考研数学真题2007真题

黄先开 辅导地位：历届考生公认的“线性代数第一人”，北京理工大学应用数学系硕士，中国科学院数学与系统科学研究院获博士，美国哈佛大学访问学者，现任北京工商大学数学系主任、教授。 授课特点：理论扎实， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达独到，基础为纲，技巧为器，言简意赅，重点突出，伐毛洗髓，效果极佳 名师风采：曾被评为北京市优秀青年骨干教师；1997年被授予“有突出贡献的部级青年专家”称号；曾在国内外一级刊物上发表论文30余篇，单独完成以及合作完成数学专著10多部。 曹显兵 辅导地位：考研数学辅导的“概率第一人”；数学系教授，中国科学院数学与系统科学研究院博士，现任北京工商大学数理部主任。 授课特点：功底扎实，讲解透彻，条理清晰，重点突出，循循善诱，培养能力，举一反三，脱胎换骨。 名师风采：已承担国家自然科学基金项目三项，省部级项目两项；在国内外重要学术刊物上发表论文29篇，其中多篇被国际三大检索系统（SCI，EI，ISTP）收录；独立完成专著两部，合作完成考研著作多部。 2007年数学一试题分析、详解和评注 分析解答所用参考书：1.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学经典讲义（理工类）》，简称经典讲义（人大社出版）. 2.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学历年真题题型解析》，简称真题（人大社出版）. 3.黄先开、曹显兵教授在2006强化辅导班上的讲稿. 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当 时，与 等价的无穷小量是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 【 】 【答案】 应选(B). 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】当 时，有 ； ； 利用排除法知应选(B). 【评注】 本题直接找出 的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上， = 完全类似例题见《经典讲义》P.28例1.63, 例1.64, 例1.65及辅导班讲义例1.6. (2)曲线 ，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.　 【 】 【答案】 应选(D). 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为 ，所以 为垂直渐近线； 又 ，所以y=0为水平渐近线； 进一步， = ， = = ， 于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). 【评注】 一般来说，有水平渐近线(即 )就不再考虑斜渐近线，但当 不存在时，就要分别讨论 和 两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x<0 的一侧有水平渐近线，而在x>0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数 当 时极限不存在，必须分 和 进行讨论。 重点提示见《经典讲义》P.145页，类似例题见P.150例7.13, 例7.14及辅导班讲义例7.8. (3)如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设 则下列结论正确的是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 【 】 【答案】 应选(C). 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积： ， F(3)是两个半圆面积之差： = ， EMBED Equation.3 因此应选(C). 【评注1】 本题F(x)由积分所定义，应注意其下限为0，因此 ，也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立. 【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的巧妙之处。 完全类似例题见《经典讲义》P.152例7.15, 例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12 (4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是： (A) 若 存在，则f(0)=0. (B) 若 存在，则f(0)=0. (C) 若 存在，则 存在. (D) 若 存在，则 存在 【 】 【答案】 应选(D). 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。 【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若 存在，则 ，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例： 在x=0处连续，且 = 存在，但 在x=0处不可导。 重要知识点提示见《经典讲义》P.39，完全类似例题见P.41例2.1, P.42例2.6及P.60习题2及辅导班讲义例2.5. (5)设函数f (x)在 上具有二阶导数，且 令 , 则下列结论正确的是： (A) 若 ，则 必收敛. (B) 若 ，则 必发散. (C) 若 ，则 必收敛. (D) 若 ，则 必发散.　 【 】 【答案】 应选(D). 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】 设f (x)= , 则f (x)在 上具有二阶导数，且 ，但 发散，排除(C); 设f(x)= , 则f (x)在 上具有二阶导数，且 ，但 收敛，排除(B); 又若设 ，则f(x)在 上具有二阶导数，且 ，但 发散，排除(A). 故应选(D). 【评注】也可直接证明(D)为正确选项. 若 ，则存在 ，使得 . 在区间 上应用拉格朗日中值定理, 存在 使得 , 又因为在 上 因此 在 上单调增加，于是对 有 . 在区间 上应用拉格朗日中值定理, 存在 使得 , 即 故应选(D). 重要提示与例题见《经典讲义》P.19例1.40, 例1.41、《真题（一）P.40题3》及辅导班讲义例1.12 (6)设曲线 具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 【 】 【答案】 应选(B). 【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。 【详解】 设M 、N点的坐标分别为 . 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有： ; ; ; . 故正确选项为(B). 【评注】 对于线、面积分，应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简，然后再积分. 重要提示见《经典讲义》P.239，完全类似例题见P.240例12.1, 例12.2,例12.5及辅导班讲义例12.3. (7) 设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】 【答案】应选(A) . 【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系 ， 即(A)中3个向量组有线性相关, 所以选(A) . 【详解2】用定义进行判定:令 ， 得 . 因 线性无关，所以 又 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即 线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. 这是一个基本题，完全类似的问题见《经典讲义》P314例3.5和辅导班上对应章节的例题 (8) 设矩阵 , , 则A与B (A) 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 , 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】 【答案】应选 (B) . 【详解】 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1，从而A与B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) . 【评注】1)若A与B相似, 则| A |=| B |；r(A)= r(B)；tr(A)= tr(B); A与B有相同的特征值. 2)若A、B为实对称矩阵, 则A与B合同( r(A)= r(B), 且A、B有相同的正惯性指数. 完全类似的问题见《历年真题（一）》P307的小结 (9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0