高中数学练习题向量导数的应用

《向量、导数的应用》 【试题预测】 向量、导数是新教材新增内容，体现了现代数学思想。向量在解决几何问题、物理问题有重大的作用，导数在研究函数性质时，有其独到之处。近年来以向量为背景的试题的高考分值约占10%，考察导数知识的试题的高考分值约占10%，从题型上看主要有以下几个特点： 1、向量作为工具性知识，与三角函数综合，与立体几何、解析几何综合，一般为中、低档题。 2、利用导数求函数的最大值和最小值；求曲线的切线方程；判定曲线与曲线的位置关系，中档题居多。 3、利用向量解决物理中的运动学、力学问题不可忽视。 【例题】 例1、设a=(1+cosα,sinα)，b=(1-cosβ，sinβ)，c=(1，0)，α∈(0，π)，β∈(0，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2= ，求 的值。 解析：不妨平移 ，使它们起点为原点，如图 ∴ ∵ ， ，∴ ∵ ∴ 代入 ∴ ∴ 点拨：计算两条向量的夹角问题，与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美。 例2、如图，设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F。经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O。 解析：法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F( 0)，则C( y2) 则 ∵ 与 共线 ∴ 即 （*） 而 代入（*）式整理得，y1·y2=-p2 因为 ∴ 与 是共线向量，即A、O、C三点共线，也就是说直线AC经过原点O 法二：分析：设A(x1,y1)，C( ,y2)，B(x2,y2) 欲证A、O、C共线，只需且仅需 ，即 又 ∴ 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明。 点拨：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。 例3、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点 （1） 证明AD⊥D1F； （2） 求AE与D1F所成的角； （3）证明面AED⊥面A1FD1。 证明：分别以DC、AD、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系。 设正方体的边长为2a，则D（0，0，0），A（0，-2a，0），F（a，0，0） D1（0，0，2a），A1（0，-2a，2a），E（2a，-2a，a） （1） 由 =（0,2a,0）， =(a,0,-2a)，得 · =0·a+2a·0+0·(-2a)=0 ∴ ⊥ ，即AD⊥D1F （2） 由 =(2a,0,a)， =(a,0,-2a)，得 · =2a·a+0·0+a·(-2a)=0 ∴ ⊥ ，即AE与D1F所成的角为900 （3） 由（1）、（2）可知， ⊥ ， ⊥ ，故D1F⊥平面AED ∵ D1F 平面A1FD1 ∴ 面AED⊥面A1FD1 点拨：通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线。一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了。 例4、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD （1） 证明：C1C⊥BD； （2） 当 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD。请给出证明。 证明：如设∠C1CB=θ，由题设，∠C1CD=∠BCD=θ 令 =a， =b， =c，|a|=1，|c|=x，因为四边形ABCD为菱形，所以|b|=1， （1）∵ a-b ∴ · =c·(a-b)=c·a-c·b=1·x·cosθ-1·x·cosθ=0 ∴ C1C⊥BD （2）假设A1C⊥平面C1BD成立 则A1C⊥C1D，从而 · =0 由于 =a-c， =a+b+c 因此 · =(a+b+c)·(a-c)=a2+b·a+c·a-a·c-b·c-c2 =a2+b·a+b·c-c2=1+1·1·cosθ-1·x·cosθ-x2 =（1-x）(1+x+cosθ) 从而(1-x)·(1+x+cosθ)=0 由于1+x+cosθ＞0，因此，x=1  也就是说 时，A1C⊥平面C1BD成立 点拨：平行六面体的12条棱共分三组，每组四条棱两两平行，故可取共顶点的三条棱作为空间向量的基底，此题中 ， ， 三个共点向量为基底，其余向量可由此三个向量生成。 例5、（1）在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； （2）一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，求t=2时的瞬时速度。 解析：（1） 当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14） 故所求切线的方程为3x-y-11=0 （2） =6t+1，当t=2时， =13， ∴ 当t=2时，质点的瞬时速度为13 点拨：1、导数的几何意义： 就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率，即 =k切线。 2、瞬时速度是路程s对时间t的导数，即v= 。 例6、是否存在这样的k值，使函数 在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增。 解析：f(x)=4k2x3-2x2-2kx+2，由题意，当x∈（1，2）时， ＜0 当x∈(2，+∞)时， ＞0 由函数 的连续性可知 =0 即32k2-8-3=0得 或 验证：当 时， 若1＜x＜2， ， 若x＞2， ，符合题意 当 时， 显然不合题意 综上所述，存在 ，满足题意 点拨：利用导数处理单调性问题，讨论的区间是开区间，注意递增与递减区间的交界处的导数为0，本题求出k值后还需讨论验证。 例7、设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4， （1）求a、b、c的值；（2）求函数的递减区间。 解析：（1）函数的图象经过（0，1）点 ∴ c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点， =3x2+2ax+b ∴ 0=3×02+2a×0+b，得b=0 ∴ y=x3+ax2， =3x2+2ax 当 时， ，当 时， 当x= 时，函数有极小值-4 ∴ ，得a=-3 （2） =3x2-6x＜0，解得0＜x＜2 ∴ 递减区间是（0，2） 点拨：1、如果函数f(x)在点x=x0的一个δ区域：(x0-δ，x0+δ)内有定义，对任意的x∈(x0-δ，x0)∪(x0，x0+δ)总有f(x)＜f(x0)（f(x)＞f(x0)），则称f(x0)为函数f(x)的极大（小）值，x0称为极大（小）值点； 2、注意极值与最值的区别，极值是相对于领域而言，它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小，而最值是相对于闭区间而言，它是函数在给定的闭区间上的全部函数值中最大（小）的值。 【课外练习】 1、 选择题 1、双曲线 （a＞0，b＞0）的离心率e= ，点A与点F分别是双曲线的左顶点和右焦点，B(0，b)，则∠ABF等于 （ ） A、450 B、600 C、900 D、1200 2、过抛物线y=x2上的点M（ ， ）的切线的倾斜角是 （ ） A、300 B、450 C、600 D、900 3、若f(x)=ax3+bx2+cx+d（a＞0）为增函数，则 （ ） A、b2-4ac＞0 B、b＞0，c＞0 C、b=0，c＞0 D、b2-3ac＜0 4、函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则 （ ） A、0＜b＜1 B、b＜1 C、b＞0 D、0＜b＜ 5、向量a=(cosy，siny)，b=(cosx，sinx)，已知x=y+ ，则a与a+b的夹角为（ ） A、 B、 C、 D、 2、 填空题 6、函数y=x3-3x+3在[ ]上的最小值是____________。 