GeoGebra中文版(含中文手册和示例)GeoGebra 使用说明

GeoGebra 使用说明 官方版使用说明 3.0 Markus Hohenwarter and Judith Preiner www.geogebra.org , June 2007 GeoGebra 3.0 使用说明 GeoGebra Website: www.geogebra.org Last modified: June 4, 2007 作者 Markus Hohenwarter, mhohen@math.fau.edu Judith Preiner, jpreiner@math.fau.edu 翻译志工 黄福坤， 国立台湾师范大学物理系，hwang@phy.ntnu.edu.tw 罗骥韡 ，台北市立阳明高中数学科，pegasusroe@hotmail.com 陈禾凯， 台北县立锦和高中数学科，jojoba0326@gmail.com 林萤婕，linchuenhui@hotmail.com GeoGebra 说明搜寻 · 在线: GeoGebra Help Search · PDF檔: Press Ctrl + Shift + F in Adobe Acrobat Reader Contents 2翻譯志工 2GeoGebra 說明搜尋 3Contents 71: GeoGebra是什麼？ 82: 範例 82.1 三角形 82.2 線性方程式 y = m x + b 92.3 三點 A, B, C 的重心 92.4 將線段以 7 : 3 的比例分割 101.1 二元一次聯立方程組 102.5 函數的切線 112.6 探討多項式函數 112.7 積分 123: 幾何輸入 123.1 一般須知 123.1.1 滑鼠右鍵功能 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 123.1.2 顯示與隱藏 123.1.3 痕跡 133.1.4 放大縮小繪圖區 133.1.5 座標軸比例 133.1.6 作圖過程 133.1.7 「前進後退」按鈕 143.1.8 重新定義 153.1.9 屬性對話方塊 153.2 模組 163.2.1 一般模組 173.2.2 點 183.2.3 向量 183.2.4 線段 183.2.5 射線 193.2.6 多邊形 193.2.7 直線 203.2.8 圓錐曲線 213.2.9 圓弧與扇形 213.2.10 數值與角度 223.2.11 顯示或隱藏物件群組 233.2.12 軌跡 233.2.13 幾何變換 243.2.14 文字 253.2.15 圖片 253.2.16 圖片的屬性 274: 輸入代數式 274.1 一般須知 274.1.1 改變代表值 274.1.2 動畫 284.2 直接輸入 284.2.1 數值和角度 294.2.2 點和向量 294.2.3 直線 294.2.4 圓錐曲線 304.2.5 函數 314.2.6 物件集合 314.2.7 數學運算 324.2.8 布林變數 334.2.9 布林運算 334.3 指令 334.3.1 一般指令 344.3.2 布林指令 344.3.3 數值指令 364.3.4 角度 374.3.5 點 384.3.6 向量 394.3.7 線段 394.3.8 射線 404.3.9 多邊形 404.3.10 直線 414.3.11 圓錐曲線 424.3.12 函數 434.3.13 參數曲線 434.3.14 圓弧和扇形 444.3.15 圖片 444.3.16 軌跡 454.3.17 序列 454.3.18 幾何轉換 485: 列印和輸出 485.1 列印 485.1.1 繪圖區 485.1.2 作圖過程 485.2 繪圖區以圖檔輸出 495.3 繪圖區複製到剪貼簿 505.4 作圖過程以網頁輸出 505.5 動態工作底稿以網頁輸出 526: 選項 526.1 點的吸附功能 526.2 角度單位 526.3 小數位數 526.4 連續性 526.5 點的類型 526.6 直角的類型 536.7 座標軸 536.8 標籤 536.9 字體大小 536.10 語言 536.11 繪圖區 536.12 儲存設定 547: 工具與工具列 547.1 使用者自訂工具 547.2 自訂工具列 568: JavaScript 介面 1: GeoGebra是什么？ GeoGebra 是一套结合几何、代数和微积分的数学软件, 由任教于 Florida Atlantic 大学的 Markus Hohenwarter 为学校数学教育所研发的。 从一方面来看, GeoGebra 是一套动态的几何系统, 您可用点、向量、线段、直线、圆锥曲线等工具来绘图, 当您改变图形时, 所对应的函数或方程式也随之改变。 另一方面来看, 您可以直接输入方程式和坐标。GeoGebra可以进行数字、向量、点坐标的运算, 并可求出函数的微分及积分, 还有 Root、Extremum 等指令 , 可用来算方程式的根及函数的极值。这种可以直接做代数运算的能力, 俨然使 GeoGebra 成为处理几何图形的计算机代数系统。 综合以上两个观点，所以GeoGebra外观上具有两个特征：第一是窗口左边的「代数区」（亦称为「代数窗口」），其中包含了所有几何图形的代数表示法；第二是窗口右边的「绘图区」（亦称为「几何区」或「几何窗口」），这里是真正显示所有几何图形的地方。 2: 范例 想大致了解 GeoGebra 的用途, 可从以下的范例中窥知。 2.1 三角形 首先, 在工具列中选择模块 新點 ，并在绘图区中按三次作出三角形的三个顶点 A、B、C 。 然后, 选择模块 多邊形 , 并按下点A、B、C , 再次按下点 A 围出三角形 poly1 , 三角形的面积即显示在代数窗口中。 欲得知三角形的所有角度, 可于工具列中选择模块 测量角度 ，然后按一下三角形。 现在选择模块 移動 , 并拖曳顶点来调整三角形。如您不需要代数窗口及坐标轴，可用「检视」菜单来隐藏之。 2.2 线性方程式 y = m x + b 我们可尝试以不同的值代入 m 和 b , 来看看 m 和 b 在等式y = mx + b 中所代表的不同意义。我们可以在屏幕底端的指令列中输入以下的直线(在每一行的最后按下 Enter键 )。 m = 1 b = 2 y = m x + b 现在我们可以在指令列中改变 m 和 b ，或直接在代数窗口中的一个数按鼠标右键(Mac操作系统: Apple + click)，并选择 重新定义，试试代入以下m 和 b 的值。 m = 2 m = -3 b = 0 b = -1 相同地, 您可用以下方式轻易地改变m 和 b 的值 · 方向键 (详见 動畫 ) · 滑杆: 对m 和 b 按鼠标右键 (Mac操作系统: Apple + click) 并选择 显示 / 隐藏对象 (参考模块 滑杆 ) 同样的方式, 我们也可检验圆锥曲线的方程式, 例如 · 椭圆: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 · 双曲线: b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2 或 · 圆: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2 2.3 三点 A, B, C 的重心 我们现在来作三点的重心, 在指令列中输入以下直线，并在每一行的最后按下Enter键。当然您也可以用工具列中的相关模块(见 模組 ) 以鼠标来作图。 A = (-2, 1) B = (5, 0) C = (0, 5) M_a = Midpoint[B, C] M_b = Midpoint[A, C] s_a = Line[A, M_a] s_b = Line[B, M_b] S = Intersect[s_a, s_b] 另外, 我们可直接算出重心为 S1 = (A + B + C) / 3 ，并用指令Relation[S, S1] 来比较所产生的结果。 接着我们再测试当 A、B、C 在其它位置时, S = S1 是否亦为真。我们用鼠标点选模 移動 模块, 并拖动点。 2.4 将线段以 7 : 3 的比例分割 正如 GeoGebra 可让我们计算向量, 这也一样地简单容易。将下列几行输入指令列中并在每行最后按下Enter键 。 A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Segment[A, B] T = A + 7/10 (B - A) 也可换成另一种方式 A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Segment[A, B] v = Vector[A, B] T = A + 7/10 v 下一步我们将引入数值t，例如：使用 滑杆并重新定义点T 为 T = A + t v (详见  重新定义 )，改变t时您会看见点T 沿着一直线移动，此直线可用参数式输入(参见直线 ): g: X = T + s v。 1.1 二元一次联立方程组 以x和y为变量的二元一次联立方程式可解释为两条直线，代数的解为此两条直线的交点，只要将下列几行输入指令列中并在每行最后按下Enter键 。 g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8 S = Intersect[g, h] 您可对着它们按鼠标右键 (Mac操作系统: Apple + click) 并选择 重新定义 来修改方程式，您可用 移动 用鼠标拖动这些直线或用 转动 以一点为中心旋转直线。 2.5 函数的切线 GeoGebra 提供一指令来做函数f(x) 在x=a 的切线，将下列几行输入指令列中并在每行最后按下输入键 。 a = 3 f(x) = 2 sin(x) t = Tangent[a, f] 沿图形f 的切线斜率来描绘(参见 動畫 ) 方程式 f 图形的切线斜率。 另一种方法可求出方程式f 在特定点T的切线。 a = 3 f(x) = 2 sin(x) T = (a, f(a)) t: X = T + s (1, f'(a)) 由此可知点T在 f 图形上，其中切线t是以参数式表示。 您也可以几何方式做出函数的切线： 選擇模組 HYPERLINK \l "modeNew_point" 新点 HYPERLINK \l "modeNew_point" 並按下函數f 的圖形以得到新的點A 並落在函數f 的图形上。 