105.集合中的数学思想分类解析（高志彬）

105.集合中的数学思想分类解析（高志彬）非常道想解析河北高志彬数学思想是历年高考的重点．其包括：数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．下面通过举例透视集合中的数学思想．鬏，数形结合思想，荔：t以。鬈，：么：基兹。≥。瑶嘉缓：器!缓数形结合思想的目的是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通．，使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象，化难为易．吵 ≯▲一例1 已知J一{1．2．3，4，5，6，7，8，9，10)为全集，集合A、B为，的子集，且AN(C，B)一{1，4，7)， (C，A)NB...

非常道想解析河北高志彬数学思想是历年高考的重点．其包括：数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．下面通过举例透视集合中的数学思想．鬏，数形结合思想，荔：t以。鬈，：么：基兹。≥。瑶嘉缓：器!缓数形结合思想的目的是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通．，使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象，化难为易．吵 ≯▲一例1 已知J一{1．2．3，4，5，6，7，8，9，10)为全集，集合A、B为，的子集，且AN(C，B)一{1，4，7)， (C，A)NB一{2，3)，(C，A)n(C，B)一{6，8，9，10)，那么集合A等于( )． A (1，4，5，6，7，8，9，10)；B{1，4。7}； C{1，4，5，7}；D{1，2，3，4，5，7) 解由于集合A、B将全集J划分为4个子集： (CJA)n(C，13)、AN(C，B)、(￡，A)nB、AnB．所以借助文氏图(如下图)，可迅速作出判断．易知I一(C，A)N(C，B)U(AN(C-B))U ((C，A)NB)U(AnB)．将已知元素填入相应的集合。易知5∈AnB．即5∈A，且5∈B．故应选C．貔+，等价转化思想。纛爱{荔荔：纛荔篡巍纛菱z：≥Z雾缓等价转化思想就是在解答问题时，需要对给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能得以有效利用．～∥ *，7一一例2已知集合A一{zX2—5x+6—0}，B一 {zlm3c+1—0)且AUl3一A，则实数m组成的集合是解A一{zIl2—5x+6—0}一{2，3)．因为AUB—Aa：vB是A的子集．又因为B一(，lmz+1—0}，所以B是A的真子集，所以B一乃或B一{2}或B一{3)．当B一乃时，m=0；当B一{2)时，2m+1—0，解得rn一一÷；当B一{3)时，3m+1—0，解得m一一÷；所以m的值组成的集合是{0，一虿1，一寺)．鬏-分类讨论思想警；鬈鬻驾2翼爹鬈琵：囊缓《篡繇夕箩≥露霾分类讨论思想就是把整体问题化为部分问题来解决，它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用．。，'，’ ；i二．例3 设集合A一{zz2—3x+2—0)，集合 B一(zf2x2—2px+∥一3p+4—0}．若B是A的子集，求实数P的取值范围．解A一{Xlz2—3x+2—0)一{1，2)．因为B是A的子集，所以．B可能为历、{1)、{2) 或{1，2}．，方程2x2—2px+P2—3p+4—0中，△一一4(户一2)(P一4)． 1)若p<2或p>4，则A<0，所以B一乃为A的子集； 2)若声一2，原方程为2x2—4x+2—0，所以B一 {1)为A的子集； 3)若P一4，原方程为2x2—8x+8—0，所以B一 {2)为A的子集； 4)若2-O，原方程有2个相异实根由B是A的子集得／3一{1，2)，解得声一3．综上得，当户∈(一oo，2]U{3}U[4，+一)时，B 是A的子集．貔二商数与方程思想j鬟缓瑟爨i豸鬟戮蒸凌綦麓荔霪缓函数与方程思想就是将函数问题转化为方程问题，借助于二次方程的判别式列式求解． y1，％二：例4 设A一{(z，y)ly2一z一1—0)，B一 {(z，3，)I4x2+2z一2y+5一O)，C一{(z，y)ly一愚z+6)，是否存在k，bEN使得(AUB)nc一疹，证明此结论．解因为(AUB)nC一黟，所以AnC一乃且 BnC一乃．一17，y=一kzx++1’b寺惫2一+(2殷一1)z+62—1一。．因为AnC一乃，所以△，一(2bk一1)2— 4矗2(62—1)<0，所以4k2—4bk十10，即b2>1．① 因为{4vx一2篡了2—5：0’辛 4x2+(2—2k)X+(5—2b)一0．因为BnC一万，所以 △2—4(1一是)2一16(5—2b)<0．所以k2—2k+86—19<0，从而8b<20．即6<姜． ② 罐黜．高一我们以人们的。的来判断人的蹴目的帆活动才可以说是伟她一契诃夫万方数据由①、②及bEN，得6—2代入由A1O，求实数p的取值范围．解运用补集思想求解设所求p的范围为A，则C，A 表示：在[一1，1] 内使函数厂(z)一4x2—2(声一2)z一2p2一p+1≤o时 P的取值范围．注意到函数的图象开口向上，所以C-A一{P f(1)一一2p2～3p+9≤o且，(一1)亍一2p2-4-户+1≤ o)一{pip～<一3或p>3}，A一{pI一3<户<号)． r4”“⋯”一一⋯“一一“”“一一4一”一一一一一””“一一“””1 ≠链接练习 i ；关于z的不等式卜半l≤华耵一；；3(口+1)z+2(3a+1)≤0(口∈R)的解集分别为A和B，； i求使A￡B的n的取值范围．。； ≥～¨．．．．dIu—I-一⋯一¨^，．_～，，．‘～一‘．-一¨_一．H-，仙-一咖h一¨_一¨．．。一H”J一‘-，一--，HI—II¨．州I-，咖¨，_--——；链接练习参考答案提示：(运用子集概念求解) 由已知得A一{z}2a≤z≤口2+1}， B={z}(z一3a一1)(x--2)≤0}．当n≤÷时，B={z13a+1≤z≤2)．因为A∈B，对任意实数z∈E2a，a2+1]，不等式 3a+1≤z≤2恒成立所以{。2a：+≥13≤a+2，1’所以口=一1；当n>÷时．B={zI2≤z≤3a+1)．此时{≥；；姜。。+，，所以，≤口≤s．综上所述，所求a的取值范围是口一一l或l≤n≤3．． (作者单位：河北省鸡泽县第一中学) 越求一非常道函数解析式的常用方法和求函数的解析式是函数中的重要题型，它涉及的知识面广，解法灵活。技巧性强，学生解迹类题时，往往感到困难，为此本文介绍一些常用方法，供同学们参考．鬏，定义瀵露甏麓羧麓嚣鬟嚣鬣；荔毳爹毳聪兹篡缓这种方法是最基本的，也是非常重要的．它是根据函数的定义及其性质，变对应法则为解析式．。y-’，一。蟹二一例1 已知函数y一，(z)满足厂(--x)一--f(x)，且z≥o时，／。(z)一一一2x，求厂(z)的解析式．解设xo' 所以厂(一z)一(一z)2—2(一z)一工2-4-2x．又／。(一z)一一，(上)，所以一，(z)一z2+2x，所以，(z)一一z2—2x．，z2—2x (z≥o)．所以f‘z’一{一z2—2z(z

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