第五章几何证明初步5.6几何证明举例（4）一、预习诊断 下列说法中，错误的是（）。 A．三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形内部 B．三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等 C．三角形任意两个角的平分线的交点都在第三个角的平分线上 D．三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等教学目标 1.掌握并证明角平分线的性质定理及其逆定理； 2.会运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关实际问题。回顾与思考1.什么叫角的平分线？2.根据本册第二章的学习你知道角的垂直平分线有什么性质？3.这个性质你是怎样得到的？这个性质是真命题吗？你能用逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？二、精讲点拨证明:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等PMNCBAD已知：如图,BD是∠ABC的平分线,点P在BD上，PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别是点M和N.求证:PM=PN温馨提示：证明的推理过程可以用文字语言，也可以用符号语言。符号语言 角平分线的性质定理：∵点P在的平分线BD上PM⊥BA,PN⊥BC∴PM=PNPMNCBAD交流与发现你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？应如何证明它的真实性?角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.已知:如图,点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别是M与N，且PM=PN求证:点P在∠ABC的平分线上符号语言 角平分线的判定定理：∵PM⊥BA,PN⊥BC，PM=PN∴点P在∠ABC的平分线上（或BP是∠ABC的平分线）典型例题 我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结论？ 例:已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线。求证：AM，BN，CP交于一点。要证明三角形的三条角平分线交与一点，只要证明两条角平分线的交点也在第三条角评分线上就可以了。小试身手 如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，D、E是垂足。求证：MD＝ME。再试身手 如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，AE平∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF. 求证：BF是∠ABC的平分线.三、系统总结1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。作用：证明两条线段相等2.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点点在这个角的平分线上。作用:证明两个角相等或线是角平分线3.符号语言：角平分线的性质定理：∵点P在的平分线BD上且PM⊥BA,PN⊥BC∴PM=PN角平分线的判定定理：∵PM⊥BA,PN⊥BC，且PM=PN∴点P在∠ABC的平分线上（或BP是∠ABC的平分线）
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