选择模块 切线 并连续按下函数f 和点A。 现在, 选择模块 移动 并用鼠标沿着函数来拖曳点 A, 您会发现切线亦随之改变。 2.6 探讨多项式函数 您可用GeoGebra 来探讨多项式函数的根、极值、和反曲点。在指令列中输入下列几行并在每行的最后按下Enter键。 f(x) = x^3 - 3 x^2 + 1 R = Root[f] E = Extremum[f] I = InflectionPoint[f] 在模块 移動 下, 您可用鼠标来拖曳函数f , 在此情况中, 前两个函数 f 的微分值便很耐人寻味。您可透过在指令列中输入下列指令，并在每行的最后按下Enter键。 Derivative[f] Derivative[f, 2] 2.7 积分 介绍积分时, GeoGebra用矩形来呈现函数的上、下积分和。在指令列中输入下列几行并在每行的最后按下Enter键。 f(x) = x^2/4 + 2 a = 0 b = 2 n = 5 L = LowerSum[f, a, b, n] U = UpperSum[f, a, b, n] 透过修改a、b 或n (详见 滑杆動畫 ; 详见模块 ), 您可看见这些参数对上和和下和的影响。如果要改变 n 的递增值为1，您可对数值 n 按下鼠标右键 (Mac操作系统: Apple + click) 并选择 属性。 有限积分可使用指令Integral[f, a, b]来呈现，其中不定积分F是以F = Integral[f]作出。 3: 几何输入 在本章我们将说明如何在GeoGebra中使用鼠标新增或修改对象。 3.1 一般须知 几何窗口中(右方) 显示点、向量、线段、多边形、函数、直线及圆锥曲线的图形, 当鼠标移到一对象的上方就会出现该对象的说明。 注:有时几何窗口亦可称为绘图区。 有几种模块可以告诉GeoGebra 如何在几何窗口中输入对象(参考 圓 模块)。交點 ), 或新增一圆(参见 新點 )，相交的对象(参见模块 模組 )。例如：按下绘图区可新增一点，(参见模块 注: 在代数窗口中对物体按两下鼠标以编辑属性。 3.1.1 鼠标右键菜单 XE "context menu" 对着对象按鼠标右键会出现「鼠标右键菜单」, 例如：您可选择点坐标的表现方式(极坐标或直角坐标)、方程式的表现方式( 显函数或隐函数 )，当然也有其它指令, 例如：重新命名、重新定义 或 删除。 在「鼠标右键菜单」中选择「属性」, 您可改变一些像是对象的颜色、大小、线宽、线的式样、质地等。 3.1.2 显示与隐藏 XE "show" 几何对象可被显示或隐藏，使用 滑鼠右鍵功能表 来改变其状态。小图示( “隐藏” “显示”)让我们得知代数窗口中的每一对象最新的显示状态。顯示 HYPERLINK \l "modeShowHideObject" HYPERLINK \l "modeShowHideObject" HYPERLINK \l "modeShowHideObject" / HYPERLINK \l "modeShowHideObject" HYPERLINK \l "modeShowHideObject" HYPERLINK \l "modeShowHideObject" 隱藏物件 或 注: 您亦可使用模块 顯 HYPERLINK \l "modeShowHideCheckbox" HYPERLINK \l "modeShowHideCheckbox" HYPERLINK \l "modeShowHideCheckbox" 示或隱藏物件 HYPERLINK \l "modeShowHideCheckbox" HYPERLINK \l "modeShowHideCheckbox" HYPERLINK \l "modeShowHideCheckbox" HYPERLINK \l "modeShowHideCheckbox" HYPERLINK \l "modeShowHideCheckbox" HYPERLINK \l "modeShowHideCheckbox" 群組 来 显示 / 隐藏 一个或多个对象。 3.1.3 痕迹 XE "trace" 我们可以设定让几何对象在移动时留下痕迹, 您可使用 滑鼠右鍵功能表 来开/关痕迹的显示与否。 注: 如果您不要这些痕迹，您可以点选 检视 菜单中的「清除所有痕迹」。 3.1.4 放大缩小绘图区 XE "zoom" 在绘图区按鼠标右键后(Mac操作系统: Apple + click), 即出现让您可以放大(亦参见模块縮小 )绘图区的菜单。放大 )或缩小(亦参见模块 注: 在绘图区按鼠标右键(Mac操作系统: Apple + click) 并拖曳鼠标，可直接放大绘图区到你指定的大小。 3.1.5 坐标轴比例 XE "axes:ratio" 在绘图工作区按鼠标右键(Mac操作系统: Apple + click) ，并选择属性 · 改变 x-轴 与 y-轴 间的比例 · 各别 隐藏 / 显示 坐标轴 · 修改坐标轴的样式 (例如：线宽、颜色、线的类型) 3.1.6 作图过程 XE "construction protocol" 「检视」菜单中的「作图过程」可显示所有作图的步骤，在此窗口内，您可利用下方的「前进后退」按钮一步一步地观察整个作图过程。 甚至也可以插入并改变步骤顺序，细节请详见作图过程的说明。 注: 在「作图过程」窗口中的「检视 」菜单中，利用「暂停点」字段，您可将一些特定的作图步骤设定为「暂停点」。当您使用「前进后退」按钮观察作图过程时，它会从前一个暂停点直接跳到下一个暂停点，而省略中间的作图过程。 3.1.7 「前進後退」按鈕 XE "navigation bar" GeoGebra 提供「前进后退」按钮，让你可以一步一步播放作图过程。请在「检视」菜单中选择「显示前进后退按钮」 以显示这些按钮。 3.1.8 重新定义 XE "line:convert to segment, redefine" 您可使用对象的移動 ，并在代数窗口中的自变对象上按两下鼠标，开启 重新定义 的对话框。滑鼠右鍵功能表 来 重新定义 对象，如果你在作图后才想到要改变某些对象的定义时，这个功能非常有用，您亦可选择 范例: 欲将一自由点A 放到一直线 h 上，选择对点A 重新定义，并在出现的对话框指令列中输入 Point[h] 。欲将点A 从直线 h 上移除而再变回自由点，可重新将点A定义为自由坐标。 另一个范例是将通过两点 A，B的直线 h 转换为线段。 选择 重新定义 并在显示的对话框中字段中输入Segment[A, B]，反之亦然。 重新定义对象是改变作图时很实用的一种工具，请注意这样很可能会在 作圖過程 中改变作图步骤的顺序。 3.1.9 属性对话框 XE "properties:dialog" 属性对话框可供您修改对象的属性 (例如：颜色、线的样式)，您可对着对象按鼠标右键 (Mac操作系统: Apple + click) 打开对话框并选择 属性，或在 编辑 菜单中选择 属性。 对象在属性对话框中以类型分类 （例如：点、直线、圆），方便处理许多的对象。您可在右边页签中修改选取对象的属性，完成修改后按下 关闭属性对话窗。 3.2 模块 XE "modes" 下列的模块可由工具列或 几何菜单 来启动, 按下工具按钮右下角的小箭头，你会看到其它模块工具。 注：在所有的作图模块中,只要 您在绘图区上按鼠标一下，都会自动产生新的点。 点选物件 点选 对象就是 对着对象按下鼠标。 对象快速更名 欲变更选取对象或新增对象的名称，只需开启此对象 重新命名 的对话框并输入名称。 3.2.1 一般模块 XE "general modes:mode" 移动 XE "move:mode" 您可利用此模块以鼠标来拖曳自变对象，若您选取对象并按下 移动 模块，您可以 · 按下Del 鍵來刪除之 · 使用方向鍵來移動之(参见 動畫 ) 注: 按下 Esc 键亦可启动 移动 模块。 按住 Ctrl 键您可同时选取数个对象。 另一种同时选取数个对象的方式，是按住鼠标左键以指定选取的矩形区，您可用鼠标拖曳其中某个对象来移动整个被选取的对象群组。 选取的矩形区亦可用来指定要打印、输出图文件、或输出动态网页的部分(参见 列印與輸出 )。 转动 XE "rotate:around point, mode" 首先选取旋转的中心点，然后您可以此点为中心，用鼠标拖曳自变对象来转动它。 对象关系 XE "relation:mode" 点选两对象以得知其关系(亦参见指令 Relation ) 移动绘图区 XE "move:drawing pad, mode" 以鼠标拖曳绘图区来移动坐标系统的原点。 注: 您亦可按Shift键 移动绘图区(PC: Ctrl 键也可以) 并以鼠标拖曳。 您亦可以此模块拖曳坐标轴，来改变坐标轴的刻度比例。 注: 您也可使用其它模块改变坐标轴的刻度比例，只要你拖曳坐标轴时，一面按住Shift键(PC: Ctrl 键也可以) 不放即可。 放大 XE "zoom:in, mode" 在绘图区中任意处按下鼠标以拉近检窗口 (亦参见 放大縮小 )。 缩小 XE "zoom:out mode" 在绘图区中任意处按下鼠标以拉远检窗口 (亦参见 放大縮小 )。 显示或隐藏对象 XE "show / hide:object, mode" 对着对象按一下以显示或隐藏之。 注: 请先点选要切换隐藏状态的对象，一旦您转换到工具列其它任何模块时，您所作的修改就会被套用。 显示或隐藏卷标 XE "show / hide:label, mode" 按下对象以显示或隐藏其卷标。 复制格式 XE "copy visual style:mode" 此模块可让您由一对象复制其样式 (例如：颜色、大小、线的样式) 到数个其它的对象。首先选取您想复制其样式的对象，然后再点选其它对象。 删除对象 XE "delete:object, mode" 按下任意您欲删除的对象。 3.2.2 点 新点 XE "new point:mode" 按下绘图区以新增点。 按下一线段、直线、多边形、圆锥曲线、函数、或曲线，您便在这些对象上新增一点(亦参见指令 Intersect )。Point )。按下两对象的相交处便新增此交点 (亦参见指令 交点 XE "intersect:two objects, mode" 两对象的交点可由两种方式产生，若…. · 點選兩物件: (盡可能) 產生所有交點。 · 按下兩物件的交點: 只產生此一交點。. 对于线段、射线、或弧，您可指定是否要落在外部的交点 (详见 屬性對話方塊 ).，这可用于作出落在某对象的延伸处的交点，例如：线段或射线的延伸就是一条直线。 中心 XE "midpoint:mode" 按下 ... · 两点以找出其中点 · 一线段以找出其中点 · 一圆锥曲线以找出其中心 3.2.3 向量 向量 XE "vector:between two points, mode" 点选向量的起点和终点。 向量 XE "vector:from point, mode" 点选点 A 及一向量 v 以作出点 B = A + v ，可以做出从 A 到 B的向量。 3.2.4 线段 线段 (过两点) XE "segment:between two points, mode" 点选两点A 和B, 并调整线段 AB 长度, 即可在代数窗口中显示线段。 线段 (指定起点与长度) XE "segment:with given length from point, mode" 按下线段的起点A ，在出现的窗口中指定想要的长度。 注: 此模块作出长度 a 且端点 B 的线段，并可以模块 移動 沿着起点 A 而旋转。 3.2.5 射线 射线 (过两点) XE "ray:through two points, mode" 点选两点 A 和 B , 作出起点从 A 到 B 的射线, 在代数窗口中您即可看到相关直线的方程式。 3.2.6 多边形 多边形 XE "polygon:mode" 标出至少三个点当作多边形的顶点，然后再按下第一个点以围成一多边形, 在代数窗口中您可看见多边形的面积 正多边形 XE "regular polygon:mode" 点选两点 A 和 B 并在出现的对话框中输入一整数n , 您即得到一个有n个顶点的正多边形（包括点A 和 B ）。 3.2.7 直线 直线 (过两点) XE "line:through two points, mode" 点选两点 A 和 B, 并调整此线使其通过 A 和B 点, 此线的方向向量即为 (B-A)。 并行线 XE "parallel line:mode" 点选出一直线 g 和一点 A , 可画出一直线通过 A 且平行于 g, 此线的方向向量即为直线 g 的方向向量。 垂直线 XE "perpendicular:line, mode" 点选出一线 g 和一点 A , 产生一直线通过 A 且垂直于 g, 此线的方向向量即等于 g 之法向量 (亦参见指令 PerpendicularVector )。 中垂线 XE "line:bisector, mode" 中垂线指的是通过一线段 s 或两点 A 和 B 的中点并垂直于此线段的直线, 此线的方向即等于线段 s 或 AB 的法向量(亦参见指令 PerpendicularVector ) 。 角平分線 XE "angular bisector:mode" 有两种方式可定义角平分线： · 點選出三點A, B, C , 並作出此三點圍成之角的角平分線, 其中B 為頂點。 · 點選出兩條線, 並作出其兩角平分線。 注: 所有的角平分线的方向向量长度都为1。 切線 一圆锥曲线的切线可由两种方式产生: · 點選出一點 A 及一圓錐曲線 c , 並作出通過 A 且切於 c 的所有切線。 · 點選出一線 g 及一圓錐曲線 c , 並作出平行於 g 且切於 c 的所有切線。 点选出一点 A 及一函数 f , 可作出 f 在 x=x(A) 的切线(A点可以不用在函数图形上)。 极线或径线 XE "polar or diameter line:mode" 此模块作出一圆锥曲线的极线或径线，您可用： · 點選一點及一圓錐曲線以作出极线。 · 點選直線或一向量及一圓錐曲線以作出径线。 3.2.8 圆锥曲线 圆(指定圆心与一点) XE "circle:with center through point, mode" 点选出一点 M 和一点 P , 可画出一圆心为 M 且通过点 P 的圆，此圆的半径即为 MP 的距离。 圆(指定圆心与半径) XE "circle:with center and radius, mode" 点选圆心后，在出现的窗口中输入半径。 圆(过三点) XE "circle:through three points, mode" 点选出三点A, B, C , 可画出通过此三点的圆。若这三点落在一直在线, 此圆即退化为直线。 圓錐曲線(過五點) XE "conic:through 5 points, mode" 点选五个点, 作出通过此五点的圆锥曲线。若无其中四点或五点呈一直线时, 即可定义出一圆锥曲线。 3.2.9 圆弧与扇形 注: 圆弧的代数值即为其长度，扇形的代数值为其面积。 半圆 XE "semicircle:mode" 点选两点 A 和 B, 在线段AB 上作出一个半圆。 圆弧 (指定圆心与两点) XE "circular arc:with center through two points, mode" 点选三点M, A 和 B ，作出圆心为M, 起点为 A 终点为 B 的圆弧。 注: 点 B 可以在圆弧外。 扇形 (指定圆心与两点) XE "circular sector:with center through two points, mode" 点选三点M, A 和 B ，作出圆心为M, 起点为 A 终点为 B 的扇形。 注: 点 B 可以落在扇形外。 圆弧 (过三点) XE "circumcircular arc:through three points, mode" 点选三点作出通过此三点的圆弧。 扇形 (过三点) XE "circumcircular sector:through three points, mode" 点选三点作出通过此三点的扇形。 3.2.10 数值与角度 测量距离 XE "distance:mode" 此模块可测量出两点、两直线、或一点与一直线间的距离，亦可求出线段的长度及圆周。 面积 XE "area:mode" 此模块可求出多边形、圆、或椭圆的面积，并显示于几何窗口中。 斜率 XE "slope:mode" 此模块可求出直线的斜率，并显示于几何窗口中。 滑杆 XE "slider:mode" 注: 在 GeoGebra 中滑杆只是一种数值或角度的图示法。 按下绘图区的任意位置作出一数值或角度的滑杆，在它的属性窗口中，您可以指定其名称、数值或角度的范围区间[极小值, 极大值]，以及滑杆的宽度 (以点画素为单位)。 注: 您可为任意数值或角度作出滑杆 (参见 顯示 / 隱藏物件 ). 滑鼠右鍵功能表 ; 参见模块 滑杆的位置可为屏幕的绝对位置或相对于坐标轴(参见 数值或角度的屬性 )。 角度 此模块可作出 … · 三点间的角度 · 两线段间的角度 · 两直线间的角度 · 两向量间的角度 · 多边形的所有内角 所有的角度范围都限于0 到 180°，但你可以在角度的屬性對話方塊 中设定允许优角（大于180°的角）。 指定角 XE "angle:with given size, mode" 点选两点 A、 B ，并于对话框中输入角度的大小，此模块作出点C 及角度α, 其中 α为角ABC。 3.2.11 显示或隐藏对象群组 显示或隐藏对象群组 XE "checkbox: to show / hide objects" 在绘图区按一下鼠标，就会作出一个可以显示或隐藏许多对象的核选方块。请您在对话框中指定在此群组内的对象。 3.2.12 轨迹 XE "locus" 轨迹 XE "locus:mode" 请点选一个会随着点 A 而变的点B ，然后点选A，就会画出 B的轨迹。 注: 点 A 应为一线型对象上之一点 (例如： 直线、线段、圆)。 范例: · 在指令列中输入 f(x) = x^2 – 2 x – 1 · 在x-轴上加一个新的点 A (参见模块 Point )新點 ; 参见指令 · 作 B = (x(A), f’(x(A))) · 选择模块 軌跡 ，并依序点选B 和 A · 沿着x-轴拖曳点 A ，请观察点 B 沿着其轨迹线而动的方式 3.2.13 几何变换 下列的几何变换适用于点、直线、圆锥曲线、多边形与图片。 点对称 XE "mirror:object at point, mode" 首先点选要作对称的对象，然后点选对称中心。 线对称 XE "mirror:object at line, mode" 首先点选要作对称的对象，然后点选对称轴。 旋转 XE "rotate:object around point, mode" 首先点选要作旋转的对象，再点选旋转中心，随后您可在对话框中指定旋转角。 平移 XE "translate:object by vector, mode" 首先点选要作平移的对象，然后点选平移向量。 伸缩 XE "dilate:object from point, mode" 首先点选要作缩放的对象，再点选缩放中心，随后您可在对话框中指定缩放倍率。 3.2.14 文字 XE "text" 文字 XE "text:mode" 您可以用此模式在几何窗口中产生静态文字、动态文字、或LATEX 数学式。 · 在绘图区中按一下鼠标，即可新增文字方块。 · 点选某点，即可在此点上新增文字方块。. 然后您可在随后显示的对话框中输入文字 注: 您可以用对象名称来产生动态文字。 输入 可能的输出结果 ”这是静态文字” 这是静态文字 ”A点坐标 = ” + A A点坐标 = ( 3.05, 2.54 ) ”线段 a = ” + a + ”cm” 线段 a = 5.87 cm 文字的位置可能是屏幕的绝对值，或相对于坐标系(参见屬 HYPERLINK \l "_Properties_Dialog" HYPERLINK \l "_Properties_Dialog" HYPERLINK \l "_Properties_Dialog" 性 ). 文字 的 LaTeX 数学式 XE "formula" 在 GeoGebra 您亦可写数学式, 在文字模块的对话框中勾选「LaTeX 数学式」，并以LaTeX语法输入您的数学式。 在此解释一些重要的 LaTeX 指令，若您需要更多信息请参考一些LaTeX 说明文件。 