历年考研数学一真题及答案

历年考研数学一真 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1987-2014（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数yx2x取得极小值.(2)由曲线ylnx与两直线ye1x及y0所围成的平面图形的面积是_____________.(3)与两直线y1t及x1y2z1都平行且过原点的平面方程为_____________.111(4)设L为取正向的圆周x2y29,则曲线积分?(2xy2y)dx(x24x)dy=_____________.L(5)已知三维向量空间的基底为α1(1,1,0),α2(1,0,1),α3(0,1,1),则向量β(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a与b,使等式lim1xt2dt1成立.sinx0ax0bxt2三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,uf(x,xy),vg(xxy),求,v.xx301(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A2B,其中A110,求矩阵B.014四、(本题满分8分)求微分方程y6y(9a2)y1的通解,其中常数a0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设limf(x)f(a)1,则在xa处(xa)2xa(A)f(x)的导数存在,且f(a)0(B)f(x)取得极大值(C)f(x)取得极小值(D)f(x)的导数不存在s(2)设f(x)为已知连续函数,Itt0f(tx)dx,其中t0,s0,则I的值(A)依赖于s和t(B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数k0,则级数(1)nknn12n(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|a0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于(A)(C)a(B)1aan1(D)an六、（本题满分10分）求幂级数1nxn1的收敛域，并求其和函数.n1ng2七、（本题满分10分）求曲面积分其中是由曲线f(x)zy11y3绕y轴旋转一周而成的曲面,x0其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f(x)1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)x.九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)1ex22x1,则X的数学期望为____________,X的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为fX(x)10x1,fY(y)eyy0,求0其它0y0Z2XY的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数(x3)n的收敛域.nn1n3(2)设f(x)ex2,f[(x)]1x且(x)0,求(x)及其定义域.(3)设为曲面x2y2z21的外侧,计算曲面积分Iòx3dydzy3dzdxz3dxdy.二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若f(t)limt(11)2tx,则f(t)=_____________.xxx31x,则(2)设f(x)连续且f(t)dt0f(7)=_____________.设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]上定义为21x0)级数在x1处f(x)0x,则的傅里叶(Fourierx21收敛于_____________.(4)设4阶矩阵A[αγ,2,γ3,γ4],B[βγ,2,γ3,γ4],其中αβγ,,2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A4,B1,则行列式AB=_____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)可导且f(x0)1,则x0时,f(x)在x0处的微分dy是2(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设yf(x)是方程y2y4y0的一个解且f(x0)0,f(x0)0,则函数f(x)在点x0处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少设空间区域1:x2y2z2R2,z0,2:x2y2z2R2,x0,y0,z0,则(A)xdv4dv12(B)ydv4ydv12(C)zdv4zdv12(D)xyzdv4xyzdv12(4)设幂级数an(x1)n在x1处收敛,则此级数在n1x2处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组α,α,L,α(3sn)线性无关的充要条件12s是存在一组不全为零的数k1,k2,L,ks,使kαkαLkα01122ssα,α,L,α中任意两个向量均线性无关2sα,α,L,α中存在一个向量不能用其余向量线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示2sα,α,L,α中存在一个向量都不能用其余向量线性表示2s四、(本题满分6分)设uyf(x)xg(y),其中函数f、g具有二阶连续导数,求yxx2uy2u.x2xy五、(本题满分8分)设函数yy(x)满足微分方程y3y2y2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线yx2x1在该点处的切线重合,求函数yy(x).六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为k(k0为常数,r为r2A质点与M之间的距离),质点M沿直线y2xx2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）100100,求A,A5.已知APBP,其中B000,P210001211八、（本题满分8分）200200已知矩阵A001与B0y0相似.01x001(1)求x与y.(2)求一个满足P1APB的可逆阵P.九、（本题满分9分）设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f(x)0,证明:在(a,b)内存在唯一的,使曲线y平面图形面积S是曲线yf(x)1f(x)与两直线与两直线yyf(f(),x),xa所围b所围平面图形面积S2的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,则事件A在一次试验中出现的概率是27____________.若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于6”的概5率为____________.