1999年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学二试题详解及评析
一、填空题
(1) 曲线
在点
处的法线方程为 .
【答】
【详解】 根据参数方程的求导公式,有
与
对应
,
故
,从而在点
处的法线的斜率为-2,法线方程为
即
(2)设函数
由方程
确定,则
.
【答】 1.
【详解】 方程两边同时对
求导,视
为
的函数,得
由原方程知,
时
,代入上式,得
(3)
.
【答】
【详解】
(4)函数
在区间
上平均值为 .
【答】
【详解】 函数
在区间
上平均值为
(5)微分方程
得通解为 .
【答】
.
【详解】 特征方程为:
解得
故
的通解为
由于非齐次项为
,
为特征方程的单根,
因此原方程的特解可设为
,代入原方程,得
故所求通解为
二、选择题
(1)设
其中
是有界函数,则
在
处
(A)极限不存在.
(B)极限存在,但不连续
(C)连续,但不可导
(D)可导.
【 】
【答】 应选(D)
【详解】 因为
可见,
在
处左、右导数相等,因此,
在
处可导,
故正确选项为(D).
(2)设
则当
时,
是
的
(A)高阶无穷小;
(B)低阶无穷小;
(C)同阶但不等价的无穷小;
(D)等价无穷小.
【 】
【答】 应选(C)
【详解】 因为
故
是
的同阶但不等价的无穷小.
因此正确选项为(C).
(3)设
是连续函数,
是其原函数,则
(A) 当
是奇函数时,
必是偶函数.
(B) 当
是偶函数时,
必是奇函数.
(C) 当
是周期函数时,
必是周期函数.
(D) 当
是单调增函数时,
必是单调增函数.
【 】
【答】 应选(A)
【详解】
的原函数
可以表示为
于是
当
为奇函数时,
,从而有
即
为偶函数.
故(A)为正确选项.至于(B)、(C)、(D)可分别举反例如下:
是偶函数,但其原函数
不是奇函数,可排除(B);
是周期函数,但其原函数
不是周期函数,可排除(C);
在区间
内是单调增函数,但其原函数
在区间
内非单调增函数,可排除(D).
(4)“对任意给定的
,总存在正整数
当
时,恒有
”是数列
收敛于
的
(A)充分条件但非必要条件;
(B)必要条件但非充分条件;
(C)充分必要条件;
(D)既非充分条件又非必要条件;
【 】
【答】 应选(C)
【详解】 由数列
收敛于
“对任意给定的
,总存在正整数
当
时,恒有
”,显然可推导处:“对任意给定的
,总存在正整数
当
时,恒有
”
反过来,若有“对任意给定的
,总存在正整数
当
时,恒有
”
则对任意的
(不访设
,当时,取一
代替即可),取
,存在正整数
当
时,恒有,令
,则满足“对任意给定的
,总存在正整数
当
时,恒有
可见上述两种说法是等价的,因此正确选项为(C)
(5)记行列式
为
,则方程
的根的个数为
(A)1. (B)2 (C)3. (D)4
【 】
【答】 应选(B)
【详解】 因为
=
三、求
【详解】
原式=
四、计算
【详解】 方法一:
原式=
方法二:
作变换
则
原式=
五、求初值问题
的解
【详解】 原方程可化为
令
上述方程可化为
分离变量,得
解得
将
代回,得
将
代入,得
故初值问题得解为
即
化简得
六、为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,已知井深30m,抓斗自重400
缆绳每米重500
,抓斗抓起的污泥重2000
,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20
的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:①
EMBED Equation.DSMT4 分别表示米,牛顿,秒,焦耳;②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计)
【详解1】
建立坐标轴如图所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功
其中
是克服抓斗自重所作的功;
是克服缆绳重力作的功;
为提出污泥所作的功.由题意知
将抓斗由
处提升到
处,克服缆绳重力所作的功为
从而
在时间间隔
内提升污泥需作功为
将污泥从井底提升至井口共需时间
,所以
因此,共需作功
【详解2】
作
轴如图所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为
,当抓斗运动到
处时,作用力
包括抓斗的自重400
缆绳的重力
,污泥的重力
,即
于是
七、已知函数
求
(1) 函数的增减区间及极值;
(2) 函数图形的凹凸区间及拐点;
(3) 函数图形的渐进线.
【详解】所给函数的定义域为
令
,得驻点
及
令
0,得
列表讨论如下:
0
3
+
0
+
-
0
+
-
0
+
+
+
+
拐点
极小值
由此可知:
(1)函数的单调增加区间为
和
;单调减少区间为
,
极小值为
(2)函数图形在区间
内是(向上)凸的,
在区间
,内是(向上)凹的,拐点为
(3)由
知
是函数图形的铅直渐进线;
由
又
故
是函数图形的斜渐近线.
八、设函数
在闭区间
上具有三阶连续导数,且
证明:在开区间
内至少存在一点
使
【详解】方法一:
在
处,将
按泰勒公式展开,得
其中
介于
与
之间,
分别令
和
,并结合已知条件,得
两式相减,得
由
的连续性,知
在闭区间
上有最大值和最小值,设它们分别为
,则有
再由连续函数的介值定理知,至少存在一点
,使
方法二:
令
,则
令
则
由罗尔定理,知
使得
又
由罗尔定理,
知
使
再由罗尔定理
,使
而
,
而
所以
九、设函数
二阶可导,且
过曲线
上任意一点
作该曲线的切线及
轴的垂线,上述两直线与
轴所围程的三角形的面积记为
区间
上以
为曲边的曲边梯形面积记为
并设
恒为1,求此曲线
的方程.
【详解】 曲线
上点
处的切线方程为
它与
轴的交点为
由于
,
因此
,于是有
又
根据题设
有
并且
上述两边对
求导并化简得
这是可降阶的二阶常微分方程,
令
,则上述方程化为
分离变量,得
解得
即
从而
根据
EMBED Equation.DSMT4 得
故所求曲线的方程为
十、设
是区间
上单调减少且非负的连续函数,
证明数列
的极限存在.
【详解】 由题设可得
所以有
即数列
单调下降,
又
即数列
有下界.
十一、设矩阵
矩阵
满足
其中
是
的伴随矩阵,求矩阵
【详解】 在已知矩阵等式两边同时左乘
得
利用公式
,上式可化为
即
从而
由于
故
十二、 设向量组
EMBED Equation.DSMT4
(1)
为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量
用
,
,
,
线性表出;
(2)
为何值时,该向量组线详相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
【详解】 由于行列式
可见:
(1)当
时,向量组
线性无关.此时设
对矩阵
作初等行变换:
解得 :
(2)当
时,向量组
线性相关.
此时向量组的秩为3,
(或
)为其一个极大性无关组.
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