LaTeX 语法 输出结果 a \cdot b \frac{a}{b} \sqrt{x} \sqrt[n]{x} \vec{v} \overline{AB} x^{2} a_{1} \sin\alpha + \cos\beta \int_{a}^{b} x dx \sum_{i=1}^{n} i^2 3.2.15 图片 XE "image" 插入图片 XE " " 此模块可供您于作图时加入图片。 · 在绘图区上按一下，此点会成为图片的左下角。 · 点选某点，以指定此点为图片的左下角。 然后出现档案开启的对话框，您在此选择要插入的图档。 3.2.16 图片的属性 位置 XE "image:position" 图片的位置可能是是屏幕的绝对位置，或相对于坐标系(参见图片的 属性 )，后者可透过指定最多三个顶点来完成，这可提供您更弹性地缩放、旋转、甚至扭曲图片。 · 角1. (图片的左下角位置) · 角2. (图片的右下角位置) 注: 此顶点只有当角1先设定时才能设定，您可以用它来控制图片宽度。 · 角4. (图片的左上角位置) 注: 此角只有当角1已事先设定时才能设定，您可以用它来控制图片高度。 注:亦参见Corner 指令。 范例: 让我们新增三个点A, B, 和 C 来探讨顶点的影响。 · 设定点 A为图片的第一顶点，点B为图片的第二顶点，以 移动 工具拖动点A 及 B ，您可以观察图片会怎么变化。 · 设定点 A为图片的第一顶点，点C为图片的第四顶点，并观察图片会怎么变化。 · 最后，设定这三个顶点，并观察拖动这些点会如何扭曲图片。 您已经看到如何影响图片的大小和位置，若您想将图片附着于点 A并设定其宽度为3，高度为4 单位时，您可作下列设定： · 角1: A · 角2: A + (3, 0) · 角4. A + (0, 4) 注: 现在若您以 移动 工具拖动点A ，您的图片将会维持其大小。 背景图 您可以设定背景图(参见图片的 属性 )，背景图会放在坐标轴的后面，且无法用鼠标或其它来点选。 注: 欲改变图片的背景设定，从重新定义 菜单中选择 属性。 透明度 XE "image:transparency" 您可以设定图片的透明度(0 % 到 100 %)，让在它后面的对象或坐标轴可以看得到 (参见图片的 属性)。 4: 输入代数式 在本章中我们将解释在GeoGebra中如何使用键盘新增或修改对象。 4.1 一般须知 代表数值、坐标、自变对象或应变对象的代数式都会显示在左边的「代数窗口」中。自变对象并不是由其它对象所建构出来的, 所以可被直接更改。 您可在GeoGebra中，使用窗口底部的「指令列」来直接输入代数式(参见 指令 )。直接輸入 ; 参见 注: 当您在指令列中输入对象的定义后，一定要按下Enter 键。 4.1.1 改变代表值 XE "values:change" 自变对象可直接作改变，应变对象则否。您可以修改对象值，在指令列 (参见 直接輸入 ) 中输入新值以覆写旧值。 范例: 若您想改变数值a = 3, 在指令列输入 a = 5，并按下Enter 键。 注:您亦可在代数窗口中的任一个对象上按 滑鼠右鍵功能表 ，然后重新定义 。 4.1.2 动画 XE "animation" 选择模块 移動 ，再点选数值或角度，然后按下+ 或 – 键，就可连续改变数值或角度。 按住这些键的其中之一，让您可作出动画。 范例: 若点的坐标是利用数值k 所算出来的，就像P = (2 k, k), 则当k 连续改变时，点就会沿着直线移动。 您选择 移動 工具). 動畫 ; 参见移動 工具，然后用方向键移动任何自变对象。(参见 注: 您可使用对象的屬性對話方塊 调整递增值。 快捷法: · Ctrl +方向键：可让您一次跳10 个单位。 · Alt +方向键：可让您一次跳100个单位。 注: 您也可使用 + 或 – 键移动直线上的点(参见 动画)。 4.2 直接输入 XE "input field" GeoGebra 可以处理数值、角、点、向量、线段、直线、圆锥曲线、函数、和参数曲线, 我们将说明如何利用「指定列」再搭配坐标或方程式输入这些对象。 注:您亦可在对象名称中使用「下标」，例如: 输入A_1 或 s_{AB}可以得到A1 或 SAB 。 4.2.1 数值和角度 XE "angle" 范例: 输入 r = 5.32， 您会得到 r 。 注: 如果要用到某些数学常数，如圆周率π或尤拉数e，您可利用指令列右边的下拉式选单。 角可「°」 或「rad」 输入，常数 π 对弪度值很好用，也可以用pi输入。 范例: 角 α 可用度数(α = 60°) 或弪度 (α = pi/3) 输入。 注: GeoGebra 用弪度作所有的内部运算，「 °」这个符号只是代表「π/180」这个常数的常用符号而已。 滑杆和方向键 一个「数值」或「角度」的自变对象可在几何窗口中以「滑杆」来表示(参见模块 動畫 )。滑桿 )，您亦可使用方向键在几何窗口中改变「数值」与「角度」对象(参见 限制数值范围 XE "limit: value number" 你可以指定一个「数值」或「角度」的自变对象的数值范围。(参见 属性对话框)，此区间亦可用于 滑桿 。 如果某「角度」是一个应变对象，则您可指定它是否可以变成「优角」（大于180度的角）。(参见属性对话框 ). 4.2.2 点和向量 XE "point" 点和向量可以用直角坐标或极坐标来输入(参见數值與角度 )。 XE "coordinates" 注: 英文「大写」名称代表「点」, 「小写」名称代表「向量」。 范例: · 若用直角座標，請以 P = (1, 0) or v = (0, 5)输入点 P或向量 v。 · 若用极坐标，请输入 P = (1; 0°) 或 v = (5; 90°)。 4.2.3 直线 XE " " 直线可以用「方程式」或「参数式」来输入。在这两种情况下, 事先定义过的变量皆可使用(例如：数值、点、向量)。 注:直线名称后面须加上「冒号」(:)。 范例: · 输入 g : 3x + 4y = 2 ，可以得到直线g 。 · 先定义参数 t (如：t = 3)，再输入g : X = (-5, 5) + t (4, -3)。 ★注意：上式中，t和 (4,-3) 之间有一个「空白」不可省略，否则会出现错误讯息。另外，变量名只能用「X」，使用其它变量名，GeoGebra只会帮你算出另外一个「点」或「向量」。 · 先定义参数 m = 2 和 b = -1，然后输入 g: y = m x + b。 ★注意：上式中，m和 x 之间有一个「空白」不可省略。 坐标轴的指令名：xAxis XE "xAxis" 与 yAxis XE "yAxis" XE "axes:xAxis, yAxis" 在使用指令时，两坐标轴的名称分别为xAxis 和 yAxis。 范例: 在指令列中输入 Perpendicular[A, xAxis] 可作出通过点A并垂直于x轴的垂直线。 4.2.4 圆锥曲线 XE "conic:section" 圆锥曲线可以用 x 和 y 的二元二次方程式来输入, 方程式里面也可以使用事先定义过的变量名称(例如：数值、点、向量)。输入圆锥曲线的方程式时，你可同时指定它的名称，只要你使用「名称: 方程式」这样个格式就可以。 范例: · 椭圆 a: a: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 · 双曲线 b: b: 9 x^2 – 16 y^2 = 144 · 拋物线 c: c: y^2 = 4 x · 圆 d: d: x^2 + y^2 = 25 · 圆e: e: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25 注: 若您事先定义两参数「 a = 4 且 b = 3 」， 您可输入椭圆为 「 a: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2」。 4.2.5 函数 XE "function" 您可以用已有的变量或函数来输入一个新的函数。 范例: · 函数 f: f(x) = 3 x^3 – x^2 · 函数g: g(x) = tan(f(x)) · 未命名之函数: sin(3 x) + tan(x) 在「数学运算」这一章节中，有所有内建函数（例如： sin, cos, tan)的详细 XE "trigonometric function" 说明(参见 数学运算)。 在 GeoGebra 中您可用指令求出函数的微分 。 積分 和 您可用f’(x) 或 f’’(x),…求出f(x) 的一次微分与二次微分。 范例: 首先定义函数f(x) = 3 x^3 – x^2，然后您可输入 g(x) = cos(f’(x + 2))定义新的函数g。 更进一步地, 函数可用一向量来作平移(参见指令 平移), 而且如果一个函数是自变对象的话，你也可用鼠标来移动它(参见模块 HYPERLINK \l "modeMove" 移动)。 限制函数区间 XE "function:limit to interval" 如果要限制函数的定义域, 请使用指令Function (参见指令函数). 4.2.6 对象集合 XE "list" 大括号可以用来定义包含一些对象的集合 (例如： 点、线段、圆)。 范例: · L = {A, B, C} 为包含三点A, B, C的集合。 · L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} 为包含三个未命名点的集合。 