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一、函数与方程思想
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思想解读 应用类型
函数的思想,就是用运动和变化的观点,
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的数学思想.
方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的数学思想. 解决图象交点或方程根的问题;
解决最值或范围问题;
解决与不等式有关的问题;
解决与数列有关的问题;
解决与解析几何、立体几何有关的问题.
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应用解读
应用一 解决图象交点或方程根的问题
例1 设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),且当x
∈[-2,0]时, f(x)= -6.若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>
1)恰有3个不同的实数根,则实数a的取值范围是 .
答案 ( ,2)
解析 由f(x+4)=f(x)得函数f(x)的周期为4,
若x∈[0,2],则-x∈[-2,0],
则f(-x)= -6=3x-6,
因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=3x-6=f(x),即f(x)=3x-6,x∈[0,2],
设g(x)=loga(x+2),作出函数f(x)、g(x)的图象如图.
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应用解读
当a>1时,方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数根,
等价于函数f(x)与g(x)=loga(x+2)有3个不同的交点,
则满足 即
解得
0时, f(x)= x3-2x2+3x-1,
则f '(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),
∴x=3,x=1是函数f(x)的极值点,
又f(1)= , f(3)=-1,
在(0,+∞)上f(x)的大致图象如图2所示.
图2
∴f(x)的图象与x轴在x∈(0,+∞)上有3个交点.
综上,函数f(x)的零点个数为5.
故选D.
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应用解读
应用二 解决最值或范围问题
例2 已知a,b,c为平面上三个向量,又a,b是两个相互垂直的单位向量,向
量c满足|c|=3,c·a=2,c·b=1,则对于任意实数x,y,|c-xa-yb|的最小值为
.
答案 2
解析 由题意可知|a|=|b|=1,a·b=0,又|c|=3,c·a=2,c·b=1,
所以|c-xa-yb|2=|c|2+x2|a|2+y2|b|2-2xc·a-2yc·b+2xya·b
=9+x2+y2-4x-2y=(x-2)2+(y-1)2+4,
当且仅当x=2,y=1时,(|c-xa-yb|2)min=4,
所以|c-xa-yb|的最小值为2.
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应用解读
【技法点评】 求最值或参数范围的技巧
(1)充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式(组)
求解.
(2)充分应用题设中的等量关系,将待求参数
表
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示成其他变量的函数,然
后应用函数知识求解.
(3)当问题中出现两数积与这两数和时,应构建一元二次方程,再利用方
程知识使问题巧妙解决.
(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数.
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跟踪集训
(2017湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L,过顶点的最大截面的面积
为 L2,则圆锥底面半径与母线长的比 的取值范围是 ( )
A.0< < B. ≤ <1
C.0< < D. ≤ <1
答案 D 设过顶点的截面的顶角为θ,则过顶点的截面的面积S= L2sin
θ≤ L2,sin θ≤1,当截面为等腰直角三角形时取最大值,故圆锥的过顶
点的截面的顶角必须大于或等于90°,得L>r≥Lcos 45°= L,所以 ≤
<1.
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应用三 解决与不等式有关的问题
例3 关于x的不等式ex- -1- x≥0在x∈ 上恰成立,则a的
取值集合为 .
答案 {2 }
解析 关于x的不等式ex- -1- x≥0在x∈ 上恰成立⇔函数
g(x)= 在 上的值域为 .
因为g'(x)= .
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应用解读
令φ(x)=ex(x-1)- x2+1,x∈ ,
则φ'(x)=x(ex-1).
因为x≥ ,所以φ'(x)≥0,故φ(x)在 上单调递增,
所以φ(x)≥φ = - >0.
因此g'(x)>0,故g(x)在 上单调递增,
则g(x)≥g = =2 - ,
所以a- =2 - ,解得a=2 .
所以a的取值集合为{2 }.
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应用解读
【技法点评】 解决不等式问题的方法及注意点
(1)在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当
的函数,利用函数的图象和性质解决问题.
(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参
数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化,一般地,已知存在范围的量为变
量,而待求范围的量为参数.
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跟踪集训
1.函数f(x)的定义域为R, f(-1)=2,对任意x∈R, f '(x)>2,则f(x)>2x+4的解集
为 ( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
答案 B 设g(x)=f(x)-2x-4,则g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,g'(x)=f '(x)-2>0,则g
(x)为增函数.
解g(x)>0,即g(x)>g(-1),得x>-1,选B.
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2.若0ln x2-ln x1 B. - x1 D.x2 0恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,
故当x=1时, f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max= ,
要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立,
则须使k≥(bn)max= ,
所以实数k的最小值为 .
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【技法点评】 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型:
(1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或不等式
求解.
(2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式组
(n≥2,n∈N*)求解.
(3)数列中前n项和的最值:转化为二次函数,借助二次函数的单调性或求
使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可求解.
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跟踪集训
(2017长沙统一模拟考试)已知数列{an}为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn= ,设{bn}的前n项和为Sn.求最小的正整数n,使得Sn> .
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
依题意有
解得a1=1,d=2,从而{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)因为bn= = - ,
所以Sn= + +…+ =1- ,
令1- > ,解得n>1 008,故n=1 009.
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应用解读
应用五 解决与解析几何、立体几何有关的问题
例5 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx
(k>0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.
(1)若 =6 ,求k的值;
(2)求四边形AEBF面积的最大值.
解析 (1)由题设条件可得,椭圆的方程为 +y2=1,直线AB的方程为x+2y
-2=0.
设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x10),即k= 时,等号成立.
故四边形AEBF面积的最大值为2 .
【技法点评】 解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问
题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程
之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后
借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
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应用解读
跟踪集训
1.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为 ( )
A. B.
C. D.
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应用解读
2.(2016山东)已知双曲线E: - =1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点
在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是
.
答案 2
解析 如图,不妨令|AB|=3,|BC|=2,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,则
AB的中点为F1,故|DF1|= ,|DF2|= ,根据双曲线的定义知2a=1,又2c=2,所
以该双曲线的离心率为 =2.
浙公网安备 33021202002483