等差数列（
、
、
、
、
，知3求2）
等比数列（
、
、
、
、
，知3求2）
判断方法
（充要条件）
或
；
；
，（A，B为常数）；
,(C,D为常数)。
或
；
；
通项公式
；
；
若
,则
；若
，则
.
或
；若
，则
，若
，则
.
前n项和公式
当n为比较小的正整数时可记为：Sn=a1+a2+…+an
；
、
、
、……仍为等差数列，公差为
。
、
、
、…仍为等比数列，公比为
等差（比）中项
若
成等差数列，则A叫做
与
的等差中项，且
若
成等比数列（a,b同号），A为
与
的等比中项，A=
。
数列单调性
d>0时，数列递增；若
，数列递减；若公差
，则为常数列。
，为常数列；
，为摆动数列；
且
时递增；
且
时，递减；
且
时，递增;
且
时，递减。
既成等差又成等比的数列为非零常数列。
当
、
时，满足
的项数n使得
取最大值.
当
、
时，满足
的项数n使得
取最小值.
求通项：
一、公式法 ①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例1 已知数列
满足
，
，求数列
的通项公式。
解：
两边除以
，得
，则
，故数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
，所以数列
的通项公式为
。
评注：本
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
解题的关键是把递推关系式
转化为
，说明数列
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
，进而求出数列
的通项公式。
二、累加法 适用于
型
例2 已知数列
满足
，求数列
的通项公式。
解：由
得
则
所以数列
的通项公式为
。
三、累乘法 适用于
型
例3 已知数列
满足
，求数列
的通项公式。
解：因为
，所以
，则
，故
所以数列
的通项公式为
四、任意数列的通项
与前
项和
的关系：
若
满足由
推出的
，则需要统一“合写”；若不满足，则数列的通项应分段表示。
五、待定系数法
例4 已知数列
满足
，求数列
的通项公式。
解：设
④
将
代入④式，得
，等式两边消去
，得
，两边除以
，得
代入④式得
⑤
由
及⑤式得
，则
，则数列
是以
为首项，以2为公比的等比数列，则
，故
。
六、已知
求
，用作商法：
。
七、数学归纳法
例6 已知数列
满足
，求数列
的通项公式。
解：由
及
，得
由此可猜测
，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当
时，
，所以等式成立。
（2）假设当
时等式成立，即
，则当
时，
由此可知，当
时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何
都成立。
数列求和的常用方法：
1、 （1）公式法：等差数列求和公式：
等比数列求和公式：
自然数方幂和公式：
二、错位相减法求和：这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比
；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
[例] 求和：
（
）
解：由题可知，{
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{
}的通项之积
………………………①
………② （设制错位）
①－②得
（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
要考虑当公比x为值1时为特殊情况。
三、倒序相加法求和：就是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个
.
例：已知函数
，点
、
是函数
图象上的任意两点,且线段
的中点的坐标为
。在数列
中,若
，求数列
的前
项和
，
∴
又
令
．．．．．．．．．．．．．①．
倒序得：
．．．．．．．②
①＋②得：
评析：显然,此题用倒序相加法的条件是函数
具备的特殊性质:
四、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
[例]：求数列
的前n项和；
分析：数列
分别是等差数列、等比数列，求和时一般用分组结合法；
[解] ：因为
，所以
（分组）
前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此
五、裂项相消法：果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①
； ②
；
③
，
；
④
；⑤
；
⑥
.
[例] 求数列
的前n项和.
解：设
（裂项）
则
（裂项求和）
＝
＝
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