无限脉冲响应数字滤波器的设计

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计6.1数字滤波器的基本概念6.2模拟滤波器的设计6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器.6.1数字滤波器的基本概念本章讲述滤波器的基本概念，讲述无限脉冲响应数字滤波器（低通、高通、带通和带阻）的设计方法—转换法。.例10.滤波器的基本概念.设.分贝(dB)的定义:当-3dB带宽:.例2系统函数为频率函数为.1.数字滤波器的分类(1)经典滤波器与现代滤波器(2)低通,高通,带通和带阻(3)无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。数字滤波器的低频频带位于2π的整数倍处，高频频带位于π的奇数倍附近，.IIR和FIR系统函数分别为：(6.1.1)(6.1.2)(N≥M)称为N阶IIR滤波器函数称为N-1阶FIR滤波器函数.2.数字滤波器的技术要求(1)理想滤波器.图6.1.1理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性带通带阻.假设数字滤波器的频率函数H(ejω)用下式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示：θ(ω)为相频特性，表示通过滤波器后各频率成分在时间上的延迟情况。(2)物理可实现滤波器.ωp通带截止频率ωc3dB通带截止频率ωs阻带截止频率图6.1.2低通滤波器的技术要求通带(0,ωp)内要求阻带(ωs,π)内要求ωp到ωs为过渡带。.例如：某滤波器的频率特性为.αp和αs分别定义为：通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示.如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：(6.1.5)(6.1.6).与理想低通比较:.设计步骤：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。3.数字滤波器设计方法概述IIR滤波器设计方法,经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。另一类是直接在频域或时域中进行设计。FIR滤波器的设计方法,常用的有窗函数法和频率采样法。.6.2模拟滤波器的设计.6.2.1模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(1)技术指标模拟低通滤波器的设计指标有αp,Ωp,αs和Ωs。图6.2.2低通滤波器的幅频特性Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率.损耗函数：用对数表示幅频特性.图中Ωc称为3dB截止频率。αp是通带(Ω=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。损耗函数曲线：.对于单调下降的幅度特性，可表示成：如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为：.(2)逼近方法.而一般滤波器的单位冲激响应h(t)为实数且收敛，因此具体做法：因为.巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：6.2.2巴特沃斯低通滤波器的设计方法N称为滤波器的阶数.(1)巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha(s)1.巴特沃斯低通滤波器的设计原理.图6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的关系将幅度平方函数此式表明幅度平方函数有2N个极点.写成s的函数：.得极点sk用下式表示：(6.2.8).为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为比如N=3,通过下式可以计算出6个极点..同理，得：图6.2.4三阶巴特沃斯滤波器极点分布当N=3时，6个极点中位于左半平面的三个分别为:.取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：(2)归一化传输函数Ha(p).归一化后的Ha(s)表示为λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率。上式中，p称为归一化拉氏复变量..式中，pk=sk/Ωc为归一化极点，sk为位于左半平面的极点;用下式表示：归一化巴特沃斯的传输函数为（6.2.12）将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：.表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数极点位置阶数NP0,N-1P1,N-2P2,N-3P3,N-4P4,N-41-1.00002-0.7071±j0.70713-0.5000±j0.8660-1.00004-0.3827±0.9239-0.9239±0.38275-0.3090±0.9511-0.8090±0.5878-1.00006-0.2588±0.9659-0.7071±0.7071-0.9659±0.25887-0.2225±0.9749-0.6235±0.7818-0.9010±0.4339-1.00008-0.1951±0.9808-0.5556±0.8315-0.8315±0.5556-0.9808±0.19519-0.1736±0.9848-0.5000±0.8660-0.7660±0.6428-0.9397±0.3420-1.0000.续表6.2.1分母多项式阶数NB(p)=pN+bN-1pN-1+bN-2pN-2+…+b1p+b0bob1b2b3b4b5b6b7b811.000021.00001.414231.00002.00002.000041.00002.61313.41422.613151.00003.23615.23615.23613.236161.00003.86377.46419.14167.46413.863771.00004.494010.097814.591814.591810.09784.494081.00005.125813.137121.846225.688421.846213.13715.125891.00005.758816.581731.163441.986441.986431.163416.58175.7588.