总结 离散数学知识点
第2章 命题逻辑
1. →，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；
2. 主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；
3. 求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；
4. 求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；
5. 求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；
6. 真值
表
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中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；
7. n个变元共有
个极小项或极大项，这
为(0~
-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；
8. 永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；
9. 推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)
10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则
①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；
第3章 谓词逻辑
1. 一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；
多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2. 全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;
3. 既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；
第4章 集合
1. N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；
2. 基：集合A中不同元素的个数，|A|；
3. 幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；
4. 若集合A有n个元素，幂集P(A)有
个元素，|P(A)|=
=
；
5. 集合的分划：(等价关系)
①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；
②这几个子集相交为空，相并为全(A)；
6. 集合的分划与覆盖的比较：
分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；
覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；
第5章 关系
1. 若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为mn，A到B上可以定义
种不同的关系；
2. 若集合A有n个元素，则|A×A|=
，A上有
个不同的关系；
3. 全关系的性质：自反性，对称性，传递性；
空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；
全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；
4. 前域(domR)：所有元素x组成的集合；
后域(ranR)：所有元素y组成的集合；
5. 自反闭包：r(R)=RU
;
对称闭包：s(R)=RU
;
传递闭包：t(R)=RU
U
U……
6. 等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；
7. 偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；
8. covA={
|x,y属于A，y盖住x}；
9. 极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；
极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；
最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；
最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；
10. 前提：B是A的子集
上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；
下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；
上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；
下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；
第6章 函数
1. 若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有
种不同的关系，有
种不同的函数；
2. 在一个有n个元素的集合上，可以有
种不同的关系，有
种不同的函数，有n!种不同的双射；
3. 若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有
种不同的单射；
4. 单射：f:X-Y，对任意
,
属于X,且
≠
，若f(
)≠f(
)；
满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；
双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；
5. 复合函数：fºg=g(f(x));
6. 设函数f:A-B，g:B-C，那么
①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；
②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；
③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；
④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；
第7章 代数系统
1. 二元运算：集合A上的二元运算就是
到A的映射；
2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为
=
=16种；
3. 判断二元运算的性质方法：
①封闭性：运算表内只有所给元素；
②交换律：主对角线两边元素对称相等；
③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；
④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；
⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；
4. 同态映射：,,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；
第8章 群
1. 广群的性质：封闭性；
半群的性质：封闭性，结合律；
含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；
群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；
2. 群没有零元；
3. 阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；
4. 循环群中幺元不能是生成元；
5. 任何一个循环群必定是阿贝尔群；
第10章 格与布尔代数
1. 格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；
2. 格的基本性质：
1) 自反性
a≤a 对偶: a≥a
2) 反对称性
a≤b ^ b≥a => a=b
对偶:a≥b ^ b≤a => a=b
3) 传递性
a≤b ^ b≤c => a≤c
对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c
4) 最大下界描述之一
a^b≤a 对偶 avb≥a
A^b≤b 对偶 avb≥b
5）最大下界描述之二
c≤a,c≤b => c≤a^b
对偶c≥a,c≥b =>c≥avb
6) 结合律
a^(b^c)=(a^b)^c
对偶 av(bvc)=(avb)vc
7) 等幂律
a^a=a 对偶 ava=a
8) 吸收律
a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a
9) a≤b <=> a^b=a avb=b
10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd
11) 保序性
b≤c => a^b≤a^c avb≤avc
12） 分配不等式
av(b^c)≤(avb)^(avc)
对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)
13）模不等式
a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c
3. 分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；
4. 分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；
5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；
6. 全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；(若存在则唯一)
全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0；(若存在则唯一)
7. 有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；
8. 补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；
9. 有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；
10. 有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；
11. 布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；
第11章 图论
1. 邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；
2. 关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；
3. 平凡图：只有一个孤立点构成的图；
4. 简单图：不含平行边和环的图；
5. 无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；
有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；
6. 无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；
7. r-正则图：每个节点度数均为r的图；
8. 握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；
