系统综合评价教案第5章层次分析法3判断矩阵含义、一致性检验-修

判断矩阵 层次分析法获取信息的基本思路：通过引入合适的标度数值，定量地衡量人们对于每一层次中各因素相对重要性（定性的判断）。 1、 判断矩阵的形式和含义 判断矩阵表示针对上一层次的某因素，本层次与之有关的因素之间相对重要性的比较。假定A层因素中Ak与下一层次B中的B1，B2，…，Bn有联系，则将构造的判断矩阵以 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 形式表示为： Ak B1 B2 … Bn B1 δ11 δ12 … δ1n B2 δ21 δ22 … δ2n … … … … … Bn δn1 δn2 … δnn 判断矩阵也可以表示为 其中， EMBED Equation.3 表示因素Bi与Bj相对Ak的重要性标度值。 在判断矩阵A中，其元素 满足以下关系： ； ； 由矩阵理论可知，矩阵A是正互反矩阵。 2、判断矩阵的标度及其含义 A.L.Saaty 引用了1-9标度方法使定性评价转化为定量的评价。 表5-3 判断矩阵标度及其含义 标度 含 义 1 表示两个因素相比，具有同样重要性 3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 2，4，6，8 介于以上两相邻判断的中值 倒数 指标Bi与Bj相比得判断 ，则Bj与Bi 比较得判断1/ 选择1-9比率标度方法的依据： （1）实际中，当被比较的事物在被考虑的属性方面具有同一个数量级或很接近时，定性的区别才有意义，也才有一定的精度。 （2）在估计事物质的区别性时，可以用五种判断很好的表示：即相等、较强、强、很强、绝对强。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间作出比较。这样，总共有九个数值，具有连贯性，即其具有较强的应用可操作性。 （3）在同时比较中，7±2个项目为心理学极限。如果取7±2个元素进行逐对比较，它们之间的差别可以用九个数字表示出来。 （4）社会调查也说明，在一般情况下，人们至多需要七个标度点来区分事物之间质的差别或重要性程度的不同。 （5）如果需要用比标度1-9更大的数，可以用层次分析法将因素进一步分解聚类，在比较这些因素之前，先比较这些类，这样就可使所比较的因素间质的差别落在1-9标度范围内。 3、 判断矩阵的一致性条件 因素之间的关系应该具有传递性： （1）若已知因素X2与因素X1的相对重要关系系数δ21， （2）因素X3与因素X2的相对重要关系系数δ32， （3）根据δ21和δ32得到X3与X1的相对重要关系系数 。 推广到一般的情况，即为判断矩阵 一致性条件。 EMBED Equation.3 定义5.1：若判断矩阵 满足一致性条件, ， 则称A为一致性矩阵。 设A为一致阵，则A具有下列性质： （1）一致性正矩阵是正互反矩阵； （2）A的转置矩阵A也是一致性矩阵； （3）A的每一行均为任意指定一行的正数倍数，并且秩（A）=1； （4）A的最大特征值 ；其余特征值均为0； （5）若A的属于 的特征向量为 , 则 。 根据主观判断所构造的判断矩阵具有互反性，但由于判断矩阵的确定受到专家知识水平和个人偏好的影响，构造的判断矩阵一般很难满足一致性条件。因此，为保证可信度和准确性，必须进行一致性检验。 例如：A~B的关系判断矩阵；B1~C1的关系判断矩阵。 δ13=3，δ23=1，则δ12=δ13/δ23=3/1=3—— 一致 δ13=2，δ23=1/2，则δ12=δ13/δ23=2/1/2=4≠3—— 不一致 4、 判断矩阵的一致性检验方法 定理5.4 设正互反矩阵 ， 是A的最大特征值，则 定理 5.5 设正互反矩阵 ， 是A的特征值，则 定理 5.6 设正互反矩阵 ，A是一致性矩阵的充分必 要条件 由矩阵理论可知，特征值是连续地依赖于 ，根据判断矩阵与其特征值的变化特点： （i）若n阶判断矩阵A的最大特征值 比n大得多，矩阵A的不一致性就越严重； （ii）若n阶判断矩阵A的最大特征值 和n接近，则矩阵A的一致性就越好。 结论：用判断矩阵的特征值的变化检查判断矩阵的一致性程度。 定义5.2 衡量矩阵A的不一致程度的数量指标为一致性指标 （consistency index），满足： 注意： （i）考虑一致性与矩阵阶数n之间的关系——为了得到一个对不同阶数的判断矩阵均适用的一致性检验的临界值。 （ii）一般地，判断矩阵的阶数越大，元素之间的关系就更难达到一致性。 （iii）2阶互反矩阵总是一致性矩阵，构造3阶判断矩阵也容易达到，而对于9阶矩阵需独立给出的两两比较判断的数据为36个，这就很难使这36个判断达到一致性。 （iv）根据判断矩阵的阶数n对一致性指标 进行修正。T.L.Saaty提出用平均随机一致性指标 （random index）修正 的方法。 判断矩阵有可接受的不一致性；否则，就认为初步建立的判断矩阵是不能令人满意的，需要重新赋值，仔细修正，直至一致性检验通过为止。 平均随机一致性指标 的计算过程如下： （1）对于固定的n阶矩阵，从 中独立地随机抽取 个值，作为矩阵上三角元素，主对角线元素取为1，下三角元素取三角对称元素的倒数，得到随机正互反矩阵A； （2）计算矩阵A的一致性指标 ， ； （3）重复上述步骤得到足够数量的样本，计算 的样本均值，表5-4给出了样本容量为1000的 均值。 表5-4 平均随机一致性指标 值 n 2 3 4 5 6 7 8 0 0.5149 0.8931 1.1185 1.2494 1.3450 1.4200 n 9 10 11 12 13 14 15 1.4616 1.4874 1.5156 1.5405 1.5583 1.5779 1.5894 5、判断矩阵的计算 （1）特征向量和最大特征值 计算 A. 乘积方根法（几何平均值法） （i）构造如式（5-3）的矩阵A； （ii）先按行将各元素连乘并开n次方，即求各行元素的几何平均值： （iii）再把 归一化，即求得最大特征值所对应的特征向量的分量： （iv）由 ，则判断矩阵A的最大特征值 满足： 。即得到： （v）计算判断矩阵的最大特征值 。 