续表6.2.1分母因子阶数NB(p)=B1(p)B2(p)B3(p)B4(p)B5(p)1(p+1)2(p2+1.4142p+1)3(p2+p+1)(p+1)4(p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)5(p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)6(p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)7(p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)8(p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9616p+1)9(p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8794p+1)(p+1).极点位置阶数NP0,N-1P1,N-2P2,N-3P3,N-4P4,N-41-1.00002-0.7071±j0.70713-0.5000±j0.8660-1.00004-0.3827±0.9239-0.9239±0.38275-0.3090±0.9511-0.8090±0.5878-1.00006-0.2588±0.9659-0.7071±0.7071-0.9659±0.25887-0.2225±0.9749-0.6235±0.7818-0.9010±0.4339-1.00008-0.1951±0.9808-0.5556±0.8315-0.8315±0.5556-0.9808±0.19519-0.1736±0.9848-0.5000±0.8660-0.7660±0.6428-0.9397±0.3420-1.0000.(3)N的确定由技术指标αp,Ωp,αs和Ωs确定..整理得：.由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：令则N由下式表示：取大于等于N的最小整数。.关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，.(4)总结低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：③将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。.例6.2.1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。技术指标:fp=5kHzαp=2dBfs=12kHzαs=30dB代入.取N=5得到：(2)确定归一化传输函数.由N=5，直接查表6.2.1，得到：极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878，-1.0000将共轭极点放在一起,形成因式分解形式:.上式分母也可以展开成为五阶多项式式中b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361.先求3dB截止频率Ωc。按照(6.2.17)式，得到：(3)将Ha(p)去归一化将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：.例6.2.1图1所设计滤波器的幅频特性.closeall,N=256;t=linspace(0,1,N);dt=t(2)-t(1);xt=cos(2*pi*4*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t);f=(0:(N/2-1))/(dt*N);Xt=fft(xt,N);subplot(2,1,1),plot(t(1:128),xt(1:128)),subplot(2,1,2),plot(f(1:64),abs(Xt(1:64))),xlabel('f(kHz)')Qc=5.2775;b0=1;b1=3.2361;b2=5.2361;b3=b2;b4=b1;Q=f%Q=linspace(0,25,N);Ha=Qc^5./((j*Q).^5+b4*Qc*(j*Q).^4+b3*Qc^2*(j*Q).^3+b2*Qc^3*(j*Q).^2+b1*Qc^4*(j*Q)+b0*Qc^5);L=length(Ha)Has=20*log10(abs(Ha));figure,plot(Q(1:64),Has(1:64),Q,-30,'r*',12,Has,'*',5,Has,'*'),axis([030-702]),xlabel('f(kHz)'),ylabel('20lg(abs(H_{a}(j{\Omega})))(dB)');Yt=Xt(1:L).*Ha;yt=ifft(Yt);figure,subplot(2,1,1),plot(t(1:128),abs(yt(1:128))),subplot(2,1,2),plot(f(1:64),abs(Yt(1:64)));,xlabel('f(kHz)')附例题的绘图程序.例6.2.1图2假定的输入信号的时域波形和频谱.例6.2.1图3滤波器的输出信号的时域波形和频谱.(4)简单讨论得到：第一,.fp=5kHzαp=2dBfs=12kHzαs=30dB要求设计的滤波器设计的滤波器一阻带性能比设计要求好..第二,.设计的滤波器二fp=5kHzαp=2dBfs=12kHzαs=30dB要求设计的滤波器通带性能比设计要求好..2.用MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器MATLAB信号处理工具箱函数buttap,buttord和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。调用格式如下。[Z,P,K]=buttap(N)%计算归一化（以3dB截止频率归一化）系统函数的零极点和增益。[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')［B,A］=butter(N,wc,′s′)[B,A]=zp2tf(Z,P,K).式中，Z(k)和P(k)分别为向量Z和P的第k个元素。1）[Z,P,K]=buttap(N)　　该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（3dB截止频率Ωc=1）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。得到的系统函数为如下形式:　　　　　　　　　　　　　　　　（6.2.21）.>>[Z,P,K]=buttap(5)Z=[]P=-0.3090+0.9511i-0.3090-0.9511i-0.8090+0.5878i-0.8090-0.5878i-1.0000K=1[B,A]=zp2tf(Z,P,K)B=000001A=1.00003.23615.23615.23613.23611.0000.2）［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As)　　该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc。调用参数wp和ws分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值，要求0≤wp≤1，0≤ws≤1,1表示数字频率π（对应模拟频率Fs/2，Fs表示采样频率）。Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。