设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为fX(x)1,求随机变量(1x2)Y13X的概率密度函数fY(y).1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)已知f(3)2,则limf(3h)f(3)=_____________.h02h设f(x)是连续函数,且f(x)1(2)x2f(t)dt,则0(x)=_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y1x2,则曲线积分(x2y2)ds=_____________.L(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.300100(5)设矩阵A140,I010,则矩阵003001(A2I)1=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当x0时,曲线yxsin1x(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面z4x2y2上点P处的切平面平行于平面2x2yz10,则点的坐标是(A)(1,1,2)(B)(1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)c1y1c2y2y3c1y1c2y2(c1c2)y3(C)c1y1c2y2(1c1c2)y3(D)c1y1c2y2(1c1c2)y3设函数f(x)x2,0x1,而S(x)bnsinnx,x,其中n1bn211,2,3,L,则S(1f(x)sinnxdx,n)等于02(A)1(B)124(C)1(D)142(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A0,则A中(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设zf(2xy)g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续2z二阶偏导数,求.xy(2)设曲线积分xy2dxy(x)dy与路径无关,其中(x)具有连续的c导数,且(0)0,计算(1,1)y(x)dy的值.xy2dx(0,0)(3)计算三重积分(xz)dv,其中是由曲面zx2y2与1x2y2所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数f(x)arctan1x展为x的幂级数.1x五、(本题满分7分)xt)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).设f(x)sinx(x0六、（本题满分7分）证明方程lnxx1cos2xdx在区间(0,)内有且仅有两e0个不同实根.七、（本题满分6分）问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明1为A1的特征值.A为A的伴随矩阵A*的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R的球面的球心在定球面x2y2z2a2(a0)上,问当R为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A的概率P(A)0.5,随机事件B的概率P(B)0.6及条件概率P(B|A)0.8,则和事件AUB的概率P(AUB)=____________.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2x10有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z2XY3的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)过点M(1,21)且与直线y3t4垂直的平面方程是_____________.zt1(2)设a为非零常数,则lim(xa)x=_____________.xxa1x1,则f[f(x)]=_____________.(3)设函数f(x)0x12y2积分0dxxedy的值等于_____________.已知向量组α(1,2,3,4),α(2,3,4,5),α(3,4,5,6),α(4,5,6,7),1234则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)是连续函数,且F(x)exf(t)dt,则F(x)等于x(A)exf(ex)f(x)(B)exf(ex)f(x)(C)exf(ex)f(x)(D)exf(ex)f(x)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f(x)[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是(A)n![f(x)]n1(B)n[f(x)]n1(C)[f(x)]2n(D)n![f(x)]2n(3)设a为常数,则级数[sin(na)1]n1n2n(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关已知f(x)在x0的某个邻域内连续,且f(0)0,limf(x)2,则在点x0处f(x)01cosxx(A)不可导(B)可导,且f(0)0(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是ββ(A)ααα12k11k2(12)2kαk(αα)ββ(B)12112122ββ(C)k1α1k2(β1β2)122ββ(D)k1α1k2(β1β2)122三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)ln(1x)(1)求0(2x)2dx.(2)设zf(2xy,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶2z.偏导数,求xy(3)求微分方程y4y4ye2x的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(2n1)xn的收敛域,并求其和函数.n0五、(本题满分8分)求曲面积分其中S是球面x2y2z24外侧在z0的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)f(b).证明在(a,b)内至少存在一点,使得f()0.七、（本题满分6分）设四阶矩阵且矩阵A满足关系式其中E为四阶单位矩阵,C1表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型fx124x224x324x1x24x1x38x2x3成标准型.九、（本题满分8分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的rr的过程中受变力F作用(见图).F大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与yr轴正向的夹角小于.求变力F对2质点P所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)已知随机变量X的概率密度函数则X的概率分布函数F(x)=____________.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=____________.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即2ke23X2的数学期望P{Xk},k0,1,2,L,则随机变量Zk!E(Z)=____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0x1,yx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z2X1的方差D(Z).1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设x1t2,则d2y=_____________.ycostdx2(2)由方程xyzx2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点(1,0,1)处的全微分dz=_____________.(3)已知两条直线的方程是l1:x1y2z3;l2:x2y1z.101211则过l1且平行于l2的平面方程是_____________.