第五章不定积分例第一节不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义不定积分又称反导数,它是求导运算的逆运算.本章所讲的内容就是导数的逆运算。原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否存在？(2)是否唯一？因此初等函数在其定义域内都有原函数。(但原函数不一定是初等函数)唯一性？记为定义例1求解解例2求由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.或或实例启示能否根据求导公式得出积分公式？二、基本积分
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基本积分表(k是常数);说明：基本积分表(k是常数);基本积分表例3求积分解根据积分公式（2）例4设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点(1,3)所求曲线方程为(1,3)．证（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）第二节不定积分的运算法则例1例2例3直接积分法例4例5例8例9例10问题第三节换元积分法一、第一类换元法(凑微分法)凑微分凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同.例1例2运用d(x+k)=dx例3运用d(ax+b)=adx例4运用d(x2)=2xdx(1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则,把dx凑成d(x).如(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x).如“凑微分”的方法有:方法1较简单,而方法2则需一定的技巧,请同学们务必记牢以下常见的凑微分公式！常用凑微分公式：等等.例5例6例7例7例8例9例10练习一6.7.8.例11另：例12类似地，例13练习说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例14例15或解例16例17例18例19解法1解法2解法3例20解第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。二、第二类换元法回代,得问题解决方法“根式替换”称为第二换元法回代例1解“根式替换”例2解指数替换例5求解令注意：根式替换与指数替换可以结合使用例4解三角替换正弦替换例5解正切替换例6解正割替换说明：以上几例所使用的均为三角代换,目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时可灵活采用别的方法.注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。例7解或解：倒数代换例8解或解：（练习）若被积函数包含根式可考虑如下替换：基本积分表例9例10例11例12凑微分分部积分公式问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.第四节分部积分法分部积分的过程：在两个被积函数中选择一个先积出来，使得原来的较难积出的不定积分转移为另一个比较容易积出的不定积分，这种新的积分技巧，被称为“分部积分法”。分部积分法中先积函数（v′(x)）的选择，一般可以遵照“指三幂对反”的先积原则，也就是排在前面的函数，作为v′（与dx凑微分后成dv）为好。例1注积分更难进行.例2例3例4分部积分法可多次使用.练习
总结
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例6例7例8例9例10练习例11所以例12例13解例13分部积分法与换元法结合:解例14解例15由题意,说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.第五节几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式有理函数是真分式；有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例要点将有理函数化为部分分式之和.以下只考虑真分式的积分.將分母作因式分解，按照多项式的性质得知，得到的因式只可能出現下面四种可能：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为特殊地：分解后为真分式化为部分分式之和的待定系数法例1例2例3真分式可分为以下四种类型的分式之和：这四类分式均可积分,且原函数为初等函数.因此,有理函数的原函数都是初等函数.四种典型部分分式的积分:变分子为再分项积分例4例5例6例7例8.求解:原式思考:如何求提示:变形方法同例8,并利用递推公式。注意以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法。基本思路例8灵活运用其它方法：例9二、三角函数有理式的积分万能代换公式：化为有理函数的积分.例10求积分解或解所以万能代换不一定是最佳方法,三角有理式积分的计算应先考虑其它手段,不得已才用万能代换.例11例12例13例14对初等函数来说,在其定义域内原函数一定存在,但原函数不一定是初等函数,如等等均不是初等函数.END若有不当之处，请指正，谢谢！
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