Fourier变换和Gabor变换与小波变换的比较研究

第 28 卷 第 1 期 2005 年 2 月 鞍 山 科 技 大 学 学 报 Journal of Anshan University of Science and Technology Vol. 28 No. 1 Feb. ,2005 Fourier 变换和 Gabor 变换与小波变换的 比较研究 贾朱植1 ,董立文2 ,董　勃3 ,谢元旦2 (1. 鞍山科技大学 高等职业技术学院 ,辽宁 鞍山　114044 ;2. 鞍山科技大学 计算机科学与工程学院 , 辽宁 鞍山　114044 ;3. 鞍钢新轧钢股份有股公司 ,辽宁 鞍山　114042) 摘 　要 :对 Fourier 变换、Gabor 变换和小波变换进行比较。从 Fourier 变换的定义出发 ,进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 阐述 ,指出 了 Fourier 变换不具有局部化分析的功能以及时频完全分离的缺点 ;通过对 Gabor 变换的核函数进行时频两 域分析 ,说明了它品质因数是不恒定的以及它的一些缺陷 ;最后对小波变换的核函数进行分析 ,论述了小波变 换具有品质因数恒定和多分辨率分析等优点。 关键词 :Fourier 变换 ; Gabor 变换 ;小波变换 中图分类号 :O174122 ;O17716 　文献标识码 :A 　文章编号 :167224410 (2005) 0120012205 　　Fourier 分析 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ( Fourier ,1807)提供了一种把时域信号转换到频域进行分析的途径 ,但它只考虑 时域和频域之间的一对一映射关系 ,是一种时频完全分离的分析方法[1 ] 。这种方法用于分析平稳信 号 ,在分析非平稳信号时就有些力不从心了。 　　针对 Fourier 变换不能局部化分析 , Gabor 于 1946 年引入了 Gabor 变换 ,又称短时 Fourier 变换 (Short time Fourier t ranform) ;它在一定程度上解决了 Fourier 变换的时频分离的不足。但是 , Gabor 变 换在待分析信号上加一个窗口函数 ,改变了原信号的性质 ,并且它本身仍然存在一些缺陷难以克服。 　　小波变换 (Wavelet t ransform)理论是继 Fourier 分析之后的一个突破性进展[2 ] ,它给许多相关领域 提供了一种强有力的分析工具。小波变换是一个时间和频率的局域变换 ,利用联合的时间2尺度函数分 析非平稳信号 ,能有效地从信号中提取信息 ,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多分辨率细 化分析 ,从根本上克服了 Fourier 分析只能以单个变量描述信号的缺陷。 1 　Fourier 变换 　　Fourier 变换把信号分析的时域与频域联系起来 ,但同时又把它们割裂开来。如果一个信号 f ( t) 在 ( - ∞, + ∞) 上满足[3 ] : (1) f ( t) 在任一有限区间上满足狄氏条件 ; (2) f ( t) 在 ( - ∞, + ∞) 上绝对 可积 ,即∫+ ∞ - ∞ | f ( t) | d t < ∞,就可以通过 Fourier 变换 F(ω) =∫+ ∞ - ∞ f ( t) e - jωt d t 把时域信号 f ( t) 转换 到频域进行处理 ,然后再通过 Fourier反变换 f ( t) = 12π∫ + ∞ - ∞ F(ω) ejωt dω把频域信号转换回时域。很多在 时域难以解决的问题 ,转换到频域便可以得到很好的解决 ,大大提高了信号处理的质量。 　　Fourier 变换将信号的时域特征和频域特征联系起来 ,能分别从信号的时域和频域进行分析 ,但却 不能把二者有机地结合起来 ,这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息而频域波形中又不包含 任何时域信息。从 Fourier 变换的定义式也可以看出 , Fourier 变换是信号在整个时域内的积分 ,因此 Fourier 频谱只是信号频率的统计特性 ,没有局部化分析信号的功能 ,即 Fourier 变换是时域与频域完全 收稿日期 :2004210214。 作者简介 :贾朱植 (1978 - ) ,女 ,辽宁鞍山人 ,助理工程师。 分离的 ,对于 Fourier 谱中的某一频率 ,无法知道这个频率是在什么时候产生的[2 ] 。Fourier 变换适合处 理长时间内比较稳定的信号[4 ] ,而在实际的信号处理中 ,尤其是对非平稳信号 (如语音信号、探地信号 等)的处理中 ,这些信号的频域特性随时间变化[5 ] ,所以信号在任一时刻附近的频域特征都很重要 ,这 种情况下时频两域便不能完全分离。