余弦
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
练习题
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1.在△ABC中,如果BC=6,AB=4,cosB=
,那么AC等于( )
A.6 B.2
C.3
D.4
2.在△ABC中,a=2,b=
-1,C=30°,则c等于( )
A.
B.
C.
D.2
3.在△ABC中,a2=b2+c2+
bc,则∠A等于( )
A.60° B.45° C.120° D.150°
4.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=
ac,则∠B的值为( )
A.
B.
C.
或
D.
或
5.在△ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边,则acosB+bcosA等于( )
A.a B.b C.c D.以上均不对
6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
7.已知锐角三角形ABC中,|
|=4,|
|=1,△ABC的面积为
,则
·
的值为( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
8.在△ABC中,b=
,c=3,B=30°,则a为( )
A.
B.2
C.
或2
D.2
9.已知△ABC的三个内角满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________.
10.△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=(
-1)∶(
+1)∶
,求最大角的度数.
11.已知a、b、c是△ABC的三边,S是△ABC的面积,若a=4,b=5,S=5
,则边c的值为________.
12.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cos A∶cos B∶cos C=________.
13.在△ABC中,a=3
,cos C=
,S△ABC=4
,则b=________.
14.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则
·
的值为________.
15.已知△ABC的三边长分别是a、b、c,且面积S=
,则角C=________.
16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________.
17.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2
x+2=0的两根,且2cos(A+B)=1,求AB的长.
18.已知△ABC的周长为
+1,且sin A+sin B=
sin C.(1)求边AB的长;(2)若△ABC的面积为
sin C,求角C的度数.
19.在△ABC中,BC=
,AC=3,sin C=2sin A.(1)求AB的值;(2)求sin(2A-
)的值.
20.在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sinC,确定△ABC的形状.
余弦定理
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1.解析:选A.由余弦定理,得
AC=
=
=6.
2.解析:选B.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC
=22+(
-1)2-2×2×(
-1)cos30°
=2,
∴c=
.
3.解析:选D.cos∠A=
=
=-
,
∵0°<∠A<180°,∴∠A=150°.
4.解析:选D.由(a2+c2-b2)tanB=
ac,联想到余弦定理,代入得
cosB=
=
·
=
·
.
显然∠B≠
,∴sinB=
.∴∠B=
或
.
5. 解析:选C.a·
+b·
=
=c.
6. 解析:选A.设三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2.
设增加的长度为m,
则c+m>a+m,c+m>b+m,
又(a+m)2+(b+m)2=a2+b2+2(a+b)m+2m2>c2+2cm+m2=(c+m)2,
∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形.
7.解析:选A.S△ABC=
=
|
|·|
|·sinA
=
×4×1×sinA,
∴sinA=
,又∵△ABC为锐角三角形,
∴cosA=
,
∴
·
=4×1×
=2.
8.解析:选C.在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即3=a2+9-3
a,
∴a2-3
a+6=0,解得a=
或2
.
9. 解析:∵2B=A+C,A+B+C=π,∴B=
.
在△ABD中,
AD=
=
=
.
答案:
10.解:∵sinA∶sinB∶sinC=(
-1)∶(
+1)∶
,
∴a∶b∶c=(
-1)∶(
+1)∶
.
设a=(
-1)k,b=(
+1)k,c=
k(k>0),
∴c边最长,即角C最大.由余弦定理,得
cosC=
=-
,
又C∈(0°,180°),∴C=120°.
11. 解析:S=
absinC,sinC=
,∴C=60°或120°.
∴cosC=±
,又∵c2=a2+b2-2abcosC,
∴c2=21或61,∴c=
或
.
答案:
或
12.解析:由正弦定理a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,
设a=2k(k>0),则b=3k,c=4k,
cos B=
=
=
,
同理可得:cos A=
,cos C=-
,
∴cos A∶cos B∶cos C=14∶11∶(-4).
答案:14∶11∶(-4)
13.解析:∵cos C=
,∴sin C=
.
又S△ABC=
absinC=4
,
即
·b·3
·
=4
,
∴b=2
.
答案:2
14.解析:在△ABC中,cosB=
=
=
,
∴
·
=|
|·|
|·cos(π-B)
=7×5×(-
)
=-19.
答案:-19
15.解析:
absinC=S=
=
·
=
abcosC,∴sinC=cosC,∴tanC=1,∴C=45°.
答案:45°
16.解析:设三边长为k-1,k,k+1(k≥2,k∈N),
则
?2<k<4,
∴k=3,故三边长分别为2,3,4,
∴最小角的余弦值为
=
.
答案:
17. 解:∵A+B+C=π且2cos(A+B)=1,
∴cos(π-C)=
,即cosC=-
.
又∵a,b是方程x2-2
x+2=0的两根,
∴a+b=2
,ab=2.
∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC
=a2+b2-2ab(-
)
=a2+b2+ab=(a+b)2-ab
=(2
)2-2=10,
∴AB=
.
18.解:(1)由题意及正弦定理得
AB+BC+AC=
+1,BC+AC=
AB,
两式相减,得AB=1.
(2)由△ABC的面积
BC·AC·sin C=
sin C,得BC·AC=
,
由余弦定理得cos C=
=
=
,
所以C=60°.
19. 解:(1)在△ABC中,由正弦定理
=
,
得AB=
BC=2BC=2
.
(2)在△ABC中,根据余弦定理,得
cos A=
=
,
于是sin A=
=
.
从而sin 2A=2sin Acos A=
,
cos 2A=cos2 A-sin2 A=
.
所以sin(2A-
)=sin 2Acos
-cos 2Asin
=
.
20. 解:由正弦定理,得
=
.
由2cos Asin B=sin C,有cosA=
=
.
又根据余弦定理,得
cos A=
,所以
=
,
即c2=b2+c2-a2,所以a=b.
又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,
所以b=c,所以a=b=c,
因此△ABC为等边三角形.