4.2.7 数学运算 XE "arithmetic operations" GeoGebra有下列各式运算: 运算 输入 加法 XE "addition" + 减法 XE "subtraction" - 乘法 XE "multiplication" * 或 「空格键」 内积 XE "product“" * 或 「空格键」 除法 XE "division" / 次方 XE "exponentiation" ^ or 2 阶乘 XE "factorial" ! Gamma 函数 XE "Gamma function" gamma( ) 刮号 XE "parantheses" ( ) 计算某点的x-坐标 XE "x-coordinate " x( ) 计算某点的y-坐标 XE "y-coordinate " y( ) 绝对值 XE "absolute value" abs( ) 正负号 XE "sign" sgn( ) 开根号 sqrt( ) 立方根 XE "cubic root" cbrt( ) 随机数（ 0 到 1之间） XE "random" random( ) 指数函数 XE "exponential function" exp( ) 或 ℯx 自然对数 XE "logarithm" ln( ) 或 log( ) 对数（以 2为底） XE "logarithm" ld( ) 常用对数（以10为底） XE "logarithm" lg( ) 余弦 XE "cosine" cos( ) 正弦 XE "sine" sin( ) 正切 XE "tangent" tan( ) 反余切 XE " trigonometric function:arc cosine" acos( ) 反正弦 asin( ) 反正切 XE " trigonometric function:arc tangent" atan( ) 双曲余弦 XE " trigonometric function:hyperbolic cosine" cosh( ) 双曲正弦 XE " trigonometric function:hyperbolic sine" sinh( ) 双曲正切 XE " trigonometric function:hyperbolic tangent" tanh( ) 反双曲余弦 XE " trigonometric function:antihyperbolic cosine" acosh( ) 反双曲正弦e XE " trigonometric function:antihyperbolic sine" asinh( ) 反双曲正切 XE " trigonometric function:antihyperbolic tangent" atanh( ) 小或等于之最大整数 XE "floor" floor( ) 大或等于之最小整数 XE "ceiling" ceil( ) 四舍五入 XE "round" round( ) 范例: · A 和B 中點M可以如此輸入：M = (A + B) / 2。 · 向量 v 的长度可用 sqrt(v * v)来计算。 注: 在GeoGebra中，点和向量也可以直接用来计算。 4.2.8 布尔变数 在GeoGebra中您可使用布尔变量 “true” 与 “false”。 范例: 在指令列中输入 a = true 或 b = false并按下Enter 键。 核选方块及方向键 自由的布尔变量在绘图区中，用核选方块的方式来呈现 (参见模块 動畫 ). 用核選方塊顯示或隱藏物件群組 )，利用方向键您亦可在绘图区中改变布尔变量(参见 4.2.9 布尔运算 XE "Boolean:operations" 您可在GeoGebra中使用布尔运算： 运算 范例 a b的类型 等于 ≟ or == a ≟ b 或 a == b 数值, 点, 直线, 圆锥曲线 不等于 ≠ or != a ≠ b 或 a != b 数值, 点, 直线, 圆锥曲线 小于 < a < b 数值 大于 > a > b 数值 小或等于 EMBED Microsoft Formel-Editor 3.0 or <= a b 或 a <= b 数值 大或等于 or >= a b 或 a >= b 数值 且 ∧ a ∧ b 布尔变数 或 ∨ a ∨ b 布尔变数 非 ¬ or ! ¬a 或 !a 布尔变数 平行于 ∥ a ∥ b 直线 垂直于 ⊥ a ⊥ b 直线 4.3 指令 XE "commands" 我们可以使用「指令」来产生新对象或修改对象。 例如: 求两直线g 和h 的交点时，可输入： S = Intersect[g,h] (参见 Intersect 指令). 注:对象名称可使用下标: 例如输入A_1或s_{AB}可得 A1 或 SAB 。 4.3.1 一般指令 Relation XE "relation:command" Relation[object a, object b]: 显示一讯息框让我们得知a 和b 之间的关系。 注: 此指令让我们得知是否一点在一直在线（或一圆锥曲线上）、一直线是否切于一圆锥曲线、或一直线是否与一圆锥曲线相交, 两对象是否相等。 Delete XE "delete:command" Delete[物件 a]: 删除一对象a及所有由它产生的子对象。 Element XE "element:command" Element[集合 L, 数值 n]: L 集合中的第n个组件。 4.3.2 布尔指令 XE "Boolean:commands" If[条件式, a, b]: 若条件式为真时，可得a, 为假时可得b。 If[条件式, a]: 若条件式为真时，可得a, 为假时则视为未定义对象。 4.3.3 数值指令 长度 Length[向量 v]: 向量v的长度 Length[点 A]: A與原點的距離 Length[函数 f, 数值 x1, 数值 x2]: f函数图形从x1 到 x2之间的长度 Length[函数 f, 点 A, 点 B]: f函数图形从图形上的点A到点 B之间的长度 Length[曲线 c, 数值 t1, 数值 t2]:曲线 c 从数值 t1 到 t2之间的长度 Length[曲线 c, 点 A, 点 B]: 曲线 c 从曲线上的点A到点 B之间的长度 Length[集合 L]: L 集合的长度(集合的元素个数) 面积 Area[点 A, 点 B, 点 C, ...]: 点A, B, C, …所围成的多边形面积 Area[圆锥曲线 c]: 圆锥曲线 c 的面積(圆或椭圆) 距离 XE "distance:command" Distance[点 A, 点 B]: A 和 B 点间的距离 Distance[点 A, 直线 g]: 点 A 到直线 g 的距离 Distance[直线 g, 直线 h]: 直线 g 和 h 间的距离。 ★注意： 相交的線間的距離為0。 模数 XE "modulo function:command" Mod[数值 a, 数值 b]: a 除以 b 的余数 整数除法 XE "integer division:command" Div[数值 a, 数值 b]: a 除以 b 的商数（整数） 斜率 XE "slope:command" Slope[直线 g]: 直线g 的斜率。 注: 此指令會同時畫出一個「斜率三角形」 (参见属性对话框 )。 曲率 XE "curvature:command" Curvature[点 A, 函数 f]: 函数f在点A的曲率 Curvature[点 A, 曲线 c]: 曲线c在点A的曲率 半径 Radius[圆 c]: 圆 c的半径 周长 XE "circumference:command" Circumference[圆锥曲线 c]: 圆锥曲线 c 的周長(圆或椭圆) Perimeter[多边形 p]: 多边形 p的周長 参数 XE "parameter:command" XE "parameter:command" Parameter[拋物线 p]: 拋物线 p 的参数(准线和焦点间的距离) 主轴半长 FirstAxisLength[圆锥曲线 c]: 圆锥曲线 c 的长轴半长或贯轴半长 副轴半长 XE "second axis:length, command" SecondAxisLength[圆锥曲线 c]: 圓錐曲線 c 的短軸半長或共軛軸半長 Excentricity XE "excentricity:command" Excentricity[圆锥曲线 c]: 圆锥曲线 c 的离心率 ★译者注释：Excentricity是个错字，正确的拼字应为Eccentricity 积分 XE "integral:command" Integral[函数 f, 数值 a, 数值 b]: 计算f(x) 从 a 到 b 的面积（积分）。 注:此指令会同时画出函数与X 轴间的面积。 Integral[函数 f, 函数 g, 数值 a, 数值 b]: 计算从 a 到 b 之间，f(x)与g(x)所夹的面积。 注: 此指令也可画出f和 g函数之间的面积。 注: 参见 不定積分 下和 XE "lower sum:command" LowerSum[函数 f, 数值 a, 数值 b, 数值 n]: 函数f 在[a,b] 区间以n 个长条区求出的面积下和。 注: 此指令會同時繪出這些下和的長方形。 上和 XE "upper sum:command" UpperSum[函数 f, 数值 a, 数值 b, 数值 n]: 函数f 在[a,b] 区间以 n 个长条区求出的面积上和。 注: 此指令亦可繪出這些上和的長方形。 迭代 XE "iteration:command" Iteration[函数 f, 数值 x0, 数值 n]: 将 x0重复代入f函数n 次 ，也就是计算f(f(f(…f(x0)))) 范例: 在定义 f(x) = x^2 之后， Iteration[f, 3, 2] 指令的结果为 (32)2 = 81 最大最小值 XE "minimum:command" Min[数值 a, 数值 b]: 指a 和 b 中较小者 Max[数值 a, 数值 b]: 指a 和 b 中较大者 分点比 XE "affine ratio:command" AffineRatio[点 A, 点 B, 点 C]: 指共线三点 A, B, C的，若以A为0，B为1，则C点所在位置的坐标 交比 XE "cross ratio:command" CrossRatio[点 A, 点 B, 点 C, 点 D]: 指共线四点A, B, C, D的交比λ, 其中λ = AffineRatio[B, C, D] / AffineRatio[A, C, D] 4.3.4 角度 角度 XE "angle:command" Angle[向量 v1, 向量 v2]: v1 和 v2兩向量間的夾角(介于0 到 360°) Angle[直线 g, 直线 h]: 两直线之方向向量间的夹角(介于0 到 360°) Angle[点 A, 点 B, 点 C]: BA 和 BC 间的夹角(介于0 到 360°), B 为顶点 Angle[点 A, 点 B, 角度α]: 以线段AB为始边，画出大小为α的角。 注: 它会同时画出由B点转动出来的另一个点。 