2009年第7期 中学数学月刊 ·33·
证明数列求和不等式的两种放缩技巧
张巧凤 (江苏省包场高级中学 226151)
数列求和不等式的证明，历来是高考数学命
题的热点与重点，并且往往出现在压轴题的位置
上，扮演着调整试卷区分度的角色．笔者发现，对
这类问题的处理方法中，以放缩法较为常用，而学
生在运用放缩法时普遍感到难以驾驭．本文重点
谈谈通项放缩与舍项放缩两种放缩技巧在证明数
列求和不等式中的应用．
1 通项放缩，转化为可以求和的数列
1．1 放缩通项，利用等差数列求和
例1 已知，z∈N’，求证：／5忑+∥巧西
+⋯+石万RiF万<鱼去竖．
证明 因为石5弋石F万<丝二上掣：
．2．．．．n．．．．．．．+．．．．．．—1．
2
’
所以／丽+／丽+⋯+／i又百习可<虿3十虿5+．．．+学=学<学
：(丝±!Z
2
。
1．2 放缩通项，利用等比数列求和
例2数列{口。)中，口1=2，口小=锚。(，2
∈N’)，
(1)求数列{a。)的通项公式；
(2)设巩。丽孑a=n磊，若数列{玩}的前咒项
的和为L，求证：L<去．
解 (1)用迭代累乘或者构造新的等比数列
(鲁}可以求得鲁=n，(丢)一，即an=竹(丢)棚．
(2)玩一鑫一五i1·
当7l=1时，7"1=百1<丢；
当，z≥2时，因为4”一1=(3+1)“一1一(3”
+G3一+⋯+1)一1>3”，所以巩2石与<
上
即’
所以L=了1+62+⋯+巩<吉+刍+⋯u u U+磊13；掣一上2厂L1一(』3)“]<』2，‘ ” ， 1 ^ ＼ ／J、 ’
1
3
故对一切正整数尢，都有瓦<虿1．
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
本题将数列从第二项起开始放缩，放
缩成以61为首项，了1为公比的等比数列，转化为
等比数列之和．
事实上，也可以利用万与≤矿兰声=
孬击芦，将数列放缩成以{为首项，了1为公比的
等比数列，易得L≤—1—11—--·(1r)"]一
卜专
吾[1一(丢)“]<百4≮虿1．放缩的关键在于合理
与适度．
1．3 放缩通项．利用裂项相消求和
对于例2，也可以这样证明：
^：—上：————————!———一“ 4”一1 (2”一1)(2”+1)‘
当靠一1，2时，2”=2n，
当，l≥3时，2“=(1+1)”=G+G+⋯+
Q-1+C；：≥2(n+1)>2n，
所以对一切正整数竹，都有bn=
】 一 】
西‘面西；耳面 ≤—(2n--1)—(2n+1)一
土f上一上＼
2＼2竹一12竹+1／。
所以L≤虿1(1一了1十了1一吉+⋯+
丽1—2njl-1)=-1f(1一南)<丢．孬ii一‘ J511一孬iⅡJ<虿‘
说明 此法将通项放缩成两项之差，转化为
用裂项相消求和．
1．4 放缩通项，利用叠加求和
例3 已知数列{a。)中，a1=1，％=口d+
万方数据
·34· 中学数学月刊 2009年第7期
上(咒=2，3，4⋯)，求证：锄>,／-磊-1．(由2004
年重庆卷试题改编)
证明 由递推关系式得：口：一nk+÷+2
>n生1+2，即口：一口h>2．
于是有a；一口i>2,a；一口；>2，⋯，a：一nk
>2，将这n--1个不等式两边相加可得n：一口i>
2(n一1)，即n：>2，l一1．
又a。>O，故a。>∥丽．
1．5 放缩通项，利用各项重新组合求和
例4 数列{‰)满足口1=1且口州一
(1+矛{磊)n。+击(扎≥1)．
(1)用数学归纳法证明a。≥2(n≥2)；
(2)已知不等式ln(1+z)
0成立，
证明a。to，所以L≤百1(F与一南)<丢，
所以对一切正整数7z，都有L<告．
2．2 错位相减，各项重新组合，舍项放缩
2(半)2“竹∈㈣，
(1)求数列{n。)的通项公式；
(2)设6。口_n。,SiS：砉6；<瓦17．口”=石 二4
解 (1)易知(争)是以2为公比的等比数
列，可以求得窘22"9即口。=咒2·2”．
(2)巩。a旦n2南，
因为魏i=1=南+南+南+．．．+
去， ①而’ w
丢挚=南+南+．．斗南
+i杀， ②
咒(咒一1)·2“咒·2’”1
所以喜抚=1一百1一夏1一(南+．．．+赤+南)一警一
(丁—}虿+⋯+泵盎+i南)<夏17．
2．．3 迭代相加，各项重新组合，合项放缩
对于例3，也可以这样证明：
由已知得：口：=口k。+÷+2，即口：一口h=
ab-1
击+2，于是有口；一ni=丢+2，口；一n；=丢+
2，⋯，口：一口h=÷+2，这挖一1个等式两边相
a；^
加可得口：一ai一2(n一1)+
(去+去+⋯+击)，即n：=2行一1+
(击+去+．．．+壶)>2竹^
叉a>．故仉>∥磊=_．n 0
万方数据
证明数列求和不等式的两种放缩技巧
作者： 张巧凤
作者单位： 江苏省包场高级中学,226151
刊名： 中学数学月刊
英文刊名： ZHONGXUE SHUXUE YUEKAN
年，卷(期)： 2009，(7)
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