5.3拉格朗日方程作业拉格朗日方程作业
1.试用拉格朗日方程求质量为
的质点在重力场中用直角坐标系表示的的运动微分方程。
1.解:取x,y,z为广义坐标,则体系的
动能
势能
(以地面为零势能点)
拉氏函数
则由拉格朗日方程
可得:
,此即为所求的运动微分方程。
2.一个质量为
的质点,受力为
,试用拉格朗日力方程求它用直角坐标系表示的的运动微分方程。
2.解:取x,y,z为广义坐标,则动能
;
而广义力各分量为:
;
;
于是将其代入到拉格朗日...
拉格朗日方程作业
1.试用拉格朗日方程求质量为
的质点在重力场中用直角坐标系表示的的运动微分方程。
1.解:取x,y,z为广义坐标,则体系的
动能
势能
(以地面为零势能点)
拉氏函数
则由拉格朗日方程
可得:
,此即为所求的运动微分方程。
2.一个质量为
的质点,受力为
,试用拉格朗日力方程求它用直角坐标系表示的的运动微分方程。
2.解:取x,y,z为广义坐标,则动能
;
而广义力各分量为:
;
;
于是将其代入到拉格朗日力方程,有:
,即
3.试用拉格朗日方程求单摆的微振动方程和周期。
3.解:设单摆的摆长为
,摆锤质量为m,取
为广义坐标,则拉格朗日函数为:
(取悬点O为零势能点)
代入到拉格朗日方程
中得:
而
,则
,此即为单摆的微振动方程
所以角频率
,即周期
。
4.如图示,质量为
的复摆绕通过某点O的水平轴作微小振动,复摆对转轴的转动惯量为
,质心C到悬点O的距离为
,试用拉格朗日方程求该复摆的运动方程及振动周期。
4.解:取
为广义坐标,则拉格朗日函数为:
(其中取悬点O为零势能点)
代入到拉格朗日方程
,有:
,即:
而
,则:
,此即为所求的运动方程。
所以角频率
,即振动周期
。
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