Angle[圆锥曲线 c]:圆锥曲线 c 主轴的转角(参见指令 Axes ) Angle[向量 v]: x-轴到向量 v 之间的夹角 Angle[点 A]: x-轴到点A的夹角 Angle[数值 n]: 将一数值 n 转换成角度(结果介于0 到2pi之间) Angle[多边形 p]: 画出多边形p的所有内角 4.3.5 点 点 XE "point:command" Point[直线 g]:画出直线 g上一点 Point[圆锥曲线 c]: 画出圆锥曲线上一点(例如: 圆、椭圆、双曲线) Point[函数 f]:画出 f 函数上一点 Point[多边形 p]: 画出多边形 p上一點 Point[向量 v]: 画出向量v上一點 Point[点 P, 向量 v]: 画出从点P平移向量v之后的点 中点或中心 XE "midpoint:command" Midpoint[点 A, 点 B]: A 和 B 的中点 Midpoint[线段 s]: 线段 s的中點 Center[圆锥曲线 c]: 圆锥曲线 c的中心(例如: 圆、椭圆、双曲线) 焦点 XE "focus:command" Focus[圆锥曲线 c]: 圓錐曲線c的焦點 顶点 XE "vertex:command" Vertex[圆锥曲线 c]: 圓錐曲線c的頂點 重心 XE "centroid:command" Centroid[多边形 p]: 多边形 p 的重心 交点 Intersect[直线 g, 直线 h]: 直线 g 和 h 的交点 Intersect[直线 g, 圆锥曲线 c]: 直线g 和圆锥曲线c 的所有交点(最多2个) Intersect[直线 g, 圆锥曲线 c, 数值 n]: 直線 g 和圓錐曲線 c 的第 n 個交點 Intersect[圆锥曲线 c, 圆锥曲线 d]: 兩圓錐曲線c 和d 的所有交點(最多4个) Intersect[圆锥曲线 c1, 圆锥曲线 c2, 数值 n]: 兩圓錐曲線 c 和 d 的第 n 個交點 Intersect[多项式 f1, 多项式 f2]: 多项式f1 和多项式f2 的所有交点 Intersect[多项式 f1, 多项式 f2, 数值 n]: 多项式f1 和多项式f2的第 n 个交点 Intersect[多项式 f, 直线 g]: 多項式f 和直線g 的所有交點 Intersect[多项式 f, 直线 g, 数值 n]: 多項式f 和直線g 的第 n 個交點 Intersect[函数 f, 函数 g, 点 A]: 函數f 和g 在起始点A的所有交點(牛顿法) Intersect[函数 f, 直线 g, 点 A]: 函數f 和直線 g 在起始点A的所有交點(牛顿法) ★注意： 亦参见模块 交點 求根 XE "root:command" Root[多项式 f]: 多项式f 的所有根 Root[函数 f, 数值 a]: 函数f 在起始值a的一个根(牛顿法) Root[函数 f, 数值 a, 数值 b]: 函數f 在 [a, b]区间的根 (使用「错位法」：False Position Method) Extremum XE "extremum:command" Extremum[多项式 f]: 多项式f 的所有局部极值(点) 反曲点 XE "inflection point:command" InflectionPoint[多项式 f]: 多项式f 的所有反曲点 4.3.6 向量 向量 XE "vector:command" Vector[点 A, 点 B]: 从点A 到点B的向量 Vector[点 A]: 點A的位置向量 方向向量 XE "direction:command" Direction[直线 g]: 直線 g 的方向向量 注: 直线方程式ax + by = c 之方向向量为 (b, - a). 单位向量 XE "unit vector:command" UnitVector[直线 g]: 直线 g 之单位方向向量 UnitVector[向量 v]:与向量v 同方向的单位向量 法向量 XE "perpendicular:vector, command" PerpendicularVector[直线 g]: 直线 g 的法向量 注:直线方程式ax + by = c 的法向量为(a, b) PerpendicularVector[向量 v]: 向量 v 的法向量 注:向量(a, b)的法向量为(- b, a) 单位法向量 XE "unit perpendicular vector:command" UnitPerpendicularVector[直线 g]: 直线 g 的单位法向量 UnitPerpendicularVector[向量 v]: 向量 v 的单位法向量 曲率向量 XE "curvature:command" CurvatureVector[点 A, 函数 f]: 函数f在点A的曲率向量 CurvatureVector[点 A, 曲线c ]: 曲线 c 在点A的曲率向量 4.3.7 线段 线段 XE "segment:command" Segment[点 A, 点 B]: 点 A 和 B 间的线段 Segment[点 A, 数值 a]:以A为起点，线段长为 a 的线段 注: 会同时产生另一个线段端点。. 4.3.8 射线 射线 XE "ray:command" Ray[点 A, 点 B]: 起点 A 通过 B 点的射线 Ray[点 A, 向量 v]: 起点 A且方向向量为v的射线 4.3.9 多边形 多边形 XE "polygon:command" Polygon[点 A, 点 B, 点 C,...]: 由给定点A, B, C,…所围成的多边形 Polygon[点 A, 点 B, 数值 n]: 有n 个顶点的正多边形(包括 点 A 和 B) 4.3.10 直线 直线 XE "line:command" Line[点 A, 点 B]: 通过A 点和 B点的直线 Line[点 A, 直线 g]: 通过A 点且平行于g 的直线 Line[点 A, 向量 v]: 通过点A 且方向为v 的直线 垂直线 XE "perpendicular:command" Perpendicular[点 A, 直线 g]: 通过点 A且垂直于 g 的直线 Perpendicular[点 A, 向量 v]: 通过点 A 且垂直于向量v 的直线 中垂线 XE "line:bisector, command" LineBisector[点 A, 点 B]: 线段AB 的平分线 LineBisector[线段 s]: s 线段的平分线 角平分线 AngularBisector[点 A, 点 B, 点 C]: 角ABC 的角平分线 注: B 為角的頂點 AngularBisector[直线 g, 直线 h]: 直线 g 和 h 的角平分线 切线 XE "tangent:command" Tangent[点 A, 圆锥曲线 c]:圆锥曲线c 过点A的(所有的)切线 Tangent[直线 g, 圆锥曲线 c]: 圆锥曲线 c 的所有平行于直线 g 的切线 Tangent[数值 a, 函数 f]: f(x) 在x=a 时的切线 Tangent[点 A, 函数 f]: f(x) 在x=x(A) 时的切线 Tangent[点 A, 曲线 c]: 曲线c 過點A的切線 渐进线 Asymptote[双曲线 h]: 雙曲線h的兩漸近線 准线 Directrix[拋物线 p]: 拋物线 p 的准线 对称轴 XE "axes:command" Axes[圆锥曲线 c]: 圆锥曲线c的对称轴 主轴 XE "first axis:command" FirstAxis[圆锥曲线 c]: 圆锥曲线 c 的长轴或贯轴 副轴 XE "second axis:command" SecondAxis[圆锥曲线 c]: 圆锥曲线c 的短轴或共轭轴 极线 XE "polar:command" Polar[点 A, 圆锥曲线 c]: 点A 相对于圆锥曲线c 的极线 径线 XE "diameter:command" Diameter[直线 g , 圆锥曲线 c]: 圆锥曲线 c 平行于直线 g 的径线 Diameter[向量 v, 圆锥曲线 c]: 圆锥曲线 c 平行于向量 v 的径线 4.3.11 圆锥曲线 圆 XE "circle:command" Circle[点 M, 数值 r]: 圆心 M 且半径为 r 的圆 Circle[点 M, 线段 s]: 圆心M 且半徑為 s 的長度 Circle[点 M, 点 A]: 圆心 M 且通过点 A 的圆 Circle[点 A, 点 B, 点 C]: 通過三點A、B、C的圓 密切圆 XE "osculating circle" OsculatingCircle[点 A, 函数 f]: 函 f在点A的密切圆 OsculatingCircle[点 A, 曲线 c]: 曲线 c 在点A的密切圆 椭圆 Ellipse[点 F, 点 G, 数值 a]: 焦点为F, G 且长轴半长为 a 的椭圆 注: 2a 必须大于FG的距离 Ellipse[点 F, 点 G, 线段 s]: 焦点为F, G 且长轴半长等于线段 s的长度的椭圆 双曲线 XE "hyperbola:command" Hyperbola[点 F, 点 G, 数值 a]: 焦点为F, G 且长轴半长为 a 的双曲线 注:条件: 0 < 2a < FG的距离 Hyperbola[点 F, 点 G, 线段 s]: 焦点为F, G 且长轴半长为线段s 长度的双曲线 拋物线 XE "parabola:command" Parabola[点 F, 直线 g]: 焦点为F 且准线为g 的拋物线 圆锥曲线 XE "conic:command" Conic[点 A, 点 B, 点 C, 点 D, 点 E]: 通过五点A, B, C, D, E 的圆锥曲线 注: 任四点不同在一直在线。 4.3.12 函数 XE "function:command" 导函数（微分） XE "derivative:command" Derivative[函数 f]: 函数f(x) 的微分 Derivative[函数 f, 数值 n]: 函数f(x) 的n 次微分 注: 您也可用 f’(x) 替代 Derivative[f] ，也可用f’’(x) 替代Derivative[f, 2]。 