实验一 递推法解差分方程

07电信 35号 林烟泉 1. 已知系统的差分方程如下式： y1(n)=0.9y1(n-1)+x(n) 程序编写如下： (1) 输入信号x(n)=R10 (n)，初始条件y1(-1)=1，试用递推法求解输出y1(n)； a=0.9; ys=1; %设差分方程系数a=0.9,初始状态: y(-1)=1 xn=ones(1,10); %矩型序列R10(n)=u(n)-u(n-10)，定义其宽度为0~9 n=1:35; %设差分方程系数a=0.9,初始状态: y(-1)=1 xn=sign(sign(10-n)+1); B=1;A=[1,-a]; %差分方程系数 xi=filtic(B,A,ys); %由初始条件计算等效初始条件输入序列xi yn=filter(B,A,xn,xi); %调用filter解差分方程,求系统输出y(n) n=0:length(yn)-1; subplot(2,1,1);stem(n,yn,'linewidth',2); axis([-5,15,0,8]); grid on title('图(a) y1(n)=0.9y1(n-1)+x(n) 初始条件y1(-1)=1 '); xlabel('n');ylabel('y(n)') (2) 输入信号x(n)=R10 (n)，初始条件y1(-1)=0，试用递推法求解输出y1(n)。 a=0.9; ys=0; %设差分方程系数a=0.9,初始状态: y(-1)=1 xn=ones(1,10); %矩型序列R10(n)=u(n)-u(n-10) B=1;A=[1,-a]; %差分方程系数 xi=filtic(B,A,ys); %由初始条件计算等效初始条件输入序列xi yn=filter(B,A,xn,xi); %调用filter解差分方程,求系统输出y(n) n=0:length(yn)-1; subplot(2,1,2);stem(n,yn, 'linewidth',2); axis([-5,15,0,8]); grid on title('图(b) y1(n)=0.9y1(n-1)+x(n) 初始条件y1(-1)=0 '); xlabel('n');ylabel('y(n)') 图形输出如下： 2. 已知系统差分方程为： y1(n)=0.9y1(n-1)+x(n) 用递推法求解系统的单位脉冲响应h(n)，要求写出h(n)的封闭公式，并打印h(n)~n曲线。解： 用递推法求解y1(n)=0.9y1(n-1)+x(n)系统的单位脉冲响应h(n)，即下x(n)=delta(n)， 其中delta(n)=单位脉冲 y(0)=0.9y(-1)+delta(0)=1+0.9 y(1)=0.9y(0)+delta(1)=(1+0.9)*0.9 y(2)=0.9y(1)+delta(2)=(1+0.9)*0.9^2 y(3)=0.9y(1)+delta(3)=(1+0.9)*0.9^3 ....... .. y(n)=(1+0.9)*0.9^n*u(n) 输入信号x(n)=脉冲序列，此时系统的单位脉冲响应等于输出，即h(n)=y(n)。该例中，y(-1)=0,得到h(n)=y(n)=0.9^n*u(n)。 ∴h(n)的封闭公式为： h(n)=y(n)=0.9^n*u(n) 绘出h(n)~n曲线： h(n)=y(n)=0.9^n*u(n)的Z变换为H(z)=1/(1-0.9z^-1) 收敛域：|a|<|z|<∞ 程序代码编写如下： a=0.9; ys=0; %设差分方程系数a=0.9,初始状态: y(-1)=0 xn=[1,zeros(1,35)]; %x(n)为单位脉冲序列，长度N=36 B=1;A=[1,-a]; %差分方程系数 xi=filtic(B,A,ys); %由初始条件计算等效初始条件输入序列xi yn=filter(B,A,xn,xi); %调用filter解差分方程,求系统输出信y(n) n=0:length(yn)-1; subplot(1,1,1);stem(n,yn, 'linewidth' ,2); grid on title('图(c) h(n)=y(n)=0.9^n*u(n)'); xlabel('n');ylabel('y(n)') h(n)~n的曲线如下图（c）所示： 3. 已知系统的单位脉冲响应h(n)=0.9^n*u(n)，输入信号x(n)=R10 (n)，试用卷积法求解系统输出y(n)，并打印y(n)~n曲线。 解：h(n)=0.9^n*u(n)的Z变换为H(z)=1/(1-0.9z^-1),x(n)=R10(n)的Z变换为X(z)=(1-z^-10)/(1-z^-1)。时域卷积等于频域乘积即Y(z)=H(z)*X(z) 调用conv函数 输入 hn=[1]; xn=[1,-0.9]; yn=conv(hn,xn); 输出y(n)。 ∴得到 y(n)-0.9y(n-1)=x(n), 其中y(n)=(1+0.9)*0.9^n*u(n)。 绘y(n)~n曲线 Matlab程序编写如下： clf; a=0.9; ys=0; %设差分方程系数a=0.9 xn=[u(n)-u(n-10),zeros(1,10)]; %矩型序列R10(n)=u(n)-u(n-10) B=1;A=[1,-a]; %差分方程系数 xi=filtic(B,A,ys); %由初始条件计算等效初始条件输入序列xi yn=filter(B,A,xn,xi); %调用filter解差分方程,求系统输出y(n) n=0:length(yn)-1; subplot(1,1,1);stem(n,yn,'.'); grid on title('图(d) y(n)=(1+0.9)*0.9^n*u(n)'); xlabel('n');ylabel('y(n)');axis([-5,55,-0.5,7]) y(n)~n曲线如图（d）所示： 4．已知差分方程：（实验另外设计） y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)+0.1y(n-3)=x(n)+0.5x(n-1); 要求：画出在n=-10到30的单位脉冲响应h(n)~n曲线。 程序编写如下： b=[1,0.5];a=[1,-1,0.9,0.1];n=[-10:30]; hn=impz(b,a,n); subplot(1,1,1);stem(n,hn,'linewidth',3); grid on title('图(e) ');xlabel('n');ylabel('h(n)'); h(n)~n曲线如图（e）所示： PAGE 4 07电信 35号 林烟泉