 技术来利用香农理论预测的理论容量增益。 这一方面主要的工作是空时编码：这一方面最近的 工作总结 关于社区教育工作总结关于年中工作总结关于校园安全工作总结关于校园安全工作总结关于意识形态工作总结 在[21]中。MIMO 系 统其他的技术包括空时调制[30]，[33]，自适应调制和编码[10]，空时均衡[2]，[51]， 空时信号处理[3]，空时 CDMA[14],[34]，以及空时 OFDM[50],[52],[82]。对这些领 域近期的发展以及其他技术和这些技术的性能的总结可以在[25]中找到。 表格 I 缩写表 CSI 信道状态信息 CDI 信道分布信息 CSIT 发送端信道状态信息 CSIR 接收端信道状态信息 CDIT 发送端信道分布信息 CDIR 接收端信道分布信息 ZMSW 零均值空间白色 CMI 信道均值信息 CCI 信道协方差信息 DPC 脏纸编码 MAC 多址接入信道 BC 广播信道 本文中剩下部分的安排如下。在第二节中，我们讨论了发送端和接收端在不 同信道状态和分布信息的假设下的单用户 MIMO 系统的容量。这一节中也描述 了波束形成和训练序列问题的最优性。第三节中也描述了 MIMO 多址接入信道 的容量区域和脏纸编码可获得的 MIMO 广播信道的容量区域，以及这些区域之 间的对偶连接。多小区系统在脏纸编码(DPC)和波束形成下的容量在第四节中讨 论，第四节中也讨论了容量，分集，扇区化之间的折中。第六节总结了这些容量 4 结果，描述了一些尚未解决的问题以及与 MIMO 系统相关的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 问题。 记号上的提示：我们用黑体表示矩阵和向量，用   表示期望， S 表示行 列式， 1S 表示方阵S的逆。对于一般性的矩阵M， †M 表示共轭变换，  Tr M 表 示迹。 I代表单位阵，  diag i 表示对角元素  ,i i 等于 i 的对角阵。对于对称矩 阵，记号 0Q 表示Q是一个半正定阵。 全文中缩写的表格在表格 I中给出。 Ⅱ 单用户 MIMO 在这一节中，我们把重点放在单用户 MIMO 信道容量上。尽管当今大多数 的无线通信系统都支持多用户，对单用户结果仍然有很大的兴趣，由于其在信道 化的系统中的应用以及其可以提供对整个系统性能透视，信道化的系统中用户被 分配了些正交资源（时间，频带宽度，等等）。相比多用户而言，单用户的 MIMO 信道容量也较容易推出。的确，单用户容量结果在很多情况下是已知的，而相应 的多用户问题还没有解决。尤其是在发送端(CSIT)和接收端(CSIR)没有理想信道状 态信息的假设下，对多用户容量知之甚少。尽管在 CSI 和 CDI 的一般假设下单用 户容量还存在一些尚未解决的问题，对于一些感兴趣的情况结果是知道的。本节 对已知的单用户 MIMO 信道结果进行总结，重点尤其放在发送端和接收端 CDI 的特殊情况。我们先对信道模型和考虑的不同的 CSI 和 CDI 模型以及这些模型的 进行描述。 A. 信道模型 假设发射端有M 个发送天线接收端有 N 个接收天线。信道可以由N M 的 矩阵H表征。 1N  的接收信号 v等于  v Hu w (1) 这里u是 1M  的发送向量，w是 1N  加性白色圆对称复高斯噪声向量，归一化 w使其是单位矩阵。归一化任一非奇异噪声协方差矩阵 wK 使其适合上面的信道 是容易做到的，可以用 1/2wK 乘以接收矢量来产生有效的信道 1/2 wK H和白色噪声 向量。 CSI 是信道矩阵H。这样，有着理想的 CSIT 或者 CSIR，信道矩阵H及其瞬时 状况就可以假定被发送端或者接收端精确了解了。当发送端或接收端对信道状态 精确了解时，我们也可以假定它对这一状态的分布也精确了解了，因为分布可以 由状态观测得到。 1) 理想 CSIR 和 CDIT：理想 CSIR 和 CDIT 模型由信道状态可以被接收端精确 追踪这一场景来激励，此场景中发送端的信道统计模型是基于来自接收端反馈的 CDI。这一分布模型是典型地基于接收端对信道状态的估计以及这些估计所带来 的不确定性。图 1说明了这一场景中基本的通信模型，这里 表示复高斯分布。 5 2 H 0, H I v u w w p 发送端 接收端 u v ,H 信道 图 1 有着理想 CSIR 和分布反馈的 MIMO 信道 这一模型显著的特征如下：  以定义信道分布的参数为条件，信道在不同时刻的实现H是独立同分 布的(i.i.d)。  