常微分方程课后答案习题5.3

习题5.3 4ab.5a.6b.8c 1、 假设A是n n矩阵，试证： a) 对任意常数 、 都有 exp( A+ A)=exp A·exp A b) 对任意整数k,都有 (expA) =expkA (当k是负整数时， 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 (expA) ＝[(expA) ] ) 证明：a) ∵（ A）·（ A）＝（ A）·（ A） ∴ exp( A+ A)= exp A·exp A b) k>0时，(expA) ＝expA·expA……expA ＝exp（A+A+……+A） ＝expkA k<0时，-k>0 (expA) ＝[(expA) ] =[exp(-A)] = exp(-A)·exp(-A)……exp(-A) ＝exp[(-A)(-k)] ＝expkA 故 k，都有(expA) =expkA 2、 试证：如果 是 =Ax满足初始条件 ＝ 的解，那么 ＝[expA(t-t )] 证明：由定理8可知 ＝Ф(t)Ф-1(t0) ＋Ф(t) 又因为Ф(t)= expAt , Ф-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0, 又因为矩阵 （At）·（- At0）=（- At0）·（At） 所以 ＝[expA(t-t )] 3、 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量 a） b） c） d） 解：a）det（ E－A）= =( －5)( +1)=0 ∴ =5, =－1 对应于 =5的特征向量u= , ( ) 对应于 =－1的特征向量v= , ( ) b) det（ E－A）=( +1)( +2)( －2)＝0 ∴ ＝－1， ＝2， ＝－2 对应于 ＝－1的特征向量u1＝ EMBED Equation.3 ， （ EMBED Equation.3 0 ） 对应于 ＝2的特征向量u2＝ ， （ ） 对应于 ＝－2的特征向量u3＝ ， （ ） c）det（ E－A）= ＝( +1)2( －3)＝0 ∴ ＝－1（二重）， ＝3 对应于 ＝－1（二重）的特征向量u＝ ， （ EMBED Equation.3 0 ） 对应于 ＝3的特征向量v＝ , （ ） d) det（ E－A）= =( +3)( +1)( +2)=0 ∴ ＝－1， ＝－2， ＝－3 对应于 ＝－1的特征向量u1＝ ， （ EMBED Equation.3 0 ） 对应于 ＝－2的特征向量u2＝ ， （ ） 对应于 ＝－3的特征向量u3＝ ， （ ） 4、 试求方程组 =Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为： a） b） c） d） 解：a）det（ E－A）=0得 ＝ ， ＝－ 对应于 的特征向量为u＝ ， （ EMBED Equation.3 0 ） 对应于 的特征向量为v＝ EMBED Equation.3 ， （ ） ∴u＝ ，v＝ 是对应于 ， 的两个线性无关的特征向量 Ф(t)= 是一个基解矩阵 ExpAt= b) 由det（ E－A）=0得 ＝5， ＝－1 解得u＝ ，v＝ 是对应于 ， 的两个线性无关的特征向量 则基解矩阵为Ф(t)＝ Ф(0)＝ Ф－1(0)＝ 则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝ c） 由det（ E－A）=0得 ＝2， ＝－2， ＝－1 解得基解矩阵Ф(t)＝ Ф－1(0)＝ 则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝ d）由det（ E－A）=0得 ＝－3， ＝2＋ ， ＝2－ 解得基解矩阵Ф(t)＝ 则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝ 5、试求方程组 =Ax的基解矩阵，并求满足初始条件 解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为 所以 b）由第4题（d）知，基解矩阵为 Ф(t)＝ 所以 c) 由3（c）可知，矩阵A的特征值为 ＝3， ＝－1（二重） 对应的特征向量为u1＝ ，u2＝ ∴ ＝ ＋ 解得 ＝ 6、 求方程组 =Ax＋f（t）的解 ： 解：a）令 =Ax的基解矩阵为Ф(t) 解得Ф(t)＝ ， 则Ф－1(t)＝ Ф－1(0)＝ 求得 ＝ b）由det（ E－A）=0得 ＝－1， ＝－2， ＝－3 设 对应的特征向量为v1，则 （ E－A）v1=0，得v1＝ 取v1＝ ，同理可得v2 ＝ ，v3＝ 则Ф(t)＝ 从而解得 c）令 =Ax的基解矩阵为Ф(t) 由det（ E－A）=0得 ＝1， ＝2 解得对应的基解矩阵为Ф(t)＝ ∴Ф－1(t)＝ 从而Ф－1(0)＝ ∴ 7、 假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组 有一解形如 其中c，p是常数向量。 证：要证 是否为解，就是能否确定常数向量p 则p（mE－A）＝c 由于m不是A的特征值 故 mE－A存在逆矩阵 那么p＝c（mE－A）－1 这样方程就有形如 的解 8、 给定方程组 a） 试证上面方程组等价于方程组u’=Au,其中 u＝ ，A= b） 试求a）中的方程组的基解矩阵 c） 试求原方程组满足初始条件 x1(0)=0, x1’(0)=1, x2(0)=0 的解。 证：a）令 则方程组①化为 即u’＝ u’=Au ① 反之，设x1=u1,x1’=u2,x2=u3 则方程组②化为 b）由det（ E－A）=0得 ＝0， ＝1， ＝2 由 得 同理可求得u2和u3 取 则 是一个基解矩阵 c）令 ，则①化为等价的方程组①且初始条件变为 而②满足此初始条件的解为： ③ 于是根据等价性，①满足初始条件的解为③式 9、 试用拉普拉斯变换法解第5题和第6题。 证明：略。 10、 求下列初值问题的解： 解：a)根据方程解得 ＝ ， ＝－ ∴ ＝ t＋ ， ＝－ t＋ ∵ ∴ EMBED Equation.3 0＋ ＝1 ∴ ＝1 ∴ ＝ t＋1 ∵ ∴－ EMBED Equation.3 0＋ ＝0 ∴ ＝0 ∴ ＝－ t 综上： ＝ t＋1 ＝－ t b）对方程两边取拉普拉斯变换，得 解得 ∴ c）对方程两边取拉普拉斯变换，得 11、 假设y＝ 是二阶常系数线性微分方程初值问题 的解，试证 是方程 的解，这里f（x）为已知连续函数。 证明：y＝ ∵y’＝ ∴ 02412－04丁晶晶 02412－05徐雪輝 PAGE i _1171210686.unknown _1171217591.unknown _1171274090.unknown _1171276107.unknown _1171278104.unknown _1171279488.unknown _1171279617.unknown _1171279804.unknown _1171281773.unknown _1171283732.unknown _1171283912.unknown _1171284281.unknown _1171284607.unknown _1171284854.unknown _1171284583.unknown _1171284159.unknown _1171283814.unknown _1171283553.unknown _1171283658.unknown _1171282628.unknown 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