当ws≤wp时，为高通滤波器；当wp和ws为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时wc也是二元向量。.3）[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率wc。wp、ws和wc是实际模拟角频率（rad/s）。其他参数与格式2）相同。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;>>[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')N=5wc=3.7792e+004.4）［B,A］=butter(N,wc,′ftype′)　　计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值（关于π归一化），一般按格式2）调用函数buttord计算N和wc。由系数向量B和A可以写出数字滤波器系统函数：（6.2.22）式中，B(k)和A(k)分别为向量B和A的第k个元素。.5）［B,A］=butter(N,wc,′ftype′,′s′)　　计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率（实际角频率）。由系数向量B和A写出模拟滤波器的系统函数为　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.2.23）（6.2.21）、（6.2.22）和（6.2.23）式也适用于后面要介绍的切比雪夫和椭圆滤波器的MATLAB设计函数。.>>[B,A]=butter(N,wc,'s')B=1.0e+022*000007.7094A=1.0e+022*0.00000.00000.00000.00000.00077.7094[Z,P,K]=buttap(5);[B,A]=zp2tf(Z,P,K)B=000001A=1.00003.23615.23615.23613.23611.0000.　　由于高通滤波器和低通滤波器都只有一个3dB截止频率wc，因此仅由调用参数wc不能区别要设计的是高通还是低通滤波器。当然仅由二维向量wc也不能区分带通和带阻。所以用参数ftype来区分。ftype=high时，设计3dB截止频率为wc的高通滤波器。缺省ftype时默认设计低通滤波器。ftype=stop时，设计通带3dB截止频率为wc的带阻滤波器，此时wc为二元向量［wcl,wcu］，wcl和wcu分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。缺省ftype时设计带通滤波器，通带为频率区间wcl<ω 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 映射关系.所以即由此得到标准映射关系:.设按照z=esT式，得到:因此得到:即，当σ=0时,r=1;S平面上的虚轴映射到z平面的单位圆.当σ>0时,r>1;当σ<0时,r<1;S平面上的左半平面映射到z平面的单位圆内.S平面上的右半平面映射到z平面的单位圆外..另外，z=esT是一个周期函数，可写成可见数字频率ω与模拟频率Ω是线性关系但不是一一对应的..σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1图6.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系s平面z平面.采样信号的频谱与原模拟信号的关系：离散信号x(n)的频谱与原模拟信号的关系：比较：有.1、脉冲响应不变法（变换方法）若则2、标准映射关系（是否满足第一点要求）3、（是否满足第二点要求）.00模拟滤波器希望的数字滤波器转换后0实际的数字滤波器.三.频谱混叠现象设模拟滤波器的频谱为.将(6.3.7)式代入上式,可得:假设在这种情况下,用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以重现原模拟滤波器的频响.则.图6.3.2脉冲响应不变法的频率混叠现象脉冲响应不变法不适合设计高通滤波器和带阻。.四.滤波器的传输函数一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现..相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为(6.3.12)如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为.如果模拟滤波器二阶基本节的形式为(6.3.14)相应的数字滤波器二阶基本节的形式为.脉冲响应不变法的优点与缺点:优点：1、频率变换线性。2、时域特性好。缺点：频谱混叠，不适合设计高通和带阻。.用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。例6.3.1已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为极点为解首先将Ha(s)写成部分分式：.式中T是采样间隔,T的选取应满足抽样定理.方法一:按照，并经过整理，得到那么H(z)的极点为.设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则.方法二:转换时，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.13)式的形式，如极点s1,2=σ1±jΩ1,则再按照(6.3.14)式，H(z)为.图6.3.3例6.3.1的幅度特性图(a)表示模拟滤波器的幅度特性图(b)表示数字滤波器的幅度特性模拟频率Ω与数字频率ω满足ω=ΩT如T=0.1s(a)图中C点Ω=15rad/s=4.77πrad/s(b)图中c点ω=4.77π×0.1=0.477πrad..P1946.解:收敛域包括虚轴。..因此有则.数字系统为低通滤波器..五.脉冲响应不变法的MATLAB实现[Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs)%用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器B,A分别是模拟滤波器系统函数Ha(s)分子分母多项式的系数。Bz,Az分别是数字滤波器系统函数H(z)分子分母多项式的系数。Fs为采样频率。impluseinvariable.%例题6.3.1的转换程序b=0.5012;a=[1,0.6449,0.7079];[h,w]=freqs(b,a);%计算模拟滤波器的频响subplot(2,1,1),plot(w(1:180),20*log10(abs(h(1:180)/max(h)))),gridonxlabel('归一化角频率'),ylabel('幅度'),title('模拟滤波器')[bz,az]=impinvar(b,a,1)[h,w]=freqz(bz,az);%计算数字滤波器的频响subplot(2,1,2),plot(w/pi,20*log10(abs(h/max(h)))),gridonxlabel('以{\pi}为单位'),ylabel('幅度'),title('数字滤波器'),holdon[bz,az]=impinvar(b,a,10)[h,w]=freqz(bz,az);%计算数字滤波器的频响subplot(2,1,2),plot(w/pi,20*log10(abs(h/max(h)))),gridonxlabel('以{\pi}为单位'),ylabel('幅度'),title('数字滤波器').