在无线系统中信道统计特性随着时间而改变，这是由于发送端和接收端 的移动性以及分散环境所导致的。于是，是时变的。  统计特性依赖于所感兴趣的时间尺度。举个 例子 48个音标大全附带例子子程序调用编程序例子方差分析的例子空间拓扑关系例子方差不存在的例子 来说，短期内信道系数 也许是零均值，能够反应特定传播环境的几何结构。然而，在一段很长 的时间内，信道系数被描述成零均值的，并且由于在几个传播环境内取 平均信道系数是不相关的了。由于这个原因，在缺乏分布反馈或者信道 系数不太可能适应短期信道统计特性的情况下，不相关零均值的信道系 数对于信道分布是一种常规的假设。然而，如果发送端接收到频繁的 更新信息，并且发送端能够适应这些时变的短期信道统计特性，那么相 对于长期信道统计特性的发送策略而言，容量增加了。也就是说，让发 送策略适应短期的信道统计特性能够增加能量。文献中指出适应短期的 信道统计特性（图 1 中的反馈模型）有很多的别名，包括均值和协方差 反馈，非理想反馈和部分 CSI [38],[40],[42],[45],[46],[56],[66],[76]。  反馈信道假定与噪声无关，这使得 CDIT 是 CDIR 的一个确定性函数并且 允许在输入序列上直接进行最优编码[8]。  对于的每一个实现，条件平均发送功率限制条件为 2 | P      u 。  图 1 中系统的遍历容量C是容量  C  在不同实现上取平均  C C     这里  C  是图 2 中信道的遍历容量。这幅图代表了接收端有着理想 CSI， 发送端只有关于固定分布的 CDI 的 MIMO 信道信道容量的计算一般隐 含地假设发送端和接收端都获得 CDI，一些特殊的信道比如复合信道或 者任意变化的信道除外。的隐含假设可以由信道系数是基于长期平均 分布这样典型建模方法的事实来证明。或者可以由图 1 中反馈模型来 得到。这样，受图 1 中分布反馈模型的启发，在不同分布   模型下， 我们提供了图 2 中系统模型的容量结果。当 CDI 在发送端或者接收端可 获得时，为表达更清楚些我们进行了详尽陈述并与 CSI 可获得时的情况 进行比较。 6      , | | ,p vH u p H p u Huu ,vH 图 2 有着理想 CSIR 和 CDIT 的 MIMO 信道（ 固定） 对于一般的  p  来计算  C  是一个困难的问题。这一领域内几乎所有的研 究都集中于这一分布的三个特殊情况：零均值空间白色信道，非零均值的空间白 色信道和有色信道协方差的零均值信道。这三种协情况的信道系数都建模为复联 合高斯随机变量。在零均值空间白色(ZMSW)信道的情况下信道均值为 0 信道协 方差建模为白色，也就是说信道元素假设为独立同分布的随机变量。这一模型抓 住了信道系数在多径传播环境中取平均的长期平均分布的特征。在信道均值信息 (CMI)模型情况下，信道分布的均值是非零的，尽管协方差建模为有一个常数尺 度因子的白色矩阵。这一模型由系统激励，系统中信道状态在发送端没有得到精 确测量，CMI 反映了这种不精确的测量，常数因子反映了估计的误差。在信道协 方差信息(CCI)模型的情况下，信道假设为变化太快以至于不能够追踪信道的均值， 因此信道均值被设定为零，对于相应传播路径几何问题的信息由一个有色协方差 矩阵表征。基于图 1 所示的基本系统模型，文献中 CMI 模型又叫做均值反馈， CCI 模型又叫做协方差反馈。数学上，这三种分布模型关于H描述如下： 零均值空间白色(ZMSW)：   H 0， wH H ； 信道均值信息(CMI)：   H H， w H H H ； 信道协方差信息(CCI):   H 0，     1/2 1/2 wr tH R H R 。 这里， wH 是一个 N M 独立同分布零均值单位方差的循环对称复高斯随机变量 矩阵。信道均值H和因子 是常数，它们分别被解释为基于反馈的信道估计和这 种估计的方差 rR 和 tR 叫做接收和发送衰落协方差矩阵。尽管不具有完全的一般 性，这一简单的相关模型被最近的现场测试证实了，这些现场测试充分代表了实 际蜂窝系统中的衰落相关性。在 CMI情况下假设我们知道均值H和估计误差 的 方差，在 CCI 模型下假设知道发送和接收协方差矩阵 rR 和 tR 。 2) CDIT 和 CDIR：在高速移动信道中，接收端获得理想 CSI 的假设是不切实 际的。这样，我们现在考虑发送端和接收端都只获得信道分布信息的模型。尽管 对于一个快速变化的信道，可靠的信道估计是不太可能，然而由于信道分布的变 化相比信道本身的变化慢得多，接收端却有可能追踪信道衰落的短期分布。