这样 ,Fourier 变换在时域和频域局部化的问题上就显现出了它的 局限性。这就促使人们去寻找一种新的分析方法 ,能将信号的时域和频域结合来构成信号的时频谱 ,也 就是所谓的时频分析法。 2 　Gabor 变换 　　Gabor 变换的基本思想是 :把信号划分成许多小的时间间隔 ,用 Fourier 变换分析每一个时间间隔 , 以便确定信号在该时间间隔存在的频率[2 ] 。其处理方法是对信号 f ( t) 施加一个滑动窗 w ( t - τ) (τ是 移位因子 ,反映滑动窗的位置) 后 , 再作 Fourier 变换 ,即[5 ] S Ff (ω,τ) =∫f ( t) w ( t - τ) e - jωt d t (1) Gabor 变换虽然在一定程度上克服了 Fourier 变换不具有局部分析能力的问题 ,但它自身存在着不可克 服的缺陷。 　　公式 (1)也可以看成是 f ( t) 和 g ( t) = w ( t - τ) ejωt 的内积 ,即 S Ff (ω,τ) =∫f ( t) w ( t - τ) e - jωt d t = < f ( t) , w ( t - τ) ejωt > = < f ( t) , g ( t) > (2) 假设 w ( t) 是高斯型函数 ,当τ = 0 时 , w ( t) = e - t 2 / T ,当频率ω = ω0 时 , g ( t) = e - t 2 / Tejω0 t ,其 Fourier 变换是 G (ω) = π/ Te - T (ω- ω0) 2 / 4 , G (ω) 的中心频率是ω0 ,带宽Δω = ω - ω0 = 4/ T ,品质因数 Q1 = ω0 Δω = ω0 2 T ;当ω = 2ω0 时 , g ( t) = e - t 2 / Tej2ω0 t ,其 Fourier 变换 G (ω) 的中心频率、带宽Δω、品质 因数 Q2 = ω T ,如表 1 所示。当ω从ω0 变成 2ω0 时 , G (ω) 的中心频率也从ω0 变成 2ω0 ,但带宽Δω 没有变 ,因此它的品质因数 Q 是变化的。滤波器的品质因数 Q 影响滤波器本身的幅频特性 , Q 值不同则 滤波器的幅频特性不同 ,如果滤波器自身的特性是变化的 ,那么便无法使用这个滤波器来分析信号的特 性。Gabor 变换的 Q 值随ω变化而变化 ,所以 Gabor 变换所得结果不能准确地反映信号的特性。 表 1 　频率变化时 G(ω) 参数的变化 Tab. 1 　Change of G(ω) parameter with the change of frequency 频率ω g ( t) = w ( t) ejωt G (ω) G(ω) 中心频率 带宽Δω 品质因数 Q ω0 e - t 2/ Tejω0 t π/ Te - T (ω-ω0) 2/ 4 ω0 4/ T ω0 T/ 2 2ω0 e - t 2/ Tej2ω0 t π/ Te - T (ω- 2ω0) 2/ 4 2ω0 4/ T ω0 T 　　Gabor 变换的不足之处还在于 , G (ω) 的带宽保持不变 ,一旦窗口函数选定后 ,时频窗口的形状便 保持不变 ,割断了频率与窗口宽度的内在联系[4 ] , Gabor变换实质是具有单一分辨率的分析 ,在τ2ω平面 的不同位置处分析单元的形状保持不变 ,既不具有分析频率降低时视野自动放宽的特点 ,也不具有频率 特性品质因数恒定的特点[6 ] 。而且可以证明 ,无论ω和τ如何离散化 , g′ω,τ( t) 都不能形成 L 2 ( R) 上的 正交基。因此 ,为了不丢失信息 ,在信号分析或数值计算时必须采用非正交的冗余基 ,这就增加了不必要 的计算量和存储量[5 ] 。 　　另外 , Gabor 变换是对原信号 f ( t) 施加一个窗口函数 w ( t - ω) ,相当于对 f ( t) w ( t - τ) 进行 Fourier 变换 ,所以 f ( t) w ( t - τ) 与原信号 f ( t) 的 Fourier 变换频谱一定不同 , Gabor 变换所得信号 S T f (ω,τ) 相对于 Fourier 变换所得结果 F(ω) 是有误差的 ,它在一定程度上受到窗口函数的影响。