探究符合某些条件的等腰三角形
顶点个数的方法
安徽省合肥市四十二中学 王郁森 （邮编：!"###$）
探求符合某些条件的等腰三角形顶点个数问题是
数学竞赛中备受青睐的一个重要测试点，因为解决此
类问题涉及三角形与圆的知识的综合运用以及分类思
想、对称思想的渗透，具有知识性、思想性的考查与训
练价值。解决此类问题的方法，主要是线段垂直平分
线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不
漏。下面以举例形式作分析说明。
例$ 在平面直角坐标系!"#中，已知一点$（"，
%"），在#轴中确定点%，使!$&%为等腰三角形，则
符合条件的点%的个数为（ ）
（&）!个 （’）"个 （(）)个 （*）+个
分析 这里!$&% 中&$ 是确定的，因此使
!$&%为等腰三角形时，可分为当&$ 为底边和腰
两种情况讨论。
图$
（$）当!$&%是以&$
为底边的等腰三角形时，则
%点必在&$ 的垂直平分
线上。
（!）当!$&% 以&$
为腰时，则有两种情况：
!以定点&为圆心，使
&%,&$，则% 点在以&
为圆心，以&$ 为半径的圆上；
"以定点$ 为圆心，使%$,&$，则%点在以
$ 为圆心，以&$ 为半径的圆上。
综上所述，符合条件的%点的个数必属于以下三
种情况：
解 如图$，（$）作&$ 的垂直平分线交#轴于%$
点；
（!）以&为圆心，&$ 为半径画圆交#轴于%!、%"
点；
（"）以 $ 为圆心，&$ 为半径画圆交#轴于%)
点。
故%$、%!、%"、%)为符合条件的点，应选（(）。
例! 在等腰!’()（’(,’)"()）所在平面
上有一点%，使得!%’(、!%()、!%)’都是等腰三
角形，则满足此条件的点有（ ）
（&）$个 （’）!个 （(）-个 （*）.个
（!###年黄岗初中竞赛题）
图!
分析 由等腰三角形的
对称性可知，按照题意应从
下列几个方面考虑（如图
!）：
（$）当!%’(、!%’)
分别以’(、’) 为腰，以’
为顶点，!%() 以() 为底
边的等腰三角形的情况；
（!）当!%’(、!%’)分别以’(、’)为腰，以点
(、)为顶点，!%()以()为底边的等腰三角形的情
况；
（"）当!%’(、!%’)、!%() 分别以’(、’)、
()为腰的情况；
（)）当!%’(、!%’)、!%() 分别以’(、’)、
()为底边的情况。
综上所述，探求%点的方法可分为四种情况。
解 （$）作()的中垂线与以’ 为圆心、’(（或
’)）为半径的圆（#’）相交于点%$、%!，则%$、%!满
足条件；
（!）作以(（或)）为圆心，’(为半径的圆交()
的中垂线于点%"，则%"满足条件；
（"）分别以(、) 为圆心，() 为半径作#( 与
图"
#(，#’、#( 与（$）中的
#’分别交于点%)、%+，则
%)、%+满足条件；
（)）!’()三边的垂直
平分线的交点（外心）%-也
是满足条件的点。
综上所述，满足条件的
点有-个，选（(）。
例" 在正方形’()* 所在平面上有一点%，使
!%’(、!%()、!%)*、!%*’ 都是等腰三角形，那
么具有这样性质的点%共有（ ）个。
（&）$个 （’）+个 （(）/个 （*）$.个
分析 根据正方形的对称性可知，如图"，应从下
/"!##)年第-期 中学数学教学
万方数据
解题中估计方法的运用
浙江省嵊州市第二中学 吕初明 （邮编：!"#$%%）
数学中有些题目，在未解答之前，或在解题过程
中，或解题结束后，对于结论中诸如图像的位置或形
状、数值的正负、解的个数和结果等可作出正确的估
计，这样可避免解题的盲目性，对寻求与设计合理、简
捷的运算途径，提高解答的正确率无疑是有效的。
" 图形位置形状的估计
在解题中，根据已知条件可先估计出点的大致位
置和图形的大致形状，这将对问题的正确解答提供简
捷、有力的辅助手段。
例" 已知双曲线!
#
#&’
"#
#$("
上一点# 到右焦
点$的距离为""，%是#$的中点，&为坐标原点，则
!&%!等于（ ）
（)）""#
（*）#"#
（+）"#
（,）"#
或#"
#
利用三角形的中位线解题，设双曲线左焦点$"，
连结#$"，则&%是"#$"$的中位线，求出#$"的
长即可。
在读题时分析估计，点 # 只能在双曲线的右支
上，因为左支上的点到右焦点$的距离的最小值为
"#。由双曲线定义!#$"!’!#$!("%，而!#$!(
""，所以!#$"!(#"，
从而!&%!(#"#
，故选（*）。
如果直接运用双曲线定义：!#$"!’!#$! (
"%，得到!#$"!("或#"，事先不作分析或解题后不作
取舍，很容易误选（,）。
例# 如图，已知线段!’(!($，动圆&)与线段
’(切于点*，!’*!’!(*!
#(##，过点’、(分别作圆
&)的切线，两切线相交于点
+，且+、&)均在’( 的同
侧。
（!）建立适当坐标系，
当&)位置变化时，求动点+的轨迹,的方程；
（"）在（!）的条件下，设点+坐标为（!%，"%），若
$’+(为钝角，求!%的取值范围。
解 （!）以’(所在直线为!轴，’(的中点&
为原点建立直角坐标系，设+（!，"），由圆的切线长性
质可知，!+’!’!+(!(!’-!’!($!(!’*!’!(*!
#(##，又 ###%$，
对于这一点若先不作估算，便会误认为点+的轨
迹,是以’、(为焦点，实轴长为 ###的双曲线且轨迹
,的方程是!#’"#(#。此错误还影响到问题（"）的
答案的正确性。
（"）以’(为直径的圆& 方程为!#-"#($，当
点+在&&内时，$’+(为钝角，所以!#%-"#%%$，又
因为!#%’"#%(#，故#!#%%.，得 #’!%!%%#!。
列几种情况考虑：
（"）当"+’.、"+(* 分别以’.、(* 为底边，
"+’(、"+*. 分别以’(、*. 为腰的情况，后者又
要分两种情况：
#等腰"+’(、"+*. 分别以点’、. 为顶点的
类型；
$等腰"+’(、"+*. 分别以点(、*为顶点的
类型。
（#）同理可以考虑，"+’(、"+*. 分别以’(、
*.为底边，而"+’.、"+(*分别以’.、(*为腰的
情况。
（!）当"+’(、"+(*、"+*.、"+’. 分别以
’(、(*、*.、.’为底边的情况。
综上所述，探求+点的方法共分五种情况。
解 （"）以’ 为圆心，’(为半径的圆（&’）与
’.的中垂线交于点+"、+#满足条件。
（#）同理以(为圆心以(’ 为半径的圆（&(）与
’.的中垂线交于点+!、+$，则+!、+$也满足条件。
（!）&’与&(相交于点+&、+.，则+&、+.满足
条件。
（$）由对称性，以*为圆心和以.为圆心，*(为
半径的两圆交于点+/、+0，则+/、+0满足条件。
（&）正方形’(*.的对称中心+1也满足条件。
综合（"）、（#）、（!）、（$）、（&）可知，应选（+）。
（收稿日期 #%%$’%1’%#）
%$ 中学数学教学 #%%$年第.期
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