通过 一个反馈信道，估计的分布对于发送端是可获得的。图 3 示出基本的通信模型。 2 H 0, H I v u w w p 发送端 接收端 u v 信道 图 3 有 CDIR 和分布反馈的 MIMO 信道 注意到接收端信道统计特性的估计作为提供正确信道分布给接收端的模块 来表征。反馈信道代表了发送端可同时获得相同的信息。这一模型是稍微乐观了 些，因为实际上接收端只从接收信号 v估计，因此不会获得理想估计。 7      , | | ,p v H u p H p u H uu v 图 4 有 CDIT 和 CDIR（固定）的 MIMO 信道模型 正如前面章节中叙述那样，遍历容量变成遍历容量  C  的期望值（关于求 期望），这里  C  是图 4 中信道的遍历容量，本图中是固定的并且发送端和接 收端都知晓（CDIT 和 CDIR）。正如前面小节所述，  C  对于一般的计算式困 难的，因此我们考虑的问题限定在前面小节中描述的三个信道分布模型：ZMSW， CMI 和 CCI 模型。接下来在不同的 CSI 和 CDI 假设下，我们对单用户 MIMO 信道 容量结果进行总结。 B. 恒定 MIMO 信道容量 当信道是恒定的并且在发送端和接收端能够精确了解时，容量是   † :Tr max log N P C    Q Q I HQH (2) 这里Q是输入协方差矩阵。Telatar[69]表明 MIMO 信道可以通过信道矩阵的奇异 值分解(SVD)的方法转化为并行的非干扰单输入单输出(SISO)信道。SVD 分解产生  min ,M N 个并行信道，有着相应于矩阵H的奇异值 2i 的增益。在这些并行信 道上对发送功率进行注水操作可求出功率分配  2 , 1 min , 1 i iP i M N            (3) 这里是注水门限， iP是信道的第 i个本征模的功率，x 定义为  max ,0x 。信道 容量表示为      2 min , log i M N i C     (4) 尽管恒定信道模型相对容易分析，实际中的无线信道不是固定的或恒定的。 反而，由于变化的传播环境，无线信道随着时间变化，假定变化是连续的。衰落 信道的容量在下面研究。 C. 衰落 MIMO 信道容量 在慢衰落情况下，信道会维持足够长时间的近似恒定来允许接收端获得信道 状态的可靠估计（理想 CSIR）并且及时将这一状态信息反馈给发送端（理想 CSIT）。 然而在适当提高用户移动性的系统中，系统设计者不可避免地遇到变化快的信道。 只有信道分布对于接收端(CDIR)和（或者）发送端(CDIT)可获得时的衰落模型适用 于这样的系统。本节总结在不同的关于 CSI 和 CDI 假设下的容量结果。 1) 理想 CSIT 和理想 CSIR 的容量：用理想 CSIT 和理想 CSIR 对衰落信道进行 建模，衰落信道变化足够慢以至于能在接收端获得可靠测量并且没有太大延迟地 反馈给发送端。理想 CSIT 和 CSIR 平坦衰落信道的遍历容量是每一个信道实现上 容量的平均。每一个信道实现的容量由前面一节中恒定信道容量的表达式给出。 8 这样，假设发送端和接收端有着理想信道信息的衰落 MIMO 信道容量为   † :Tr max log N P C        H Q Q I HQH (5) 2) 理想 CSIT 和 CDIT 的容量:ZMSW 模型：Foschini 和 Gans[22]以及 Telatar[69] 所做的开创性工作描述了理想 CSIR 和发送端 ZMSW 信道分布的情况。回想一下 这一情况，信道矩阵H假定为有相互独立同分布(i.i.d)的复高斯元素（也就是说， wH H ）。正如引言中描述的那样，这一情况下两个相关的容量是中断容量（容 量 CDF）和遍历容量。文献[22]和[69]表明对于任何输入协方差矩阵，达到遍历 容量的输入分布是复高斯向量，主要是因为对于一个给定的协方差矩阵，复高斯 向量能够最大化熵值。这就导致了发送端最优化的问题——也即，找到最大化遍 历容量的最佳输入协方差矩阵，遍历容量受限于发送功率限制（输入协方差矩阵 的迹）。数学上，这一问题就是要找到使得下式最大的最佳Q矩阵     :Tr max P C C   Q Q Q (6) 这里     † :Tr max log N P C        H Q Q Q I HQH (7) 是关于输入协方差矩阵 †   uu Q和相应于信道矩阵H均值的互信息量。互信 息量  C Q 可以通过根据Q的特征向量发送独立的复循环高斯符号来获得。