数学分析华东师范大学编第三章： 函数极限3.5

§5 无穷小量与无穷大量 1. 证明下列各 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 : (1) ( ); (2) ( ); (3) ( ); (4) ( ) , 为正整数; (5) ( ) ; (6) ( ) (7) ( ). 证: (1)因 ,故 ( ). (2) 因 ,故 ( ). (3) 因 ,故 ( ). (4)因 ,故 ( ) 即 ( ) (5)因 , 故 ( ) (6) 由于 故 ( ) (7) 由于 故 ( ). 2. 运用 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 3.12,求下列极限: (1) ; (2) . 解: (1) 由于 ,故 ( ), 由定理3.12可知 EMBED Equation.3 (2) 由于 , 故 , ( ); ( ), 由定理3.12可知 . 3. 证明定理3.13. 定理3.13 : (Ⅰ)若 为 时的无穷小量,且在 内 不等于零,则 为 时的无穷大量. (Ⅱ)若 为 时的无穷大量, 则 为 时的无穷小量. 证: (Ⅰ)由题设 为 时的无穷小量,故 . 从而对任给正数 ,必存在正数 ,当 时,有 , 又由于 在 内不等于零, 故当 时,有 .因此 (Ⅱ) 由题设 为 时的无穷大量, 从而对任给正数 ,必存在正数 ,当 时,有 ,故 ,从而 . 4. 求下列 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示曲线的渐进线: (1) ; (2) ; (3) . 解: (1) ( ) 得 再由 ( )得 ,从而此曲线斜渐进线方程为 . 又因 ( ),所以 , 所以此曲线有垂直渐进线 . (2) ( ),得 , 再由 ( ) ,得 . 由 ( ),得 从而此曲线斜渐进线方程为 和 . (3) ( ) , 得 , 再由 ( ) ,得 . 从而此曲线斜渐进线方程为 . 又由 ,易见 , , 所以此曲线有垂直渐进线 和 . 5.试确定 的值,使下列函数与 , 当 时为同阶无穷小量: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 解: (1)由于当 时 EMBED Equation.3 从而 .由此可见当 时,该极限为 , 因而当 时, 与 ,当 时为同阶无穷小量. (2) 由于当 时 , 从而 ,由此可见当 时,该极限为 , 因而当 时, 与 ,当 时为同阶无穷小量. (3) 由于当 时 从而 . 因此当 时, 与 , 当 时为同阶无穷小量. (4) 由于当 时 从而 因此当 时, 与 , 当 时为同阶无穷小量. 6. 试确定 的值,使下列函数与 , 当 时为同阶的无穷大量: (1) ; (2) ; (3) . 解: (1) 由于当 时, 从而 ,因此当 时, 与 , 当 时为同阶无穷大量. (2) 由于当 时, , 从而 , 故当 时, . 从而当 时, 与 , 当 时为同阶无穷大量. (3) 由于当 时, EMBED Equation.3 从而 因此, 当 时, 与 , 当 时为同阶无穷大量. 7.证明:若 为无上界数集,则存在一递增数列 ,使得 ( ). 证: 由题设 无上界,故对任给正数 ,存在 ,使 . 对 ,存在 ,使 对 ,存在 ,使得 ,且 . 一般地, 对 ,必存在 ,使得 ,且 . 如此得到递增数列 ,下证 为无穷大量( ). 对任给正数 ,必存在自然数 ,使 ,再由上面的做法知,当 时,有 . 故 . 8.证明:若 为 时的无穷大量,而在 上 ,则 为 时的无穷大量. 证:由题设 为 时的无穷大量,而在 上 ,因而对任给正数 ,存在正数 (使 EMBED Equation.3 ),当 时,有 , 于是,当 时,便有 . 故 为 时的无穷大量. 9.设 ( ),证明: 或 . 证: 由于 , ( ),从而 EMBED Equation.3 . 可见 ,同理 . _1182242260.unknown _1182242902.unknown _1182243442.unknown _1182281318.unknown _1182281716.unknown _1182282751.unknown _1182283203.unknown _1182283480.unknown _1182284026.unknown _1182284215.unknown _1182284337.unknown _1182284595.unknown _1182284596.unknown _1182284391.unknown _1182284416.unknown _1182284352.unknown _1182284271.unknown _1182284280.unknown _1182284238.unknown _1182284027.unknown _1182284180.unknown _1182283579.unknown _1182283644.unknown _1182283699.unknown _1182283718.unknown _1182283613.unknown _1182283621.unknown _1182283525.unknown _1182283547.unknown _1182283488.unknown _1182283304.unknown _1182283323.unknown _1182283418.unknown _1182283355.unknown _1182283315.unknown _1182283270.unknown _1182283289.unknown _1182283216.unknown _1182283085.unknown _1182283120.unknown _1182283157.unknown _1182283181.unknown _1182283144.unknown _1182283101.unknown _1182282777.unknown _1182283004.unknown _1182283076.unknown _1182282980.unknown _1182282946.unknown _1182282954.unknown _1182282837.unknown _1182282769.unknown _1182282191.unknown _1182282392.unknown _1182282510.unknown _1182282542.unknown _1182282632.unknown _1182282491.unknown _1182282303.unknown _1182282348.unknown _1182282292.unknown _1182281866.unknown _1182282183.unknown _1182282078.unknown _1182282108.unknown _1182281917.unknown _1182282024.unknown _1182281848.unknown _1182281531.unknown _1182281547.unknown _1182281709.unknown _1182281485.unknown _1182281526.unknown _1182281406.unknown _1182281479.unknown _1182281083.unknown _1182281165.unknown _1182281278.unknown _1182281303.unknown _1182281217.unknown _1182281094.unknown _1182281145.unknown _1182243606.unknown _1182280956.unknown _1182281048.unknown _1182280933.unknown _1182280941.unknown _1182243607.unknown _1182243495.unknown _1182243605.unknown _1182243465.unknown _1182243183.unknown _1182243351.unknown _1182243378.unknown _1182243436.unknown _1182243373.unknown _1182243227.unknown _1182243264.unknown _1182243203.unknown _1182243055.unknown _1182243131.unknown _1182243163.unknown _1182243093.unknown _1182242994.unknown _1182242916.unknown _1182242951.unknown _1182242563.unknown _1182242728.unknown _1182242827.unknown _1182242861.unknown _1182242881.unknown _1182242785.unknown _1182242813.unknown _1182242757.unknown _1182242771.unknown _1182242676.unknown _1182242692.unknown _1182242658.unknown _1182242425.unknown _1182242508.unknown _1182242537.unknown _1182242495.unknown _1182242346.unknown _1182242362.unknown _1182189232.unknown _1182241978.unknown _1182242182.unknown _1182242199.unknown _1182242224.unknown _1182242070.unknown _1182242148.unknown _1182242049.unknown _1182241679.unknown _1182241956.unknown _1182241732.unknown _1182241882.unknown _1182241934.unknown _1182241890.unknown _1182241757.unknown _1182241697.unknown _1182189760.unknown _1182241609.unknown _1182241638.unknown _1182189761.unknown _1182189312.unknown _1182189356.unknown _1182189282.unknown _1182188053.unknown _1182188372.unknown _1182189042.unknown _1182189187.unknown _1182188528.unknown _1182188617.unknown _1182188441.unknown _1182188160.unknown _1182188218.unknown _1182188309.unknown _1182188084.unknown _1182188123.unknown _1182187919.unknown _1182187975.unknown _1182187992.unknown _1182187945.unknown _1182187769.unknown _1182187807.unknown _1182187872.unknown _1182187789.unknown _1182187725.unknown _1182187745.unknown