对应学生用书P106
基础达标
一、选择题
1．有下列4个命题：
①偶函数的图象一定与纵轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)；
④偶函数的图象关于纵轴对称．
其中正确的命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：只有④正确，③中x∈R，定义域只要关于原点对称即可．函数f(x)＝0不唯一．
答案：A
2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为( )
A．y＝[f(x)]2
B．y＝f(2x)
C．y＝f(|x|)
D．y＝f(－x)
解析：A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称．
答案：C
3．设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数．若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则( )
A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0
B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0
C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0
D．f(x1)＋f(x2)>f(x3)
解析：利用减函数和奇函数的性质判断．
∵x1＋x2>0，∴x1>－x2.
又∵f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，
∴f(x1)<－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)<0.
同理，可得f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x2)<0.∴2f(x1)＋2f(x2)＋2f(x3)<0.
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
答案：B
4．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是( )
A．f(－2)>f(0)>f(1)
B．f(－2)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－2)
D．f(1)>f(－2)>f(0)
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，
又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，
∴f(－2)>f(1)>f(0)．
答案：B
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.
答案：B
6．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
解析：令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1，令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1，
所以f(x)＋1为奇函数．
答案：C
二、填空题
7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．
解析：a＝0，y＝－x2＋3结合二次函数的单调性知．
答案：增区间(－∞，0)，减区间[0,3]
8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即为奇函数．
答案：奇函数
9．若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，又在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式x·f(x)<0的解集是________．
解析：
∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，则f(x)的简图如右图所示．
∴当x<0时，f(x)>0，
则x∈(－3,0)；
当x>0时，f(x)<0，
则x∈(0,3)．
答案：(－3,0)∪(0,3)
三、解答题
10．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x|x－2|，求x<0时，f(x)的表达式．
解：∵x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|(－x)－2|＝x|x＋2|.
故当x<0时，f(x)＝x|x＋2|.
11．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
解：(1)由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)∵f(x)为奇函数．
∴f(－3)＝－f(3)＝a，
∴f(3)＝－a.
又∵f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
∴f(12)＝－4a.
创新题型
12．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，对任意a、b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有eq \f(fa＋fb,a＋b)>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；
(2)解不等式f(x－eq \f(1,2))
b，则a－b>0，依题意有
eq \f(fa＋f－b,a＋－b)>0成立，∴f(a)＋f(－b)>0.
又∵f(x)是奇函数，∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)可知f(x)在[－1,1]上是增函数．则所求不等式等价于
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤x－\f(1,2)≤1，,－1≤2x－\f(1,4)≤1，解得－\f(1,4)
分析
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：以偶函数的图象特征进行判断．
解析：∵偶函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．因此，若一根为x1，则它关于y轴对称的根为－x1；若一根为x2，则它关于y轴对称的根为－x2，故f(x)＝0的四根之和为x1＋(－x1)＋x2＋(－x2)＝0.∴应选D.
答案：D
温馨提示：函数的奇偶性实质上是其图象的对称性，因此当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时，我们不妨利用图象的对称性来解决问题，或者研究关于原点对称区间上的函数值的有关规律即可．
【例2】 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0.则当n∈N＋时，有( )
A．f(－n)0得f(x)在x∈(－∞，0]为增函数．
又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈[0，＋∞)为减函数．
又f(－n)＝f(n)且0≤n－1
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