分配 给每一个特征向量的功率由Q的特征值给出。 文献[22]和[69]表明最大化遍历容量的最佳输入协方差矩阵是缩放的单位阵，也 就是说发送功率在所有发送天线上平均分配。因此，遍历容量由下式给出 †log N P C M        H I HH (8) 这一期望的积分形式涉及拉格朗日多项式，在文献[69]中可以得到。如果M 和 N 同时变大，可看到容量随着  min ,M N 线性增长。增长速率的表达式在[32] 和[69]可以找到。 Telatar[69]猜测最大化中断容量的最佳输入协方差矩阵是功率在发送天线子 集上均匀分布的对角矩阵。最主要的观测是随着容量的累计概率分布函数(CDF) 变陡，对于低中断概率而言中断容量增加，对于高中断概率而言中断概率降低。 这反映在中断概率越高，应该使用的发送天线数越少这样的事实上。由于发送功 率在更多的天线之间共享C的期望增加了（因此遍历容量增加），但是分布的尾 部衰减也更快了。尽管这增加了低中断概率的中断容量，却减小了高中断概率的 中断容量。通常，我们对低中断概率感兴趣 2，直观来说中断容量随着信道分集 阶数的增加而增加，也即随着容量累积概率密度函数 CDF 变陡而增加。Foschini 和 Gans[22]建议了一种采用梯状编码获得这些容量的分层结构。这一结构，叫做 贝尔实验室分层空时(BLAST)结构，显示出单天线系统上庞大的容量增益。举个例 来说，在 1%中断概率，12dB 信号噪声比(SNR)，12 根天线时，频谱效率是 32b/s/Hz, 与之相比现今的单天线系统频谱效率大约为 1b/s/Hz。尽管[22]和[69]中的信道模 型假设不相关和频率平坦衰落，实际的信道既呈现出相关衰落也呈现出频率选择 性。对于实际系统呈现出信道衰落相关和频率选择性衰落的时，估计 BLAST 结构 容量增益的需要诱发了测量容量的研究，在文献[24]和[55]中有叙述。发现实际 测量到的容量比理想模型预测的容量大约小 30%。然而，在单天线系统中获得的 9 容量增益依旧是巨大的。 3) 理想 CSIR 和 CDIT 的容量：CMI 和 CCI 模型：近期的研究表明发送端对短 期信道统计特性的了解所带来的 MIMO 信道容量的提升是非常可观的。这些结 果激起了研究在一般分布模型下有着理想 CSIR和 CSIT的MIMO信道容量的兴趣。 本节我们重点研究相应于信道均值或协方差矩阵分布反馈的 CMI和 CCI信道分布 的情况。这样信道的容量的关键结论最近由几个包括 Madhow 和 Visotsky[76]， Trott和Narula[58],[57]，Jafar和Goldsmith[42],[40],[38]，Jorsweick和 Boche[45],[46] 和 Simon 和 Moustakas[56],[66]的作者得到。 已知在 CMI 或 CCI 确定的H上的分布，这个问题在数学上由(6)式和(7)式定 义。最优的输入协方差矩阵一般是一个满秩的矩阵，表明要么在天线阵元上采用 向量编码，要么采用与接收端连续干扰抵消并行的标量编码传输。所谓的波束形 成是限制输入协方差矩阵的秩为 1，本质上是导向一个对于典型阵列大小有着很 低复杂度的标量编码系统。 在 CDIT 下容量与复杂度的折中是容量结果的一个有趣方面。在 CDIT 下对于 不同信道分布模型用标量编码来获得容量也叫做波束形成最优化，抓住了折中的 本质，是很多研究本身的主旨。注意到对于无记忆 MIMO 高斯信道向量编码是 指完全无约束的信号方案。每一个符号区间，一个信道的使用相应于发送包含输 入给每一个发送天线的向量符号。理想情况下解向量码字时，接收端需要将空域 和时域间的依赖关系考虑在内，向量解码随着发送天线数目呈指数增长。执行向 量编码的一种低复杂度策略在几个标量码字并行传输的时候也是可能的。文献 [38]表明在不损失容量的情况下，任何输入协方差矩阵，不管它的秩为多少都可 以被看做是在发送端独立编码的几个向量码字，这些向量码字可以在接收端通过 从前面每一阶段编码的码字中抽取出其贡献量来实现连续解码。然而，很多涉及 到连续解码和干扰抽取的问题，比如错误传播，使得这一方法不适合在实际系统 中应用。波束成形的最优化变得尤为重要。波束形成将 MIMO 信道变换成一个 单输入单输出(SISO)信道。这样，很多已知的编解码技术能够用于逼近信道容量 并且由于只有一个波束，干扰抵消也不再需要了。在下面给出的总结中，我们给 出的结果既包括发送端最优化问题也包括波束形成的最优化。 多输入单输出(MISO)信道：我们首先考虑只用一个接收天线和多个发送天线 的系统。