例5.1：引例中，由A-B的判断矩阵 由式（5-11）和式（5-12）得 = =4.00 271/4=2.28,W=(0.49,0.17,0.17,0.17) 2.02=1*0.49+0.17*3*3 B. 和法 （i）构造如式（5-3）的矩阵A； （ii）将判断矩阵A按列作归一化处理，得矩阵 ， 其中 （iii）将矩阵 按行相加得向量 ，其中 （iv）把 归一化，即求得最大特征值所对应的特征向量： （v）计算判断矩阵的最大特征值 。 例5.2：例5.1中A-B的判断矩阵用列和求逆法计算最大特征值 的过程为 所以 则 = =4.00 2.0=0.5+0.5+0.5+0.5 2.02=0.49*1+0.17*3+0.17*3+0.17*3 例5.3：引例 B1—C1一致性检验 由表5-1有 由式（5-11）~式（5-14）得 =4.09；这里 ，则 = =0.03 查表5-4，得 ，有 = ，该矩阵满足一致性要求。 注意：判断矩阵调整 一般采用如下的方法： （1）利用矩阵的行变换把判断矩阵中的第n列元素变成1，即 若 ，则矩阵B各列的元素彼此相近，即 。 （2）观察矩阵B各列的数据是否相近，如果某列中有数据互不相近，则可重新考虑判断矩阵A中相应元素的赋值，从多方面进行推敲，给予适当的修正，使之相近。 （3）如果B各列在某同一行上的元素都出现偏大或偏小的情况，则可修正矩阵 相应行的最后一列元素的赋值。 例5.4：设有判断矩阵 经计算有 ，不满足不符合一致性条件，必须对判断矩阵的赋值进行调整。 X2比X1明显重要，X3比明显重要X1，X2比X3稍微重要 （1）利用矩阵的行变换把判断矩阵中的第3列元素变成1，即 （2）观察矩阵B各列的数据是否相近，第2列中有数据相差较大，重新考虑判断矩阵A中相应元素的赋值。这里B中第2行上的元素都出现偏小的情况，则修正矩阵A第2行的最后一列元素的赋值，即调整 ，取为 ，则新判断矩阵为（偏小，则调小；偏大则调大）： （3）再进行一致性检验 有 计算出判断矩阵 的一致性指标 得： 即满足一致性检验。 PAGE 28 _1221137684.unknown _1221139909.unknown _1221141924.unknown _1221143165.unknown _1221143752.unknown _1221143891.unknown _1221144191.unknown _1221144286.unknown _1221143963.unknown _1221143824.unknown _1221143612.unknown _1221143644.unknown _1221143221.unknown _1221143094.unknown _1221143137.unknown _1221143035.unknown _1221140309.unknown _1221140462.unknown _1221141552.unknown _1221140393.unknown _1221140183.unknown _1221140288.unknown _1221139975.unknown _1221139817.unknown _1221139870.unknown _1221139887.unknown _1221138064.unknown _1221139779.unknown _1221139795.unknown _1221138034.unknown _1191681566.unknown _1221136446.unknown _1221137345.unknown _1221137632.unknown _1221137641.unknown _1221137591.unknown _1221137297.unknown _1221137311.unknown _1221137262.unknown _1221136279.unknown _1221136357.unknown _1221136433.unknown _1221136244.unknown _1221136265.unknown _1191907838.unknown _1191908019.unknown _1191677822.unknown _1191678649.unknown _1191681426.unknown _1191681449.unknown _1191681525.unknown _1191681438.unknown _1191681399.unknown _1191681414.unknown _1191678717.unknown _1191681369.unknown _1191681382.unknown _1191678732.unknown _1191678661.unknown _1191678398.unknown _1191678436.unknown _1191678558.unknown _1191678415.unknown _1191677996.unknown _1191678317.unknown _1191678357.unknown _1191678141.unknown _1191677893.unknown _1175948487.unknown _1185079906.unknown _1185084795.unknown _1185101700.unknown _1191677813.unknown _1185087129.unknown _1185088502.unknown _1185079920.unknown _1177242033.unknown _1177242724.unknown _1176014048.unknown _1176040572.unknown _1176041032.unknown _1176013947.unknown _1175366081.unknown _1175948421.unknown _1175408300.unknown _1175365993.unknown