例 如 ,一个定义域在 ( - ∞, + ∞) 上的余弦信号 x 1 ( t) = cosω0 t ,它的 Fourier变换是 F[ x 1 ( t) ] = X1 (ω) = ω[δ(ω + ω0) + δ(ω - ω0) ] , 再定义一个定义域在 ( - τ/ 2 , +τ/ 2) 上的余弦信号 x 2 ( t) = cos ·31·第 1 期 　　　　 　贾朱植 ,等 : Fourier 变换和 Gabor 变换与小波变换的比较研究 ω0 t [ u ( t +τ/ 2) - u ( t - τ/ 2) ] ,这也相当于在余弦信号 x 1 ( t) = cos ω0 t 上加一个长度为τ的矩形窗 口 , 但 信 号 x 2 ( t) 的 Fourier 变 换 已 经 变 成 F[ x 2 ( t) ] = X2 (ω) = τ 2 S a (ω +ω0)τ 2 + S a (ω - ω0)τ 2 , 其 中 S a (ω +ω0)τ 2 = sin (ω +ω0) τ2 (ω + ω0) τ2 , S a (ω - ω0)τ 2 = sin (ω - ω0) τ2 (ω - ω0) τ2 。很明显 ,这两个信号的 Fourier 变换有所不同。由此可见 ,当定义 域的长度Δτ为有限时 ,余弦信号的频谱由原来的在 - ω0 和ω0 处的两条直接扩展到整个ω轴 ,而且Δτ 越小越严重。因为此时信号频谱中不仅包含余弦信号 ,而且还包含一个矩形信号。由此可见 ,对原信号 f ( t) 施加一个窗口函数 w ( t - τ) ,必然会导致原信号 f ( t) 的 Fourier频谱失真 ,这也就是 Gabor变换的 内在缺陷。如图 1 所示。 图 1 　余弦函数和加窗余弦函数的 Fourier 频谱对比 Fig. 1 　Comparsion of two frequency tharts of function of cosine and short2time consine 3 　小波变换 　　小波变换于 1984 年由法国地质物理学家 J Morlet 最先提出 ;它是继 Fourier 分析之后纯粹数学和 应用数学完美结合的又一光辉典范[7 ] ;它自产生以来就与 Fourier 分析密切相关 ,但却克服了 Fourier 变 换和 Gabor 变换都难以克服的很多困难。小波变换继承和发展了 Gabor 变换的局部化思想 ,同时又克 服了 Gabor 变换不恒 Q 、缺乏离散正交基等缺点 ,特别是在分析一个非平稳信号时 ,信号波形变化剧烈 时 ,主频率是高频 ,就要有较高的时间分辨率 ,要求窗口在时间轴上要窄一些 ,而波形变化比较平缓的时 ·41·　　　　　　　　　　　　　　　　鞍 山 科 技 大 学 学 报 　 　　　　　　　　　　　　第 28 卷 刻 ,主频率是低频 ,则要有较高的频率分辨率 ,要求窗口在频率轴上要窄一些[6 ] ,而 Fourier 变换和 Ga2 bor 变换都无法做到这样的多分辨率分析。 　　设 x ( t) ∈L 2 ( R) ,Ψ( t) 是被称为基本小波或母小波的函数 ,则 W T x ( a ,τ) = 1 a∫x ( t) Ψ 3 t - τa d t = < x ( t) ,Ψaτ( t) > (3) 称为 x ( t) 的小波变换。其中 a > 0是尺度因子 ,τ反映位移 ,其值可正可负。Ψaτ = 1 a Ψ t - τ a 是基本 小波位移与尺度伸缩[6 ]。尺度因子 a 的作用是将基本小波Ψ( t) 作伸缩 , a 越大Ψ( t/ a) 越宽 ,也就是 , 在不同尺度下小波的持续时间 (即分析时段) 随 a 增大而增宽。可以证明 ,小波变换的等效频域表示为 W T x ( a ,τ) = a2π∫X (ω) Ψ 3 ( aω) ejωτdω (4) 由此可见 ,如果Ψ(ω) 是幅频特性比较集中的带通函数 ,则小波变换便具有表征待分析信号 X (ω) 频域 上局部性质的能力[6 ]。例如 , Morlet 小波Ψ( t) = e - t 2 / Tejω0 t 的频谱Ψ(ω) = π/ Te - T (ω- ω0) 2 / 4 是中心频 率在ω0 的高斯函数 ,只要改变ω0 就可以表征 X (ω) 在ω0 附近的局部性质。以表 2 中 a = 1 和 a = 2 两种情况为例 ,采用不同 a 值作处理时 ,各个 Ψ( aω) 的中心频率和带宽都不一样 ,品质因数却不变。当 a 值较大时 ,时轴上观察范围大 ,而在频域上相当于用低频小波作概貌观察 ;当 a 值较小时 ,时轴上观察 范围小 ,而在频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析 ,即用高频小波作细致观察 ,因此 ,小波变换 可以达到多分辨率分析的效果。虽然分析频率有高有低 ,但在各个分析频段内分析的品质因数 Q 却保 持不变 ,所以它能准确反映待分析信号的幅频特性。这是小波变换相对于 Gabor 变换的最大的优点 ,且 是一个很符合实际工作需要的特点 ,因为如果希望在时域上观察得越细致 ,就越要压缩观察范围 ,并提 高分析频率。