信道矩阵的秩为 1。对在理想 CSIT 和 CSIR 情况下，于每一个信道矩阵 实现都有可能精确识别出信道的唯一非零本征模式。另一方面，在 ZMSW 模型 有着理想 CSIR 和 CDIT 情况下，文献 Foschini 和 Gans[22]以及 Telatar[69]表明最优 输入协方差矩阵是很多的单位矩阵。这样，发送端不能识别非零信道本征模式， 导致了功率在所有方向上平均分配的方案。 对于使用单个接收天线和多个发送天线的系统，对于 CMI 和 CCI 模型在 CSIR 和 CDIT 情况下发送端最优化的问题由 Visotsky 和 Madhow 在[76]中求解出。对于 CMI 模型  ,        H H I ，最优输入协方差矩阵 OQ 的主特征向量是同信道均值 向量一起的，并且相应于剩余特征向量的特征值是相等的。当波束形成是最优时， 所有功率都分配给主特征向量。对于 CCI 模型  t,        H H R ，最优输入协方 差矩阵 OQ 的特征向量是与发送衰落协方差矩阵的特征向量是一起的，并且特征 值与发送衰落协方差矩阵的特征值有同样的阶数。此外，Visotsky 和 Madhow 的 10 数值结果表明当反馈质量提高时，波束形成接近于最优方案，所谓的反馈质量提 高也就是在CMI模型下信道不确定性 降低或者在 CCI模型下一个更好的信道模 式可以被识别出来。下面，我们会更详细的讨论反馈质量。在 CMI 模型下，Narula 和 Trott[58]指出有些情况下的容量可以通过波束形成获得。波束形成是获得容量 的一个方案，尽管这时没有完全一般的获得充分必要条件，他们求得了两个发送 天线的部分解。对于 CMI 模型和 CCI 模型，波束形成最优化一般的充分必要条件 由 Jafar 和 Goldsmith 在文献[40]中获得。结果陈述如下。 遍历容量可以由单位秩矩阵获得时，当且仅当下面的条件成立： 1 1 1 2 1 1 1 1 w wP P         (9) 这里对于 CCI 模型 1) 1 2  是信道衰落协方差矩阵 tR 的两个最大的特征值； 2) 1w 是均值为 1 的指数分布，也即 1 1 w w e  ； 并且对于 CCI 模型 1) 1 2    ； 2) 1w 是一个非中心的卡方分布。更精确地说，  1 2 / 1 0 12 / w w e I w       ， 这里  0I  是第一类零阶修正贝塞尔函数。 进一步对于 CCI 模型， (9)式的期望值可以显式地表达成如下的闭式形式 11/ 1 1 2 1 1 1 0, Pe P p P            (10) 图 5 (9)式的充分必要条件 最优条件在图 5 中绘出。对于 CCI 模型波束形成的最优化依赖于发送衰落协方差 矩阵的两个最大的特征值和发送功率 P。当发送协方差矩阵的两个最大特征值是 充分不相干或者发送功率 P充分小的时候，波束形成是最优的方案。因为波束形 成相应于只使用主特征模，这使人想到了注水的求解结果，当最深门限比次深门 限充分小并且功率足够小的时候，只有最深门限才能获得所有功率。对于 CMI 模型，发现最优的波束形成依赖于发送功率 P以及与均值信息有关的反馈质量， 均值信息在数学上定义为信道均值向量H的归一化平方与信道不确定性 的比 值。随着发送功率 P降低或者反馈质量提高，波束形成变得最优了。正如前面提 到的，对于理想 CSIT（不确定因子 0  因此反馈质量），在缺乏均值反馈 （反馈质量 0 这时 CMI 模型变成了 ZMSW 模型）情况下最优输入方案是波束 11 形成，正如在 Telatar[69]中所述，最优输入协方差矩阵是满秩矩阵，也就是说波 束形成是充分次优的。注意到[40],[57],[58]和[76]假定采用单个接收天线。下面我 们总结类似的 MIMO 信道容量结果。 MIMO 信道：在接收端  r R I 建模为空间白色衰落的 CCI 模型的情况下， 有多个发送天线和多个接收天线的 CSIR 和 CDIT 的容量由 Jafar 和 Goldsmith 在文 献[42]中求得。正如单个接收天线那样，发现用输入协方差矩阵获得的容量有着 发送协方差矩阵的特征向量和相应于发送衰落协方差矩阵的特征值相同阶数的 特征值。Jafar 和 Goldsmith 在这一情况下也提出了波束形成最优化的数学意义上 闭合的充分必要条件。这个充分必要条件也分别由 Jorsweick 和 Boche 在文献[45] 以及 Simon 和 Moustakas 在文献[66]中独立求出。