(4)11是等价无穷小,则常数已知当x0时,(1ax2)31与cosxa=_____________.5200(5)2100设4阶方阵A01,则A的逆阵A1=_____________.020011二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)1e(1)曲线ye1x2x2(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线2(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)0于t则f(x)等f()dtln2,2(A)exln2(B)e2xln2(C)exln2(D)e2xln2(3)已知级数(1)n1an2,a2n15,则级数n1n1an等于n1(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则(xycosxsiny)dxdy等于D(A)2cosxsinydxdy(B)2xydxdyD1D1(C)4(xycosxsiny)dxdy(D)0D1(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE,其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACBE(B)CBAE(C)BACE(D)BCAE三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求lim(cosx)2.x0r23y2z26在点P(1,1,1)处的指向外侧的法(2)设n是曲面2x向量,求函数u6x28y2r在点P处沿方向n的方向导数.z(3)(x2y2z)dv,其中是由曲线y22z绕z轴旋转一周而成的x0曲面与平面z4所围城的立体.四、(本题满分6分)过点O(0,0)和A(,0)的曲线族yasinx(a0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分(1y3)dx(2xy)dy的值最小.L五、(本题满分8分)将函数f(x)2x(1x1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数1的和.2n1n六、（本题满分7分）设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,1证明在且32f(x)dxf(0),3(0,1)内存在一点c,使f(c)0.七、（本题满分8分）已知α(1,0,2,3),α(1,1,3,5),α(1,1,a2,1),α(1,2,4,a8)及1234β(1,1,b3,5).(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?(2)a、为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式写出该表b?示式.八、（本题满分6分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)若随机变量X服从均值为2、方差为2的正态分布,且P{2X4}0.3,则P{X0}=____________.随机地向半圆0y2axx2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为____________.4十一、（本题满分6分）设二维随机变量(X,Y)的密度函数为求随机变量ZX2Y的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数yy(x)由方程exycos(xy)0确定,则dy=_____________.dx(2)函数uln(x2y2z2)在点M(1,2,2)处的梯度graduM=_____________.1x0,则其以2为周期的傅里叶级数在(3)设f(x)01x2x点x处收敛于_____________.(4)微分方程yytanxcosx的通解为y=_____________.a1b1a1b2La1bn(5)设Aa2b1a2b1La2bn,其中ai0,bi0,(i1,2,L,n).则矩阵ALLLLanb1anb2Lanbn的秩r(A)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当x1时,函数x21ex11的极限x1(A)等于2(B)等于0(C)为(D)不存在但不为(2)级数(1)n(1cosa)(常数a0)n1n(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线xt,yt2,zt3的所有切线中,与平面x2yz4平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设f(x)3x3x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为(A)0(B)1(C)2(D)310(5)要使ξ0,ξ1都是线性方程组AX0的解只要系数矩12,21阵A为(A)212(B)201011102011(C)(D)422011011三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求limexsinx1.x011x2(2)设zf(exsiny,x2y2),其中f具有二阶连续偏导数,求2z.xy23(3)设f1xx0(x),求f(x2)dx.exx01四、(本题满分6分)求微分方程y2y3ye3x的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分(x3az2)dydz(y3ax2)dzdx(z3ay2)dxdy,其中为上半球面za2x2y2的上侧.六、（本题满分7分）设f(x)0,f(0)0,证明对任何x10,x20,有f(x1x2)f(x1)f(x2).七、（本题满分8分）rrrr在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2y2z21上第一卦限的点M(,,),问当、、取何值时,力a2b2c2r所做的功W最大?并求出W的最大值.F八、（本题满分7分）设向量组α,α,α线性相关,向量组α,α,α线性无关,问:123234(1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出证明你的结论.?九、（本题满分7分）设3阶矩阵A的特征值为11,22,33,对应的特征向量依次为1111ξ1,ξ2,ξ3,又向量β2.1231493将β用ξ,ξ,ξ线性表出.23求Anβ(n为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知P(A)P(B)P(C)1,P(AB)0,P(AC)P(BC)1,则事件46A、B、C全不发生的概率为____________.设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{Xe2X}=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(,2),Y服从[,]上的均匀分布,试求ZXY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布1t2函数表示,其中(x)x2e2dt).1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数F(x)x1)dt(x0)的单调减少区间为_____________.(2t2(2)由曲线3x2y12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点z0(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数f(x)xx2(x)的傅里叶级数展开式为a0(ancosnxbnsinnx),则其中系数b2n13的值为_____________.(4)设数量场ulnx2y2z2,则div(gradu)=_____________.