积分 XE "integral:command" Integral[函数 f]: 函数f(x) 的不定积分 注: 参见定積分 多项式 XE "expand:polynomial" Polynomial[函数 f]: 函數f的展开式 范例: 多项式[(x - 3)^2] 产生 x2 - 6x + 9 泰勒展开式 XE "TaylorPolynomial:command" TaylorPolynomial[函数 f, 数值 a, 数值 n]: 函数 f(x) 对点 x=a 的 n 次泰勒展开式 函数 XE "function:command" Function[函数 f, 数值 a, 数值 b]: 产生一函数,将函数f 的定义域限制于[a,b] 区间 条件式函数 XE "conditional function:command" 您可使用布尔指令 If XE "if:command" (参见指令 If ) 来新增函数。 注: 您可对这些函数使用微分和积分，并求出与其它函数的交点，正如一般的函数一样 范例: f(x) = If[x < 3, sin(x), x^2] ，此函数相当于 · sin(x) 当x < 3 · x2 当 x ≥ 3。 4.3.13 参数曲线 Curve[数学式 e1, 数学式 e2, 参数 t, 数值 a, 数值 b]: 产生坐标为(e1, e2)的曲线，其中e1,e2为参数式（使用参数t，a <= t <= b） 范例: c = Curve[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi] Derivative[曲线 c]: 曲线 c 的微分曲线 注:参数曲线可以像函数一样使用。 范例: 输入c(3) 会回传 t = 3 时的点坐标。 注: 您可用 新点 工具在曲线上放一个新点(参见模块 新点 」，亦参见指令 HYPERLINK \l "modeSlider" 滑杆Point ). 由于参数 a 和 b 为动态的，您可在此使用滑杆变量(参见模块)。 4.3.14 圆弧和扇形 XE "sector" 注: 圆弧的代数值为其长度， 扇形的代数值为其面积。 半圆 XE "semicircle:command" Semicircle [点 A, 点 B]: 线段AB.上的半圆 弧 XE "circular arc:command" CircularArc[点 M, 点 A, 点 B]:圆心为M，起点为A 、 终点为B 的圆弧 注: 点 B 不需落在圆弧上 CircumcircularArc[点 A, 点 B, 点 C]: 通过三点 A, B, C的圆弧 Arc[圆锥曲线 c, 点 A, 点 B]: 介于圓錐曲線c (圆或椭圆)上的兩点 A, B間的弧 Arc[圆锥曲线 c, 数值 t1, 数值 t2]: 介于圓錐曲線c上两参数t1 和 t2值間的弧，圓錐曲線c为下列的参数式: · 圆: (r cos(t), r sin(t)) 其中 r为圆的半径。 · 椭圆: (a cos(t), b sin(t)) 其中 a 和 b 为长轴和短轴半长 扇形 XE "circular sector:command" CircularSector[点 M, 点 A, 点 B]: 圆心为M，起点为A, 终点为B 的扇形 注: 点B 不需落在弧上。 CircumcircularSector[点 A, 点 B, 点 C]:通过三点 A, B, C的扇形 Sector[圆锥曲线c, 点 A, 点 B]: 介于圓錐曲線c (圆或椭圆)上的兩点 A, B間的圓錐曲線扇形區 Sector[圆锥曲线 c, 数值 t1, 数值 t2]: 介于圓錐曲線c上两参数t1 和 t2值間的圆锥曲线扇形區，圓錐曲線c为下列的参数式: · 圆: (r cos(t), r sin(t)) 其中 r为圆的半径。 · 椭圆: (a cos(t), b sin(t)) 其中 a 和 b 为长轴和短轴半长 4.3.15 图片 图片的顶点 XE "corner:command" Corner[图片 pic, 数值 n]: 图形pic的第n 个顶点。 注：n=1 表左下角，n=2 表右下角，n =3表右上角，n=4表左上角 4.3.16 轨迹 轨迹 XE "locus:command" Locus[点 Q, 点 P]:点 Q的轨迹线（P为控制点）。 注: 点 P 必须为对象(如：直线、线段、圆)上的一点。 4.3.17 序列 序列 XE "sequence" Sequence[数学式 e, 变量 i, 数值 a, 数值 b]: 将数学式 e 计算出来，i = a 到 b。 范例: L=Sequence[(2, i), i, 1, 5] 会产生点集合 {(2,1),(2,2), …, (2,5)} Sequence[数学式 e, 变量 i, 数值 a, 数值 b, 数值 s]: 将数学式 e 计算出来，i = a 到 b，且每次递增s。 范例: L = Sequence[(2, i), i, 1, 5, 0.5] 会产生点集合 {(2, 1), (2, 1.5), (2, 2), (2, 2.5),…, (2,5)} 注: 由于参数 a 和 b 可以是变量，您也可使用滑杆变量。 Element[集合 L, 数值 n]:L集合的第个n元素 Length[集合 L]: L集合的长度（元素个数） Min[集合 L]: :L集合的最小组件 Max[集合 L]: L集合的最大组件 迭代 XE "iteration" IterationList[函数 f, 数值 x0, 数值 n]: 会产生长度为n+1 的集合，其中元素为 { x0, f(x0), f(f(x0)), …} 。 范例: 定义函数 f(x) = x^2 之后，输入指令 L = IterationList[f, 3, 2] ，您将得到 L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 27} 4.3.18 几何转换 XE "movements" 使用下列的指令时，会产生新对象，原对象则不受影响。 平移 XE "translate:command" Translate[点 A, 向量 v]: 以向量v平移点 A Translate[直线 g, 向量 v]: 以向量v平移直线 g Translate[圆锥曲线 c, 向量 v]: 以向量v平移圓錐曲線 c Translate[函数 c, 向量 v]: 以向量v平移函数 c Translate[多边形 p, 向量 v]: 以向量v平移多边形 p 注: 新的顶点及线段亦随之产生。 Translate[图片 p, 向量 v]: 以向量v平移图形 p Translate[向量 v, 点 P]: 将向量v移至点 P 注: 亦参见 向量平移 工具 旋转 XE "rotate:command" Rotate[点 A, 角度φ]:以原点为旋转中心，将 A 点旋转φ角 Rotate[向量 v, 角度φ]: 以原点为旋转中心，以角度φ旋转向量 v Rotate[直线 g, 角度φ]: 以原点为旋转中心，以角度φ旋转直线 g Rotate[圆锥曲线 c, 角度φ]: 以原点为旋转中心，以角度φ旋转圆锥曲线 c Rotate[多边形 p, 角度φ]: 以原点为旋转中心，以角度φ旋转多边形 p 注: 新的顶点及线段亦随之产生。 Rotate[图片 p, 角度φ]: 以原点为旋转中心，以角度φ沿轴心旋转图形 p Rotate[点 A, 角度φ, 点 B]: 以B为旋转中心，以角度φ旋转点 A Rotate[直线 g, 角度φ, 点 B]: 以B为旋转中心， 以角度φ旋转直线 g Rotate[圆锥曲线 c, 角度φ, 点 B]: 以B为旋转中心， 以角度φ旋转圆锥曲线 c Rotate[多边形 p, 角度φ, 点 B]: 以B为旋转中心，以角度φ旋转多边形 p. 注: 新的顶点及线段亦随之产生。 Rotate[图片 pic, 角度φ, 点 B]: 以B为旋转中心，以角度φ旋转图形 pic 注: 亦参见 旋轉 工具 对称 XE "mirror:command" Mirror[点 A, 点 B]: 以B为对称中心，将点 A 作对称 Mirror[直线 g, 点 B]: 以B为对称中心，将直线 g作对称 Mirror[圆锥曲线 c, 点 B]: 以B为对称中心，将圆锥曲线 c作对称 Mirror[多边形 p, 点 B]: 以B为对称中心，将多边形 p作对称。 注: 新的顶点及线段亦随之产生。 Mirror[图片 p, 点 B]: 以B为对称中心，将图形 p作对称 Mirror[点 A, 直线 h]: 以h为对称轴， 将点 A作对称 Mirror[直线 g, 直线 h]: 以h为对称轴，将直线 g作对称 Mirror[圆锥曲线 c, 直线 h]: 以h为对称轴，将圆锥曲线c作对称 Mirror[多边形 p, 直线 h]: 以h为对称轴，将多边形p作对称。 注: 新的顶点及线段亦随之产生。 Mirror[图片 p, 直线 h]: 以h为对称轴，将图形p作对称 注: 亦参见「 線對稱 」工具點對稱 」、「 缩放 XE "dilate:command" Dilate[点 A, 数值 f, 点 S]:以 S 为缩放中心，以 f 的倍率缩放点 A Dilate[直线 h, 数值 f, 点 S]: 以 S 为缩放中心， 以 f 的倍率缩放直线 h Dilate[圆锥曲线 c, 数值 f, 点 S]: 以S为缩放中心，以f的倍率缩放圆锥曲线 c Dilate[多边形 p, 数值 f, 点 S]: 以 S 为缩放中心，以 f 的倍率缩放多边形 p。 Dilate[图片 p, 数值 f, 点 S]: 以 S 为缩放中心，以 f 的倍率缩放图形 p 注: 请参阅「 伸縮向量變換 」工具 5: 打印和输出 5.1 打印 XE "print" 5.1.1 绘图区 XE "drawing pad:export" 您可在File菜单中发现绘图区的选项， 您可在此指定名称、作者、日期和打印刻度大小(以公分表示)。 注: 作任何改变之后按下 Enter 键以更新预览窗口。 5.1.2 作图过程 首先您必须开启作图过程 (检视菜单).来开启作过程的打印预览窗口，您可在显现窗口的 档案 菜单中找到 打印预览 选项。 注: 您可在此 开/关 作图过程中不同的字段 名称、定义、指令、代数、暂停点(参见作图过程的 检视 菜单)。 在作图过程中的打印预览窗口，您可在打印前输入主 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 、作者、日期。 在作图过程窗口的底部有一个操控列，可让您一步步地操作控制作图(参见 Navigation bar )。 