在[46]中，Jorsweick 和 Boche 将这些结果扩展扩展到也包括接收端的衰落自相关在内。他们的结果表明尽管接 收衰落自相关矩阵不影响最优输入协方差矩阵的特征向量，但是它的确影响了特 征值。Jorsweick 和 Boche 发现的波束形成最优的一般条件依赖于发送协方差矩 阵的两个最大的特征值以及接收协方差矩阵的所有特征值。 在 CMI 模型下，当信道均值矩阵的秩为 1 时，有多个发送天线和多个接收 天线的容量由 Jafar 和 Goldsmith 在[38]中求出，Moustakas 和 Simon 在[67]将此容 量推广到一般的信道均值情况。类似于 MISO 情况，最优的输入协方差矩阵和信 道均值矩阵的主特征向量是相同的，并且剩余特征向量的特征值是相同的。对于 信道均值矩阵的秩为 1 的情况，波束形成最优的充分必要条件在[38]中也有求出。 这些结果总结了在不同信道分布模型下，我们对有 CDIT 和理想 CSIT 的信道 容量的讨论。从这些结果中，我们注意到适应涉及接收端反馈给发送端的 CMI 或 CCI 分布信息 所带来的益处是成倍的。容量不仅随着更多的信道分布信息增 加，而且这一反馈允许发送端识别出更强的信道模式并且用更简单的标量码字获 得更高的容量。 我们用讨论容量随着天线数目增长的方式来总结本节。在有着理想 CSIR 和 CDIT 的 ZMSW 信道分布的情况下。Foschini 和 Gans[22]以及 Telatar[69]表明信道 容量随着  min ,M N 线性增长。这一线性增长的出现，不管是发送端精确地知道 信道信息(CSIT)还是只知道信道的分布信息(CDIT)。这一线性增长的比例常数，叫 做增长率，已经由[15],[31],[68],[69]表征。Chuah et al.[15]表明有理想 CSIR 和 CSIT， 随着  min ,M N 增长的容量增长率在高信噪比时由于信道衰落自相关性受到衰 减。他们也说明了在 CSIR 下即使在衰落信道上采用空间白色发送方案，互信息 量仍随着  min ,M N 线性增长，尽管相对于非相干衰落信道而言斜率降低了。我 们在下一节会看到，容量随着天线数目线性增长是至关重要的。 下一节中我们探讨只有在发送端和接收端 CDI 可获得时的容量。 4) CDIT 和 CDIR 容量：ZMSW 模型：在上一节中我们看到理想 CSIR 的信道 容量随着发送和接收中最小的天线数目线性增长。然而，对于经受信道系数快速 变化的移动接收者而言，可靠信道估计是不太可能获得的。既然用户移动性是无 线系统发展的最主要推动力，所以对 ZMSW 分布模型（也就是说H的分布为 wH ， 不管是发送端还是接收端对信道状况都不了解）下 CDIT 和 CDIR 的信道行为是尤 其感兴趣的。本节，我们总结这一方面的 MIMO 容量结果。 最早在 ZMSW 模型下陈述 CDIR 和 CDIT 的 MIMO 容量的论文中的其中一篇 是 Marzetta 和 Hochwald 所做的[53]。他们将信道矩阵分量建模为独立同分布的 复高斯随机变量，这些随机变量在变为另一个实现之前在T符号区间的相干时间 12 间隔内保持恒定。当T M 的发送信号矩阵是两个统计独立矩阵的乘积（一个 T M 均匀分布归一化的矩阵，某一个非负实数对角随机矩阵）时，可以达到容 量。这些结果使得他们能够求出很多感兴趣情况的容量 Marzetta 和 Hochwald 表 明对于固定数目的天线随着相干时间间隔长度的增加，获得的容量逼近极限容量， 就好像接收端知道传播系数一样。然而，也许[53]中最令人惊奇的结果如下：与 在理想 CSIR 假设下容量随着  min ,M N 增长相比，[53]表明在没有 CSIT 和 CSIR 下，由于发送天线数目增长的超过相干时间间隔T的长度，容量根本不增加。这 一模型的 MIMO 容量由 Zheng 和 Tse 在[89]中进一步探讨了。他们表示可以用不 超过  min , , / 2M M N T     个发送天线获得高信噪比时的容量。特别低，高信 噪比时，发送天线比接收天线多的更多时容量并不会增加。Zheng 和 Tse 也发现 信噪比 SNR 每增加 3dB 容量会增加  1 /M M T  。 注意到[53], [89]假定采用快衰落模型，也就是说信道衰落系数在T符号持续 时间的块内假定为常数。Hochwald 和 Marzetta 在[54]中讲他们的结果扩展到连续 情况，这里在每一个独立的T符号块内，衰落系数有一个任意的时间相关性。