9. 任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；
10. 任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；
11. 每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；
12. 可达：对于图中的两个节点
,
，若存在连接
到
的路，则称
与
相互可达，也称
与
是连通的；在有向图中，若存在
到
的路，则称
到
可达；
13. 强连通：有向图章任意两节点相互可达；
单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；
弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)
14. 点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；
割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；
15. 关联矩阵：M(G)，
是
与
关联的次数，节点为行，边为列；
无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；
有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，
关联矩阵的特点：
无向图：
①行：每个节点关联的边，即节点的度；
②列：每条边关联的节点；
有向图：
③所有的入度(1)=所有的出度(0);
16.邻接矩阵：A(G)，
是
邻接到
的边的数目，点为行，点为列；
17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；
P(G)=A(G)+
(G)+
(G)+
(G)
可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；
A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；
(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；
(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；
(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；
P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；
18. 布尔矩阵：B(G)，
到
有路为1，无路则为0，点为行，点为列；
19. 代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；
20. 生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；
21. 构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；
深度优先：
①选定起始点
；
②选择一个与
邻接且未被访问过的节点
；
③从
出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；
广度优先：
①选定起始点
；
②访问与
邻接的所有节点
,
,……,
,这些作为第一层节点；
③在第一层节点中选定一个节点
为起点；
④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；
22. 最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；
23. 构造最小生成树的三种方法：
克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；
（1）克鲁斯卡尔方法
①将所有权值按从小到大排列；
②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；
③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；
④重复③，直到所有节点都被访问过一次；
（2）管梅谷算法(破圈法)
①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；
②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；
③重复②，直到所有节点都被访问过一次；
（3）普利姆算法
①在图中任取一点为起点
，连接边值最小的邻接点
；
②以邻接点
为起点，找到
邻接的最小边值，如果最小边值比
邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回
，连接
现在的最小边值(除已连接的边值)；
③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；
24. 关键路径
例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.
解：最早完成时间
TE(v1)=0
TE(v2)=max{0+1}=1
TE(v3)=max{0+2,1+0}=2
TE(v4)=max{0+3,2+2}=4
TE(v5)=max{1+3,4+4}=8
TE(v6)=max{2+4,8+1}=9
TE(v7)=max{1+4,2+4}=6
TE(v8)=max{9+1,6+6}=12
最晚完成时间
TL(v8)=12
TL(v7)=min{12-6}=6
TL(v6)=min{12-1}=11
TL(v5)=min{11-1}=10
TL(v4)=min{10-4}=6
TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2
TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2
TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0
缓冲时间
TS(v1)=0-0=0
TS(v2)=2-1=1
TS(v3)=2-2=0
TS(v4)=6-4=2
TS(v5=10-8=2
TS(v6)=11-9=2
TS(v7)=6-6=0
TS(v8)=12-12=0
关键路径: v1-v3-v7-v8
25. 欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；
欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；
欧拉图：具有欧拉回路的图；
单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；
欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；
26. （1）无向图中存在欧拉路的充要条件：
①连通图；②有0个或2个奇数度节点；
（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：
①连通图；②所有节点度数均为偶数；
（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：
①除两个节点外，每个节点入度=出度；
②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；
（4） 连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：
图中每个节点的出度=入度；
27. 哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；
哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；
哈密顿图：具有哈密顿回路的图；
28. 判定哈密顿图（没有充要条件）
必要条件：
任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；
充分条件：
图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；
29. 哈密顿图的应用：安排圆桌会议；
方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；
30. 平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；
31. 面次：面的边界回路长度称为该面的次；
32. 一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；
33. 欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则
v-e+r=2；
34. 判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)
设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；
35. 同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；
36. 判断G是平面图的充要条件：
图G不含同胚于K3.3或K5的子图；
37. 二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；
②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；
完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；
判定无向图G为二部图的充要条件：
图中每条回路经过边的条数均为偶数；
38. 树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；
39. 节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；
40. 树高：层数最大的顶点的层数；
41. 二叉树：
①二叉树额基本结构状态有5种；
②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；
③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；
④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；
⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；
⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有
个(k>=1)；
⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为
-1个，最少k个(k>=1)；
⑧如果有
个叶子，
个2度节点，则
=
+1；
42.二叉树的节点遍历方法：
先根顺序（DLR）；
中根顺序（LDR）；
后根顺序（LRD）；
43. 哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；
44. 最优二叉树的构造方法：
①将给定的权值按从小到大排序；
②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；
③重复②，直达所有权值构造完毕；
45. 哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；
每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；
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