7、垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是____________。 8、已知：4a-2b=(-2, )，c=(1， )，a·c=3，|b|=4，则b与c的夹角为________。 9、已知A（1，2），B（2，k），C（-5，5），且△ABC是直角三角形，这样的k唯一吗？为什么？____________________________________。 10、质量为5kg的物体运动的速度v=(18t-3t2)m/s在时间t=2秒时所受外力为________N。 三、解答题 11、设 ＜a＜1，函数f(x)=x3- ax2+b（-1≤x≤1）的最大值为1，最小值为 ，求常数a、b。 12、过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为 ，求证：∠ =900。 13、设抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为A、B，点M在抛物线的AB弧上运动，设 达到最大值时，点M的坐标为（p，h） （1） 求过点（p，h）的切线方程； （2）证明：若与直线AB平行的直线截抛物线y=4-x2的弦为CD，则CD被直线x=p平分。 14、直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=900，AB=5，BB1=B1C1=3，求异面直线A1C与BC1所成的角的余弦值。 15、用总为长14.8m的钢条制成一个长方体的容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。 16、已知：函数y=f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2时取得极值，且图象与直线：y=-3x+3相切于点P（1，0） （1） 求函数y=f(x)的解析式； （2）讨论函数y=f(x)（-3≤x≤3）的增减性，并求函数的最大值与最小值以及相应的x的值。 【参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】 1、C 2、B 3、D 4、D 5、B 6、1 7、3x+y+6=0 8、600 9、不唯一：k=3或9 10、30 11、 12、略 13、（1）12x-4t-11=0 （2）略 14、 15、高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3 16、（1）f(x)=x3+x2-8x+6 14题图 （2）当x=-2，x=3时，y最大=18；当x= 时，y最小= � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� 12 1 _1110036001.unknown _1110038129.unknown _1110040171.unknown _1110040569.unknown _1110041365.unknown _1110114567.unknown _1110114647.unknown _1110041774.unknown _1110041786.unknown _1110041567.unknown _1110040810.unknown _1110040878.unknown _1110040921.unknown _1110040864.unknown _1110040762.unknown _1110040783.unknown _1110040587.unknown _1110040426.unknown _1110040454.unknown _1110040499.unknown _1110040438.unknown _1110040380.unknown _1110040408.unknown _1110040345.unknown _1110039608.unknown _1110039685.unknown _1110040042.unknown _1110040164.unknown _1110039984.unknown _1110039634.unknown _1110039653.unknown _1110039622.unknown _1110039505.unknown _1110039578.unknown _1110039597.unknown _1110039560.unknown _1110038154.unknown _1110038237.unknown _1110038143.unknown _1110037575.unknown _1110037988.unknown _1110038043.unknown _1110038065.unknown _1110038105.unknown _1110038056.unknown _1110038018.unknown _1110038035.unknown _1110038002.unknown _1110037751.unknown _1110037828.unknown _1110037965.unknown _1110037791.unknown _1110037671.unknown _1110037713.unknown _1110037642.unknown _1110036893.unknown _1110037301.unknown _1110037397.unknown _1110037407.unknown _1110037386.unknown _1110036927.unknown _1110036940.unknown _1110036906.unknown _1110036640.unknown _1110036746.unknown _1110036761.unknown _1110036655.unknown _1110036603.unknown _1110036626.unknown _1110036495.unknown _1110034555.unknown _1110034904.unknown _1110035607.unknown _1110035809.unknown _1110035862.unknown _1110035881.unknown _1110035833.unknown _1110035704.unknown _1110035769.unknown _1110035777.unknown _1110035719.unknown _1110035626.unknown _1110035014.unknown _1110035052.unknown _1110034975.unknown _1110034721.unknown _1110034803.unknown _1110034895.unknown _1110034757.unknown _1110034674.unknown _1110034688.unknown _1110034651.unknown _1110031650.unknown _1110034340.unknown _1110034517.unknown _1110034536.unknown _1110034399.unknown _1110031796.unknown _1110034296.unknown _1110031719.unknown _1110031522.unknown _1110031589.unknown _1110031624.unknown _1110031557.unknown _1110031395.unknown _1110031418.unknown _1110031394.unknown