如 果这种相关性在时间间隔 之外消失， 叫做衰落的相关时间，那么[54]表明发 送天线数目增加到超过  min ,T 个天线时并不会增加容量。Lapidoth 和 Moser 在[47]中对于 ZMSW 分布在高信噪比没有块衰落假设下，探讨了这一 CDIT/CDIR 模型的信道容量，信道容量只随 SNR 呈双对数增长。这一结果在非常广泛的条 件下都成立，即使是有记忆并且只有接收侧部分信息时。 5) CDIT 和 CDIR 容量：CCI 模型：当信道分布服从 ZMSW 模型并且信道不能 在接收端精确估计时，[53]和[89]表明我们看上去没有任何希望获得 MIMO 系统 预测的高容量增益。然而，在放弃这些不乐观的结果之前，我们注意到这些结果 假定了信道分布稍微悲观的模型。那是因为在相当小的区域内取平均时的大部分 信道要么是非零均值要么是非白色协方差。这样，如果这些分布参数能够被追踪， 信道分布要么是 CMI 模型要么是 CCI 模型。 Jafar 和 Goldsmith 近期的工作[37]陈述了在 CCI 分布模型下有 CDIT 和 CDIR 的 MIMO 信道容量。信道矩阵分量建模为空间相关复高斯随机变量，这些随机 变量在变为另一个独立的基于空间相关实现之前在T 符号区间的相干时间间隔 内保持恒定。信道相关性假定被发送端和接收端所知道。正如空间白色衰落 （ZMSW 模型）的情况，当T M 的发送信号矩阵是一个T T 的各向同性分布的 归一化矩阵和一个统计独立T M 的非负实数对角随机矩阵以及一个发送衰落 协方差矩阵 tR 的特征向量组成的矩阵的乘积时，可以达到容量。[37]表明信道容 量独立于发送衰落协方差矩阵的最小的  M T   个特征值，也独立于发送和接收 衰落的协方差矩阵 tR 和 rR 的特征向量。与空间白色衰落模型的结果（发送天线 数目增加的超过相干间隔长度即M T 时，容量并不会增加）相比，[37]表明增 加发送天线总是会增加容量，只要信道衰落系数是空间相关的。这样，与有着理 想CSIR的独立衰落的容量相比，这些结果表明在发送端和接收端有CCI的情况下， 发送衰落自相关是有益的，当处理高速移动不能被精确测量的快衰落信道时，对 于减小发送天线之间的距离是有好处的。数学上，[37]证明了对于快衰落信道  1T  的情况，容量是发送衰落自相关矩阵的特征值对应的向量的凹函数。由于 发送端衰落自相关，最大可能的容量增益是 1010log M db. 6) 频率选择性衰落信道：尽管平坦衰落对于窄带系统是一个现实的假设， 13 窄带系统信号的带宽比信道相干带宽小，宽带通信的信道要经历频率选择衰落。 研究频率选择性衰落的 MIMO 系统的容量通常采用的方法是将信道带宽分成并 行的平坦衰落，然后用相应于这些子信道中的每一个对应的信道矩阵给定的对角 块来重构整个的块对角矩阵。在理想 CSIR 和理想 CSIT 下，整个的功率限制导致 了通常的注水算法的闭式解。注意到注水算法是在空域和频域内同时执行的。即 使是 SISO 的频率选择性衰落信道也可以用[59]中的 MIMO 系统模型(1)表示。对 于 MIMO 系统，矩阵信道模型由 Bolcskei, gesbert 和 Paulraj 在宽带衰落环境中基 于分析 OFDM-MIMO 信道容量行为的[5]中求得。对于 ZMSW 模型在理想 CSIR 和 CDIT 的假设下，他们的结果表明不像 SISO 情况，MIMO 的频率选择性衰落信道 提供平坦衰落信道上的优势不仅包括遍历容量也中断容量。换句话说，MIMO 频 率选择性衰落信道比 MIMO 平坦衰落信道能提高更高的分集增益和更高的复用 增益。[55]中测量的结果表明频率选择性使得容量的累计概率分布函数 CDF 变陡 了，因此给定一个中断概率相比平坦衰落情况而言增加了容量，但对遍历容量这 种影响却很小。 7) 多天线系统的训练序列：前面章节中总结的内容表明 CSI 在 MIMO 系统 的容量中起着重要作用。特别地，在没有 CSIR 下的容量结果是非常不同的并且 其结果与假设有 CSIR 的情况相比通常很不乐观。总结一下，已经知道当 CDIT 假 定为 ZMSW 或者 CCI 分布模型时理想 CSIR 和 CDIT 的 MIMO 信道容量随着  min ,M N 线性增长。然而，在快衰落情况下当信道变化很快以至于信道在接收 端（只有 CDIR）不能够被精确估计出来时，对于M T 容量不再随着发送天线 数目增大而增长，这里T是信道去相关时间。