例题6.3.1的转换结果.例：用脉冲响应不变法设计数字滤波器。要求通带和阻带具有单调下降特性，技术指标如下：解：要求数字滤波器的通带和阻带具有单调下降特性，可采用巴特沃思模拟滤波器作为原型；设计步骤：1、利用关系将数字频率转换为模拟频率；2、先设计巴特沃思模拟滤波器；3、用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器。.将数字频率转换为模拟频率（假设T=1s）；第二步，第三步用MATLAB实现，程序如下：结果如下：.wp=0.2*pi;ws=0.35*pi;Rp=2;As=30;%设置滤波器参数[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');%计算滤波器阶数N和3dB截止频率　[B,A]=butter(N,wc,‘s’);%计算滤波器系统函数分子分母多项式系数N[Hk,wk]=freqs(B,A);subplot(2,1,1);plot(wk(1:150),20*log10(abs(Hk(1:150))));gridonxlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(dB)')[bz,az]=impinvar(B,A,1);[h,w]=freqz(bz,az);%计算数字滤波器的频响subplot(2,1,2),plot(w/pi,20*log10(abs(h/max(h)))),gridonxlabel('以{\pi}为单位'),ylabel('幅度'),title('数字滤波器'),.如果频率指标是用数字频率给的，采样间隔可任取。..6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器为了克服频谱混叠的缺点,采用非线性频率压缩方法.一.非线性频率压缩.图6.4.1双线性变换法的映射关系.当Ω1从-π/T经过0变化到π/T时，Ω则由-∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换.。用正切变换实现频率压缩：式中T是采样间隔.这样,由s=jΩ和s1=jΩ1得到:(6.4.2).(6.4.3)(6.4.4)称为双线性变换.得:.由将s平面映射为s1平面图6.4.1双线性变换法的映射关系.二.模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。.图6.4.2双线性变换法的频率变换关系所以模拟频率与数字频率是一一对应的，但非线性。.图6.4.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射三.幅度特性和相位特性的失真.设四.数字滤波器的传输函数:则.表6.4.1系数关系表k=1k=2.小结：用双线性变换法将模拟滤波器Ha(s)转换为数字滤波器H(z):1、转换方法：2、频率映射关系：3、优点：没有频谱混叠4、缺点：频率关系非线性。.例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解:首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为图6.4.4RC低通滤波器.利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为.利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为.图6.4.5例6.4.1图——H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z);(b)H2(z).脉冲响应不变法双线性变换法图6.4.6例6.4.1图——数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性.总结:利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为ω=ΩT如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为具体转换：.(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器Ha(s)。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。采样间隔T的选择:（1）脉冲响应不变法要求（2）双线性变换法T可任选,一般选T=1.若先给定数字滤波器的技术指标,脉冲响应不变法和双线性变换法的T可任选,一般选T=1..例6.4.2设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解:(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB。②模拟低通的技术指标为选T=1s,由ω=ΩT可得①数字低通的技术指标为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB。.③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。取N=6此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。为求3dB截止频率Ωc,将Ωp和αp代入下式，得到.为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输函数为.④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z).图6.4.7例6.4.2图——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性.wp=0.200*pi;ws=0.30*pi;Rp=1;As=15;%设置滤波器参数[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,‘s’)%计算阶数N和3dB截止频率（用阻带参数）　[B,A]=butter(N,wc,'s')%计算系统函数分子分母多项式系数[bz,az]=impinvar(B,A)%脉冲响应不变法转换为数字系统N=6wc=0.7087B=0000000.1266A=1.00002.73803.74843.25331.88240.69050.1266bz=0.00000.00070.01050.01670.00420.00010az=1.0000-3.34435.0183-4.21902.0725-0.56000.0647.