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n1,则线性方程组AX0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)sinx2)dt,g(x)x3x4,则当x0时,f(x)是g(x)的(1)设f(x)sin(t0(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线(x2y2)2x2y2所围成的区域面积可用定积分表示为(A)24cos2d(B)44cos2d00(C)24cos2d(D)14(cos2)2d020(3)设有直线l1:x1y5z8与l2:xy6则l1与l2的夹角为1212yz3(A)(B)46(C)(D)23(4)设曲线积分[f(t)ex]sinydxf(x)cosydy与路径无关,其中Lf(x)具有一阶连续导数,且f(0)0,则f(x)等于(A)exex(B)exex22(C)exex1(D)1exex22123(5)已知Q24t,P为三阶非零矩阵,且满足PQ0,则369(A)t6时P的秩必为1(B)t6时P的秩必为2(C)t6时P的秩必为1(D)t6时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求lim(sin2cos1)x.xxx(2)求xexdx.ex1(3)求微分方程x2yxyy2,满足初始条件yx11的特解.四、(本题满分6分)计算2xzdydzyzdzdxz2dxdy,其中是由曲面zx2y2与òz2x2y2所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数(1)n(n2n1)的和.n02n六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)上函数f(x)有连续导数,且f(x)k0,f(0)0,证明f(x)在(0,)内有且仅有一个零点.(2)设bae,证明abba.七、（本题满分8分）已知二次型f(x1,x2,x3)2x123x223x322ax2x3(a0)通过正交变换化成标准形fy122y225y32,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A是nm矩阵,B是mn矩阵,其中nm,I是n阶单位矩阵,若ABI,证明B的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量YX2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为f(x)1ex,x.2求X的数学期望EX和方差DX.求X与X的协方差,并问X与X是否不相关?问X与X是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)limcot(11)=_____________.x0sinxx(2)曲面zex2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设uexsinx,则2u在点(2,1)处的值为_____________.xyR2,则(x22(4)设区域D为x2y22y2)dxdy=_____________.Dab(5)已知α[1,2,3],β[1,1,1],设Aαβ,其中α是α的转置,则23An=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)设M2sinx2cos4xdx,N2(sin3xcos4x)dx,P2(x2sin3xcos4x)dx,则有21x22(A)(C)NPMNMP(B)(D)MPNPMN二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)、fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,且级数an2收敛,则级数(1)nann1n1n2(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(4)atanxb(1cosx)2,其中a2c20,则必有lim2x0cln(12x)d(1ex)(A)(C)4da4c(B)(D)b4da4c(5)已知向量组α,α,α,α线性无关,则向量组12341994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)limcot(11)=_____________.x0sinxx(2)曲面zex2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设uexsinx,则2u在点(2,1)处的值为_____________.xyR2,则(x22(4)设区域D为x2y22y2)dxdy=_____________.Dab(5)已知α[1,2,3],β[1,1,1],设Aαβ,其中α是α的转置,则23An=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)设M2sinx2cos4xdx,N2(sin3xcos4x)dx,P2(x2sin3xcos4x)dx,则有21x22(A)(C)NPMNMP(B)(D)MPNPMN二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)、fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,且级数an2收敛,则级数(1)nann1n1n2(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(4)atanxb(1cosx)2,其中a2c20,则必有lim2x0cln(12x)d(1ex)(A)(C)4da4c(B)(D)b4da4c(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组(A)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关(B)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关(C)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关(D)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)xcos(t2)dyd2y的值.tcos(t2)2设yt1cosudu,求dx、dx2在t212u(2)将函数f(x)1ln1x1arctanxx展开成x的幂级数.41x2(3)求dx.sin(2x)2sinx四、(本题满分6分)计算曲面积分xdydzz2dxdy,其中S是由曲面x2y2R2及Sx2y2z2R,zR(R0)两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设f(x)具有二阶连续函数,f(0)0,f(0)1,且[xy(xy)f(x)y]dx[f(x)x2y]dy0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设f(x)在点x0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limf(x)0,x0x证明级数f(1)绝对收敛.n1n七、（本题满分6分）已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z0,z1所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为x1x20,x2x40又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)k2(1,2,2,1).求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当A*A时,证明A0.