习题六
1.设总体X~N(60,152),从总体X中抽取一个容量为100的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.
【解】μ=60,σ2=152,n=100
即
2.从正态总体N(4.2,52)中抽取容量为n的样本,若要求其样本均值位于区间(2.2,6.2)内的概率不小于0.95,则样本容量n至少取多大?
【解】
则Φ(0.4
)=0.975,故0.4
>1.96,
即n>24.01,所以n至少应取25
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,σ2)(单位:小时),随机抽取一容量为9的样本,并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误,事后失去了此试验的结果,只记得样本方差为S2=1002,试求P(
>1062).
【解】μ=1000,n=9,S2=1002
4.从一正态总体中抽取容量为10的样本,假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上,求总体的
标准
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差.
【解】
,由P(|
-μ|>4)=0.02得
P|Z|>4(σ/n)=0.02,
故
,即
查表得
所以
5.设总体X~N(μ,16),X1,X2,…,X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本,S2为其样本方差,且P(S2>a)=0.1,求a之值.
【解】
查表得
所以
6.设总体X服从标准正态分布,X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个简单随机样本,试问统计量
Y=
,n>5
服从何种分布?
【解】
且
与
相互独立.
所以
7.求总体X~N(20,3)的容量分别为10,15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.
【解】令
的容量为10的样本均值,
为容量为15的样本均值,则
~N(20,310),
~N(20,
),且
与
相互独立.
则
那么
所以
8.设总体X~N(0,σ2),X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y=
服从 分布,参数为 .
【解】
i=1,2,…,15.
那么
且
与
相互独立,
所以
所以Y~F分布,参数为(10,5).
9.设总体X~N(μ1,σ2),总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,
和Y1,Y2,…,
分别来自总体X和Y的简单随机样本,则
= .
【解】令
则
又
那么
10.设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X2n(n≥2)是总体X的一个样本,
,令Y=
,求EY.
【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则
Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互独立.
令
则
故
那么
所以
11. 设总体X的概率密度为f(x)=
(-∞
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