在 ZMSW 分布模型下高信噪比时， 有理想 CSIR和 CDIT 的容量随 SNR呈对数增长，尽管有 CDIR和 CDIT 的容量随 SNR 呈双对数增长。这样，CSIR 对于获得无线链路的高容量的优点是至关重要的。CSIR 通常由发送已知训练序列给接收端来获得。然而，训练序列太少的时候信道估计 很差，训练序列太多时在信道变化以前又没有时间给数据传输。因此关键问题就 是在多天线无线链路中训练序列设计为多少是适当的。这个问题本身就是 Hassibi 和 Hochwald 的论文[29]的题目，他们计算出通过训练序列获得的信道容量的下 届并且将此边界作为接收 SNR 和衰落相关时间以及发送天线数的函数来最大化 此边界。当训练序列发数据功率允许变化时，证明出训练符号的最优个数是等于 发送天线数，发送天线数也是保证有意义估计信道矩阵的最小训练间隔长度。当 训练序列和数据功率要求相等时，最优训练序列的持续时间可以比天线数目稍大。 Hassibi 和 Hochwald 也表明基于训练的方案在高 SNR 时是最优的，但在低 SNR 时 是次优的。 D. 在单用户 MIMO 系统中尚未解决的问题 本节所总结的内容构成了在不同 CSI 和 CDI 下我们对信道容量的了解的基础。 这些结论在MIMO无线链路中通过合并训练方案和反馈方案来获得 CDIR/CDIT和 CSIT/CDIT 的益处 起到了有用的指示作用。然而，我们对只有 CDI 的 MIMO 容量 的了解仍然是不完全的，及时是对于单天线系统。我们通过指出一些开放性问题 来结束本节： 1) CCI 和 CMI 组合：在组合 CCI 和 CMI 分布模型下， CDIT 和理想 CSIR 的容 量问题尚未解决，即使是单个接收天线。 14 2) CCI：在 CCI 模型下对于完全一般的相关，理想 CSIR 和 CDIT 的容量问题 尚未解决。 3) CDIR：几乎所有的只有 CDIR 情况的问题都是开放的。 4) 中断容量：要么发送端要么接收端只有 CDI 的大多数结果都是针对遍历 容量的。中断容量相比遍历容量更加不容易分析处理并且包含大量的开 放性问题。 Ⅲ 多用户 MIMO 本节中我们考虑两个基本的多用户 MIMO 信道模型：MIMO 多址接入信道 和 MIMO 广播信道。既然一般的 MAC 容量区域已经知道很多，对于恒定信道以 及发送端和接收端有不同 CSI 和 CDI 假设的衰落信道都有很多结果。然而，MIMO 广播信道由于其容量结果近期才被发现所以是一个相对较新的问题。结果就是这 一领域被研究的很少，但是我们总结了下这一领域内的近期成果。有趣的是， MIMO 多址接入信道和 MIMO 广播信道被证明是对偶的，我们将会在Ⅲ-C2 节讨 论。 A. 系统模型 为了描述 MAC 和 BC 模型，我们考虑基站有M 个天线并且K个用户中的每 一个都有 N 个天线的蜂窝系统。这一系统的下行链路是一个 MIMO 广播信道， 上行链路是一个 MIMO 多址接入信道。我们用 iH 表示从基站到用户 i的下行链路 信道矩阵。假设上行链路和下行链路的信道是相同的，用户 i的上行矩阵是 †iH 。 系统模型框图如图 6 所示。 在多址接入信道中，设 1Nk u 是用户（比如移动台） k 的发送信号， 1Mv 表示接收信号， 1w M 表示噪声向量，这里  w 0,I 是单位协方 差循环对称复高斯的。基站侧的接收信号等于 这里， 1 † † † K   H H H 在 MIMO 广播信道中，每一个用户（比如说移动台）受限于单个的功率限制 kP ， 用户 k的发送协方差矩阵定义为 †u uk k k   Q 。功率限制意味着对于 1, ,k K 有  Tr k kPQ 。 † † 1 1 1 † v= u u w u = w u K K K             H H H 15 图 6 （左）MIMO BC 系统模型和（右）MIMO MAC 系统模型 在广播信道中，设 1Mx 表示来自基站的发送向量， 1Nk y 是接收者 （比如说移动台）k的接收信号。接收端 k的噪声用 1Nk n 代表并且假设为循 环对称复高斯噪声  ( 0, )k Nn I 。用户 k的接收信号等于 k k k y H x n (11) 输入信号的发送协方差矩阵是 †x     xx 。基站受限于平均功率条件 P，也即  Tr x P  。 B. MIMO 多址接入信道 本节我们总结多天线 MAC 容量结果。首先分析恒定信道场景然后考虑衰落 信道。既然一般MAC容量区域已知，恒定MAC容量区域的表达式是显而易见的。 对于衰落情况，我们必须考