②模拟低通的技术指标为(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。①数字低通技术指标仍为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB。.③设计巴特沃斯低通滤波器。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。阶数N计算如下：N=6根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，.④用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：.图6.4.8例6.4.2图——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性.wp=0.65*pi/3.14;ws=1.019*pi/3.14;Rp=1;As=15;%设置滤波器参数[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')%计算阶数N和3dB截止频率　[B,A]=butter(N,wc,'s')%计算系统函数分子分母多项式系数[S,G]=tf2sos(B,A)%将直接型转换为级联型[bz,az]=bilinear(B,A,1)%用双线性变换[Sz,Gz]=tf2sos(bz,az)%将直接型转换为级联型.N=6wc=0.7666B=0000000.2029A=1.00002.96184.38624.11812.57751.02280.2029S=001.00001.00001.48090.5876001.00001.00000.39680.5876001.00001.00001.08410.5876G=0.2029bz=0.00070.00440.01110.01480.01110.00440.0007az=1.0000-3.18244.6194-3.77631.8118-0.47940.0544Sz=1.00002.02601.02621.0000-0.90400.21541.00001.99971.00001.0000-1.01020.35811.00001.97430.97451.0000-1.26820.7050Gz=7.3937e-004.[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)%用双线性变换法将分子分母多项式系数分别为B和A的模拟滤波器系统函数Ha(s)转换为数字滤波器H(z)，Bz和Az分别为H(z)的分子分母多项式系数，Fs为抽样频率。五.双线性变换法的MATLAB实现.［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As)［B,A］=butter(N,wc,′ftype′)直接设计数字滤波器的命令：［N,wc］=ellipord(wp,ws,Rp,As)［B,A］=ellip(N,wc)默认用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器。%用巴特沃斯模拟滤波器作为原型设计数字滤波器%用椭圆模拟滤波器作为原型设计数字滤波器.用MATLAB实现：[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')［B,A］=butter(N,wc,′ftype′,′s′)高通：ftype=high带通：wp,ws均为二元向量，ftype缺省。带阻：wp,ws均为二元向量，ftype=stop。.P193习题15（1）78.6.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计具体设计步骤：(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2)将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 为(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。.(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(4)设计模拟低通滤波器。.(1)数字高通的技术指标为ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB例6.5.1设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解:设计方法为:设计模拟低通滤波器,将模拟低通滤波器用频率变换法转换为模拟高通滤波器,再用双线性变换法将模拟高通滤波器转换为数字高通滤波器..(2)模拟高通的技术指标计算如下：(3)模拟低通技术指标：.(4)设计归一化模拟低通滤波器HL(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数HL(p),去归一化，(令p=s/Ωcl)得到HL(s)：.(5)将模拟低通转换成模拟高通。(6)用双线性变换法将模拟高通HH(s)转换成数字高通H(z)：.也可以这样作:设计模拟低通滤波器,将模拟低通滤波器转换为数字低通滤波器,再用频率变换法将数字低通滤波器转换为数字高通滤波器..1.零极点累试法6.6IIR数字滤波器的直接设计法在确定零极点位置时要注意：(1)极点必须位于z平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。.例6.6.1设计带通滤波器,通带中心频率ω0=π/2.ω=0,π时,幅度衰减到0.解:由ω0=π/2为通带中心频率可确定极点.由ω=0,π时,幅度衰减到0可确定零点.写出H(z)如下.系数G用于对某一固定频率的幅度要求确定.如果要求ω=π/2处幅度为1,则同时设r=0.7,0.9可得G=0.255,0.095，代入H(z),得：.频率特性画出幅频特性如图所示..图6.6.1例6.6.1图(a)零极点分布；(b)幅度特性.设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示，2.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器式中，A是常数；ai,bi,ci,di是待求的系数。.如果在(0，π)区间取N点数字频率ωi,i=1,2,…,N，在这N点频率上，比较|Hd(ejω)|和|H(ejω)|，写出两者的幅度平方误差E为设Hd(ejω)是希望设计的滤波器频响。在(6.6.1)式中共有(4K+1)个待定的系数，求它们的原则是使E最小。.例如:要求设计一个低通滤波器,频率特性逼近下式.假定所设计的滤波器的系统函数为:.所设计的滤波器的频率函数为:..令解方程组,可以得到滤波器系数a,b,c,d。最后可得系统函数。.P193习题15（1）78.(6.4.2)式的推导.感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！