1989 年法国学者 S Mallat 从函数空间剖分的角度把多分辨率分析的方法引入小波变换 , 统一了前人提出的关于小波变换的构造 ,信号的小波变换分解与重建 ,并提出了 S Mallat 快速分解和重 建算法[8 ] ,把小波变换理论引入工程应用 ,特别是信号处理领域 ,这对小波变换的发展起着及其重要的 作用[6 ] 。 表 2 　频率变化时 Ψ( t) 参数的变化 Tab. 2 　Change of Ψ( t) parameter with change of frequeny a Ψ( t/ a) Ψ( aω) 中心频率 带宽Δω 品质因数 Q 1 e - t 2/ Tejω0 t π/ Te - T (ω-ω0) 2/ 4 ω0 4/ T ω0 T/ 2 2 e - ( t/ 2) 2/ Tejω0 t/ 2 π/ Te - T (ω-ω0/ 2) 2/ 4 ω0/ 2 1/ T ω0 T/ 2 　　Fourier 变换的核函数是单一的 ,即 ejωt ,而小波变换的核函数却不具唯一性 ,小波函数 Ψ( t) 具有 多样性。小波变换在工作应用中的一个十分重要的问题就是最优小波基的选取。用不同的小波基分析 同一个问题会产生不同的结果。到目前为止 ,还没有很好的方法或统一的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 来解决这个问题 ,主要应 用的方法是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判断一个小波基是否适用于某个 问题。这也是值得继续深入研究的一个问题[6 ] 。 　　目前 ,在工程中常用的小波有 Morlet 小波、Marr 小波、DO G(Difference of gaussian) 小波、Haar 小 波、样条小波和 Daubechies 小波等[6 ] 。 　　1992 年 ,法国学者 I Daubechies 系统论述了正交小波的紧支性、正则性、对称性及时频特性 ,介绍了 离散和连续小波变换等[9 ] 。至此 ,经典小波理论已基本成熟 ,之后 ,对小波的研究重点转向了小波的推 广和应用[1 ] 。目前 ,小波应用的研究工作主要集中在几个方面 :在数学其他分支中的应用 ,如小波在分 形中的应用[10 ,11 ] ;在信号处理、图像处理中的应用 ,如在水印技术[12 ] 、图像分割等中的应用[13 ,15 ] ;在通 信中的应用 ,如在信号调制[14 ]等方面的应用。 ·51·第 1 期 　　　　 　贾朱植 ,等 : Fourier 变换和 Gabor 变换与小波变换的比较研究 4 　结　语 　　由以上对 Fourier 变换、Gabor 变换和小波变换的讨论 ,可以得出以下结论 : 　　Fourier 变换是信号在整个时域内的积分 ; Fourier 频谱只是信号频率的统计特性 ,没有局部化分析 信号的功能 ;它虽然能将信号的时域和频域特征联系起来 ,但却不能将它们有机地结合起来对信号进行 分析。这样的方法只适合处理平稳信号 ,无法处理非平稳信号。 　　Gabor 变换在一定程度上克服了 Fourier 变换不具有局部化分析能力的问题 ,但也存在着一些缺 陷 : Gabor 变换的时频窗口的形状一旦选定就是不可改变的 ,即不能根据待分析信号频率的变化而改变 分辨率 ; Gabor 变换的品质因数 Q 是随ω变化而变化的 ,所以它不能准确反映信号的特性 ; Gabor变换所 得结果受窗口函数的影响 ,有一定的失真 ;无论ω和τ如何离散化 , g′ω,τ( t) 都不能形成 L 2 ( R) 上的正 交基。 　　小波变换不但具有时频两域局部化分析的能力 ,而且品质因数都恒定不变。小波变换能作多分辨 率分析。当 a 值较小时 ,时轴上观察范围小 ,而在频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析 ,即用 高频小波作细致观察 ;当 a 值较大时 ,时轴上观察范围大 ,而在频域上相当于用较低频小波作概貌观察 , 很符合实际工作的需要。另外 ,小波变换的核函数不具唯一性 ,所以小波变换在工程应用中最值得关注 的一个问题就是最优小波基的选取 ,这也是小波变换如何恰当地应用于各种具体问题的一个重点和难 点 ,值得进一步研究。 　　小波变换是 Fourier 变换的新发展 ,而 Fourier 变换是小波变换的发展基础。小波变换的思想来源 于 Fourier 变换 ;它的存在性证明以及小波基的构造都依赖于 Fourier 变换 ,因此 ,小波分析是很难离开 Fourier 分析而独立存在的。虽然小波分析存在着各种优势 ,但 Fourier 分析仍然是无可替代的。小波 分析与 Fourier 分析不是互相排斥 ,而是相辅相成、互相补充的 ;它们的巧妙结合将使纯粹数学与应用数 学得到更快的发展 ,并为工程领域提供更新的、更强有力的数学分析工具。 