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)P(AB),且P(A)p,则P(B)=____________.(2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为01则随机变量Zmax{X,Y}的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数xy1,设ZXY,232求Z的数学期望EZ和DZ方差.(2)求X与Z的相关系数xz.问X与Y是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2=_____________.lim(13x)sinxx0(2)d0xcost2dt=_____________.2dxx(3)设(ab)gc2,则[(ab)(bc)]g(ca)=_____________.(4)幂级数nnnx2n1的收敛半径R=_____________.n12(3)1003(5)设三阶方阵1BA6ABA,且A010,则A,B满足关系式A40017=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线L:x3y2z10,及平面:4x2yz20,则直2xy10z30线L(A)平行于(B)在上(C)垂直于(D)与斜交(2)设在[0,1]上f(x)0,则f(0),f(1),f(1)f(0)或f(0)f(1)的大小顺序是(A)(B)f(1)f(0)f(1)f(0)f(1)f(1)f(0)f(0)(C)f(1)f(0)f(1)f(0)(D)f(1)f(0)f(1)f(0)(3)设f(x)可导,F(x)f(x)(1sinx),则f(0)0是F(x)在x0处可导的(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设un(1)nln(11),则级数(A)与unn(B)un与unun都收敛都发散22n1n1n1n1(C)un收敛,而un2发散(D)un收敛,而un2发n1n1n1n1散设a11a12a13a11a12a13010100Aa21a22a23,Ba21a22a23,P1100,P2010,则必有a31a32a33a31a32a33001101(A)AP1P2=B(B)AP2P1=B(C)P1P2A=B(D)P2P1A=B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设uf(x,y,z),(x2,ey,z)0,ysinx,其中f,都具有一阶连续偏导数,且0.求du.zdx(2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设1A,求f(x)dx011dxf(x)f(y)dy.0x四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分zdS,其中为锥面zx2y2在柱体x2y22x内的部分.(2)将函数f(x)x1(0x2)展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知MAOA,且L过点(3,3),求L的方程.22六、(本题满分8分)设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分2xydxQ(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有L(t,1)Q(x,y)dy(1,t)Q(x,y)dy,求Q(x,y).2xydx2xydx(0,0)(0,0)七、（本题满分8分）假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g(x)0,f(a)f(b)g(a)g(b)0,试证:(1)在开区间(a,b)内g(x)0.在开区间(a,b)内至少存在一点,使f()f().g()g()八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为11,231,对应于1的特征0向量为ξ1,求A.11九、（本题满分6分）设A为n阶矩阵,满足AAI(I是n阶单位矩阵,A是A的转置矩阵),A0,求AI.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E(X2)=____________.(2)设X和Y为两个随机变量,且则P{max(X,Y)0}____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度为fX(x)exx0,0x0求随机变量YeX的概率密度fY(y).1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设lim(x2a)x8,则a=_____________.xxa(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),且与平面4xy2z8垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程y2y2yex的通解为_____________.(4)函数uln(xy2z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,2,2)方向的方向导数为_____________.102(5)设A是43矩阵,且A的秩r(A)2,而B020,则103r(AB)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知(xay)dxydy为某函数的全微分,a则等于(xy)2(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设f(x)具有二阶连续导数,且f(0)0,limf(x)1,则x0x(A)f(0)是f(x)的极大值(B)f(0)是f(x)的极小值(C)(0,f(0))是曲线yf(x)的拐点(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线yf(x)的拐点(3)设an0(n1,2,L),且an收敛,常数(0,),则级数n12(1)n)a2n(ntann1n(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与有关(4)设有f(x)连续的导数,f(0)0,f(0)0,F(x)x2)f(t)dt,且(x2t0当x0时,F(x)与xk是同阶无穷小,则k等于(A)1(B)2(C)3(D)4a100b1(5)四阶行列式0a2b20的值等于0a3b30b400a4(A)a1a2a3a4b1b2b3b4(B)a1a2a3a4b1b2b3b4(C)(a1a2b1b2)(a3a4b3b4)(D)(a2a3b2b3)(a1a4b1b4)三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线ra(1cos)的全长,其中a0是常数.(2)设x110,xn16xn(n1,2,L),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2xz)dydzzdxdy,其中S为有向曲面Szx2y2(0x1),其法向量与z轴正向的夹角为锐角.(2)设变换ux2yvxay求常数a.2z2z2z2z0,可把方程6xyy20简化为vx2u五、(本题满分7分)求级数21的和.nn1(n1)2六、(本题满分7分)设对任意x0,曲线yf(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1xf(t)dt,求f(x)的一般表达式.x0七、（本题满分8分）设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)a,f(x)b,其中ba,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.