注: 使用「暂停点」字段(检视菜单)， XE "breakpoint" 您可定义特定的作图步骤为暂停点，以供您作对象群组，当您用控制列在作图区四处移动时，群组对象就会同时出现。 5.2 绘图区以图档输出 XE "print:drawing pad" 您可在 档案 菜单中找到 绘图区 ，您可指定输出档案的大小 (cm) 及分辨率 (dpi) ，输出图形的真实大小显示于窗口下方。 当您以图形输出绘图区时，您可从下列格式输出： PNG – Portable Network Graphics 这是一种画素的图形格式，分辨率愈高 (dpi), 质量愈好 (300dpi 一般就够好了)， 避免对PNG 图形作缩放而降低影像质量。 PNG 图形档案适合用于网页(html)及Microsoft Word。 注:无论您是否在Word文件中使用PNG 图形文件 (档案 中的 图形，插入 菜单) 请确认大小设定为100 %，否则给定的大小(以 cm)将被改变。 EPS – Encapsulated Postscript 这是一个向量图形格式。EPS 图片缩放后可保持原有质量。EPS 图形文件很适合用在向量图形程序例如: Corel Draw, 和专业的字处理软件如LATEX。 EPS 图形的分辨率都是 72dpi，此数值只用在以公分计算图形的真实大小，且不影响图形的质量。 注:使用EPS 在多边形和圆锥曲线区内质地的透明度是无效的。 SVG – Scaleable Vector Graphic (参见上述之 EPS 格式 ) EMF – Enhanced Meta Format (参见上述之EPS 格式 ) PSTricks 输出可在LaTeX 之下执行之PSTricks宏绘图指令。 ★译者注释：可参考http://homepage.ntu.edu.tw/~ntut019/cwtex/cwtex.html CwTex3 手册 第12章 5.3 绘图区复制到剪贴簿 XE "drawing pad:to clipboard" 您可在 档案 清单中找到 输出 的选项 绘图工作区到剪贴簿 , 即可将绘图工作区的数据复制到您系统的剪贴簿上成 PNG 图形，此图形可任意贴到其它程序中(例如: Microsoft Word 文件)。 注: 为指定作图的特定大小(以 cm)，请使用档案 清单中 输出选项的 绘图区输出为图形(参见 Drawing Pad as Picture )。 5.4 作图过程以网页输出 XE "export" 为开启 输出作图过程 窗口，首先您必须从 检视 菜单中开启 Construction protocol ，您可在 档案 清单中找到 以网页输出 的选项。 注: 您可在以网页输出之前 开/关 作图过程中的不同字段(参见作图过程的 检视 菜单). 在输出作图过程的窗口中, 您可输入标题, 作者和日期, 以及您是否要以图档输出绘图区，以及作图过程的代数窗口。 注: 您可用任何浏览器检视输出的HTML 档案(例如:Mozilla, Internet Explorer) , 且许多的字处理软件都可作编辑(例如: Frontpage, Word)。 5.5 动态工作底稿以网页输出 XE "dynamic worksheet" 在档案清单中, 您可找到 动态工作底稿以网页输出(html)。 在输出的窗口的上方您可为您的动态工作底稿输入标题、作者、日期。 tab General 可让您作图过程的上、下加入一些文字（例如：作图过程和一些工作的描述），作图过程的本身也可直接置于网页或以按钮来开启。 tab Advanced 可让您改变动态作图的功能(例如： 重设图标键、按两下鼠标以开启application 窗口)，修改使用者接口也是一样(例如:显示工具列、修改高度及宽度)。 注: 动态建构的长度和宽度不要太大, 在浏览器中才能够完全显示。 输出动态工作底稿时会产生三种档案: 1. html 档案, (例如:circle.html) - 此档案会包括工作底稿本身 2. ggb 档案, (例如:z.B. circle.ggb) - 此档案会包括您的GeoGebray作图 3. geogebra.jar (一些档案)- 此档案会包括GeoGebra并使您的工作底稿更为交互式 所有三种档案- （例如: circle.html、circle_worksheet.ggb 及 geogebra.jar files) -必须要放在同一个档案夹(目录) ,动态的建构才会有效。当然, 您也可以拷贝所有三种档案到另一个档案夹中。 注: 输出的HTML file - （例如: circle.html） -可用浏览器观看(例如: Mozilla, Internet Explorer)。为使动态的作图有效运作, 您必须安装Java。您可到http://www.java.com 找到免费的Java。若您想在学校网络的计算机上使用您的工作底稿, 请要求您学校的计算机网络管理员在计算机上安装Java。 注:大多数的文字编辑器都可用来开启输出的HTML 档案来修改工作底稿的文字(例如: Frontpage,Word) 。 6: 选项 XE "options" Global 选项可在 选项 菜单中修改，欲改变对象设定, 请使用鼠标右键菜单。 6.1 点的吸附功能 XE "point:options" 决定 开 / 关 或点被吸附于格子点。 6.2 角度单位 XE "angle:unit" 决定决定角度是否以度数或 (°) 或弪度 (rad) 显示。 注:输入时两种方式皆可(度数或弪度)。 6.3 小数位数 XE "decimal places:options " 可供您调整小数点位数从0 到 5。 6.4 连续性 XE "continuity:options " GeoGebra 可让您在 选项 菜单中 开 / 关 连续性 。 注: 预设「连续性」为关闭，对于使用者自订工具 (参见 使用者自订工具) 连续性也都是关闭状态。. 6.5 点的类型 XE "point:style, options" 决定点是否以 . 或 x 来显示。 6.6 直角的类型 XE "right angle style:options" 决定直角是否以矩形、点、或就像其它所有的角来显示。 6.7 坐标轴 XE "coordinates:style, options" 决定点坐标是否以 A = (x, y) 或 A(x | y) 的形式表示。 6.8 标签 XE "labelling:options" 您可指定新增对象的卷标 是否该显示与否。 注:当开启代数窗口并新增对象时，自动 设定可显示卷标 。 6.9 字体大小 XE "font size:options" 决定卷标字体大小及文字 in points (pt). 6.10 语言 XE "language:options" GeoGebra 使用多种与语言, 在此您可以改变现有的语言设定, 如此会改变所有的输入和输出的指令名称。 6.11 绘图区 XE "drawing pad:options" 开启绘图区属性的对话窗（例如：坐标轴格子点、轴及、背景颜色）。 6.12 储存设定 XE "save settings:options" 若您在 选项 菜单中选择了 储存设定，GeoGebra 会记忆您（在 选项 菜单、目前工具列及绘图区的设定）的偏好设定。 7: 工具与工具列 7.1 使用者自订工具 XE "user defined tools" 根据已有的作图您可在GeoGebra中制作您要的工具，当准备好建构您的工具后，在 工具 菜单中选择 新增工具 ，在出现的交谈窗中指定工具的输入及输出对象，并选择工具列之图标键的名称与指令。 范例: 正方形-工具 · 由两点A 、 B 为一边开始作出正方形，先画出另两点 (用旋转90∘或其它方式)再用 多边形工具连接起来产生正方形poly1。 · 在 工具 菜单中选择 新工具。 · 指定 输出对象: 按下正方形或在下拉列表中选取之。 · 指定 输入对象: GeoGebra 自动地为您指定输入对象(在此是: 点 A 、 B)，您也可以在下拉列表中修改已选取的输入对象，或在您的作图上直接按下它们。 · 为您的新工具指定 工具名称 及 指令名称 ，工具名称将显示在GeoGebra 的工具列，指令名称 可用于GeoGebra 的指令列。 · 您亦可选择图形作为工具列的图标键，GeoGebra 会自动帮您调整图形大小成适合工具列上的按钮。 注: 您的工具可使用鼠标或在指令列中以指令输入，所有工具都自动存成“ggb” 建构档。 使用 管理工具 交谈窗 (工具 菜单) 您可删除工具或修改其名称或图示键，您也可储存选取工具到一个GeoGebra 工具檔 (“ggt”)，此档案可留待以后使用(档案 菜单, 开启) 来下载工具到另一个作图。 注:开启“ggt” 档不会改变您目前的作图，但开启 “ggb” 时则会改变。 7.2 自订工具列 XE "custom toolbar" 您可在 工具 菜单中选取 自订工具列 ，即可在GeoGebra 的工具列中自订工具列。这对dynamic worksheets 特别好用，当您只想限制一些工具出现在工具列中时。 注: 目前的工具列设定以“ggb” 的档案与您的作图一起储存。 8: JavaScript 界面 XE "JavaScript" 注:那些有网页编写经验的使用者会对GeoGebra 的JavaScript 接口感兴趣。 为提升dynamic worksheets 并增加其互动性，GeoGebra applets提供JavaScript 接口，例如：您可新增一按钮来随机性地产生动态作图的新架构。 请参见GeoGebra Applets 及 JavaScript 文件， 看看更多范例及如何使用JavaScript with GeoGebra applets的信息。 _85010436.unknown _85011716.unknown _157753480.unknown _157754440.unknown _157755080.unknown _157755400.unknown _157754760.unknown _157753800.unknown _85012036.unknown _85011076.unknown _85011396.unknown _85010756.unknown _85009796.unknown _85010116.unknown _85008836.unknown _84869888.unknown