参 考 文 献 : [1 ]冯象初 ,甘小冰 ,宋国乡 . 数值泛函与小波理论[ M ] . 西安 :西安电子科技大学出版社 ,2003 :1. [2 ]胡昌华 ,张军波 ,夏军 ,等. 基于 MA TLAB 的系统分析与 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ———小波分析 [ M ] . 西安 :西安电子科技大学出版社 , 2000 :2 - 6. [3 ]南京工学院数学教研组. 积分变换[ M ] . 第 3 版. 北京 :高等教育出版社 ,1989 :7 - 10. [4 ]刘鲁源 ,李宗勃 . 从傅里叶变化到小波变化[J ] .自动化与仪表 ,2000 ,15 (6) :1 - 7. [5 ]彭玉华 . 小波变换与工程应用[ M ] . 北京 :科学出版社 ,2002 :8 - 10. [6 ]杨福生 . 小波变换的工程分析与应用[ M ] . 北京 :科学出版社 ,2000 :1. [7 ]冉启文 . 小波分析方法及其应用[J ] .数理统计与管理 ,1999 (1) :52 - 55. [ 8 ]MALLA T S G. A theory for multiresolution signal decomposition :the wavelet representation[J ] . IEEE Transactions on Pat2 tern Analysis and Machine Intelligence ,1989 ,11 (7) :674 - 693. [9 ] DAUBECHIES I. Ten lectures on wavelets[ M ] . Philadelphia :Capital City Press ,1992 :1. [10 ]WORN ELL G ,Oppenheim. Estimation of fractal signal from noisy measurements using wavelet [J ] . IEEE Transactions on Singal Processing ,1992 ,40 (4) :611 - 623. [11 ]CHEN Bor2sen ,L IN Cin2wei. Multiscale wiener filter for the restoration of fractal signals :Wavelet filter approach[J ] . IEEE Transactions on Singal Processing ,1994 ,42 (11) :2972 - 2982. [ 12 ] HU Yong2jian , KWON G Sam. Wavelet domain adaptive visible watermarking[J ] . Electronics Letters ,2001 ,37(20) :1219 , 1220. [13 ]WU Xiu2qing ,ZHOU Rong ,XU Yun2xiang. A method of wavelet2based edge detectin with data fusion for multiple images [A ] . Proceedings of the 3rd World Congress on Intelligent Control and Qutomation [ C ] . Hefei , P R China ,2000 :2691 - 2694. [下转第 21 页 ] ·61·　　　　　　　　　　　　　　　　鞍 山 科 技 大 学 学 报 　 　　　　　　　　　　　　第 28 卷 [2 ]潘宇 ,刘证. 再论定积分几种近似计算的误差估计[J ] .鞍山科技大学学报 ,2004 ,27 (2) :87 - 90. [ 3 ]UJ EV IC N. A generalization of the pre2Gruss inequality and applications to some quadrature fomulae[J ] . J Inequal Pure Appl Math ,2002 ,3 (2) :1 - 9. [4 ]DRA GOMIR S S , CERON E P , ROUN EL IO TIS J . A new generalization of Ostrowski integral inequality for mappings whose derivatives are bounded and appliations in numerical integration and for special means[J ] . Appl