证明f(c)2a.2八、（本题满分6分）设AT其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量TIξξ,,ξ是ξ的转置.证明(1)A2A的充分条件是Tξξ1.当T1时是不可逆矩阵.,A九、（本题满分8分）已知二次型f(x1,x2,x3)5x125x22cx322x1x26x1x36x2x3的秩为2,求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.指出方程f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.设,是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(1)2)的随机变2量,则随机变量的数学期望E()=____________.十一、（本题满分6分）设,是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布率为P(i)1,i1,2,3.3又设Xmax(,),Ymin(,).写出二维随机变量的分布率:123123(2)求随机变量X的数学期望E(X).1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)3sinxx2cos1limx=_____________.x0(1cosx)ln(1x)(2)设幂级数anxn的收敛半径为3,则幂级数nan(x1)n1的收敛n1n1区间为_____________.(3)对数螺线e在点(,)(e2,)处切线的直角坐标方程为2_____________.122(4)设A4t3,B为三阶非零矩阵,且ABO,则311=_____________.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)xy(0,0),在点(0,0)处(1)二元函数f(x,y)x2y2(x,y)0(x,y)(0,0)(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[a,b]上f(x)0,f(x)0,f(x)0.令则S1S2S3(C)S3S1S2(3)设F(x)x2esintsintdt,则F(x)x为正常数恒为零S2S1S3S2S3S1(B)为负常数不为常数a1b1c1(4)设α1a2,α2b2,α3c2,则三条直线a3b3c3(其中ai2bi20,i1,2,3)交于一点的充要条件是(A)α,α,α线性相关(B)α,α,α线性无关123123(C)秩r(ααα)秩r(αα)(D)αα,α线性相关,αα1,2,31,21,231,2线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X2Y的方差是(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算I(x2y2)dv,其中为平面曲线2y2z绕z轴旋转一x0周所成的曲面与平面z8所围成的区域.(2)计算曲线积分?(zy)dx(xz)dy(xy)dz,其中c是曲线cx2y21从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针的.xyz2(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k0,求x(t).四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线l:xyb0在平面上,而平面与曲面zx2y2xayz30相切于点(1,2,5),求a,b之值.(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而zf(exsiny)满足方程2z2z2xz,求f(u).x2y2e五、(本题满分6分)设f(x)连续,(x)1f(xt)dt,且limf(x)A(A为常数),求(x)并讨0x0x论(x)在x0处的连续性.六、(本题满分8分)设a10,an111)(n1,2,L),证明(anan2(1)liman存在.x(2)级数(an1)收敛.n1an1七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)设B是秩为2的54矩阵12[3[5,1,8,9]T是齐次线性方程组Bx0的,α[1,1,2,3]T,α1,1,4,1]T,α解向量,求Bx0的解空间的一个标准正交基.(2)已知ξ12121是矩阵A5a3的一个特征向量.11b2试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值.问A能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.证明B可逆.求AB1.九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.设X为途中遇到红灯5的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X的概率密度为其中1是未知参数,X1,X2,L,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)lim1x1x2=_____________.x0x2(2)设z1f(xy)y(xy),f,具有二阶连续导数,则x2=_____________.y(3)设l为椭圆x2y21,其周长记为a,则43?(2xy3x24y2)ds=_____________.L设A为n阶矩阵,A0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则(A*)2E必有特征值_____________.(5)设平面区域D由曲线y1及直线y0,x1,xe2所围成,二维随x机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x2处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)连续,则dx2t2)dt=tf(xdx0(A)(C)xf(x2)(B)xf(x2)2xf(x2)(D)2xf(x2)(2)函数f(x)(x2x2)x3x不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数yy(x)在任意点x处的增量yyx,且当x0x21时,是x的高阶无穷小,y(0),则y(1)等于(A)2(B)(C)e4(D)e4设矩阵a1b1c1a2b2c2是满秩的,则直线xa3yb3zc3与直线a3b3c3a1a2b1b2c1c2xa1yb1zc1a2a3b2b3c2c3(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设A,B是两个随机事件,且0P(A)1,P(B)0,P(B|A)P(B|A),则必有(A)(C)P(A|B)P(A|B)P(AB)P(A)P(B)(B)(D)P(A|B)P(A|B)P(AB)P(A)P(B)三、(本题满分5分)求直线l:x1yz1在平面:xy2z10上的投影直线l0的111方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,使在右半平面x0上的向量A(x,y)2xy(x4y2)ix2(x4y2)j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式yy(v).六、(本题满分7分)计算axdydz(za)2dxdy,其中为下半平面za2x2y2的上(x2y2z2)12侧,a为大于零的常数.七、(本题满分6分)sinsin2sin求limnnnL.x111nnn2八、（本题满分5分）设正向数列{an}单调减少,且(1)nann1发散,试问级数(1)n是n1an1否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设yf(x)是区间[0,1