Math Lett ,2000 ,13 : 19 - 25. [ 5 ]DRA GOMIR S S ,A GARWAL RP ,CERON E P. On Simpson’s inequality and applications[J ] . Inequal Appl ,2000 ,5 :533 - 579. Two integral inequal ities with a parameter S HI Yan2xia , L IU Zheng ( Faculty of Science ,Anshan University of Science and Technology ,Anshan 114044 ,China) Abstract :Two integral inequalities with a parameter whose estimation of errors is best were given under cer2 tain conditions. Thus an unified treatment of three fundamental inequalities in midpoint2rectangular rule , t rapezoidal rule and parabolic rule for calculating definite integrals approximately was provided. Key words :midpoint inequality ;t rapezoid inequality ;Simpson inequality ; simple three point inequality ;esti2 mate of error ( Received December 25 ,2004) [上接第 16 页] [14 ]孟虎 ,邓云凯 . 时频分析在线性调频信号相位误差估计中的应用[J ] .测试技术学报 ,2004 ,18 (1) :74 - 77. [15 ]陈武凡 ,杨丰 ,江贵平 ,等. 小波分析及其在图像处理中的应用[ M ] . 北京 :科学出版社 ,2002 :1. Comparsion study of Fourier transform , Gabor transform and wavelet transform J IA Zhu2z hi1 , DON G L i2wen2 , DON G Bo3 , X I E Y uan2dan2 (1. Higher Vocational Technical Institute ,Anshan University of Science and Technology ,Anshan 114044 ,China ; 2. School of Computer Science and Engineering ,Anshan University of Science and Technology ,Anshan 114044 ,China ; 3. Rod Mill Angang New Steel Co Ltd ,Anshan 114042 ,China) Abstract :Fourier t ransform , Gabor transform and wavelet t ransform were compared. From the definition of Fourier t ransform a conclusion can be reached that it has the disadvantages of complete separation of time and frequency and the disability of local analysis. The inconstancy of the quality factor of Gabor transform and its limitations were educed by the time2f requency fields analysis of its nuclear function. On the contrary , wavelet t ransform has the advantages of multi2resolution analysis and the constancy of its quality factor. Key words :Fourier t ransform ; Gabor transform ;wavelet t ransform ( Received October 14 ,2004) ·12·第 1 期 　　　　　　　　 　　石艳霞 ,等 :两个含参数的积分不等式