数学分析答案第十四章： 幂级数1

第1节 幂级数 1． 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域： （1） ； （2） ； （3） ； （4） EMBED Equation.3 ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） 解：（1）由于 EMBED Equation.3 ，所以收敛半径 ，即收敛区间为 ，但当 时，有 均发散，所以级数 在 时也发散，于是这个级数的收敛区域为 。 （2）由于 EMBED Equation.3 ，所以收敛半径 ，但当 时， ，由于级数 收敛，所以级数 在 也收敛，于是这个级数的收敛区域为 。 （3）由于 = = ，所以 ，收敛半径 ，但当 时，这个级数为 ，通项记为 ，则有 = = = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，于是 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，所以当 时级数 发散，从而可知这个级数的收敛区域为 。 （4）由于 EMBED Equation.3 ，所以收敛半径 ，这个级数的收敛区域为 。 （5）由于 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ，所以收敛半径 ，于是这个级数的收敛区域为 。 （6）由于 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ，所以收敛半径 ，因而级数 的收敛区间为 ，即 ，当 时，级数为 = 收敛，当 时，级数为 ，而由于 ～ 且 发散，故此时原级数发散，于是可得级数 的收敛区域为 。 （7）因为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，又 EMBED Equation.3 ，所以 EMBED Equation.3 ，从而收敛半径 ，又当 时, EMBED Equation.3 ，可见级数 在 时发散，故这个级数的收敛区域为 。 （8）因为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 所以收敛半径 ，收敛区域为 。 2． 应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）： （1） ； （2） ； （3） 解：（1）因为 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ，且 时， 与 都是发散级数，所以幂级数的收敛区域为 ，设其和函数为 ，于是当 时，逐项求导数可得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，所以， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （ ） （2）由于 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ，且当 时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛区域为 ，设其和函数为 ，则 EMBED Equation.3 = = = 因为当 时， EMBED Equation.3 = 所以 EMBED Equation.3 = ，从而 EMBED Equation.3 （ ） （3）因为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，且当 时，这个级数发散，所以幂级数的收敛区域为 ，设其和函数为 ，则 = ， EMBED Equation.3 因而 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 （ ） 所以 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （ ） 3． 证明：设 EMBED Equation.3 在 内收敛,若 也收敛,则 EMBED Equation.3 应用这个结果证明: EMBED Equation.3 . 证: 因为当 时, EMBED Equation.3 收敛,则有 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 已知当 时, 收敛,从而可知, 在 左连续,于是 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( )= 应用这个结果,取 EMBED Equation.3 ,当 时,有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,又级数 EMBED Equation.3 收敛,所以 EMBED Equation.3 . 4.证明: (1) ,满足方程 ; (2) 满足方程 证: (1)因为 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ,故这个幂级数的收敛区间为 ,所以它可以在区间 逐项微分任意次,从而 = EMBED Equation.3 , = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = = = (2) 因为 EMBED Equation.3 ,故这个幂级数的收敛区间为 ,所以它可以在区间 逐项微分任意次,注意到 =1+ =1+ 可得, =1+ =1+ , = , 所以 EMBED Equation.3 = 5.证明:设 为幂级数(2)在 上的和函数,若 为奇函数,则级数(2)仅出现奇次幂的项, 若 为偶函数,则级数(2)仅出现偶次幂的项. 证: 因为 EMBED Equation.3 ,( ),所以有 EMBED Equation.3 ,( ),当 为奇函数时，有 + =0( ),从而 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 而此式当且仅当 EMBED Equation.3 ，故这时必有 EMBED Equation.3 ,( ),当 为偶函数时，有 EMBED Equation.3 =0( ),从而 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 而此式当且仅当 EMBED Equation.3 ，故这时必有 EMBED Equation.3 ,( )。 6．求下列幂级数的收敛域： （1） EMBED Equation.3 ； （2） 解：记 ，则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，所以收敛半径 EMBED Equation.3 ，由于 时， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，故这个幂级数在 处发散，从而此幂级数的收敛区域为 。 （2）因为 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = ,所以收敛半径为 ，又因为 时，有 EMBED Equation.3 所以这个幂级数在 处发散，故这个幂级数的收敛区域为 。 7．证明定理 并求下列幂级数的收敛半径： （1） ； （2） EMBED Equation.3 定理 对于幂级数 ，设 EMBED Equation.3 ， 为收敛半径，则当 （i） 时， EMBED Equation.3 ； （ii） 0时， EMBED Equation.3 ； （iii） EMBED Equation.3 时， =0 证：对任意 ， EMBED Equation.3 ，因此 = EMBED Equation.3 = 于是根据正项级数 判别法的推论2知：当 EMBED Equation.3 时， 收敛，从而 收敛；当 EMBED Equation.3 时，可知 不趋于零，于是 EMBED Equation.3 不趋于零，从而可知 发散，因此 （i）当 时，幂级数 的收敛半径 EMBED Equation.3 ； （ii）当 0时，对任何 皆有 EMBED Equation.3 ，所以 EMBED Equation.3 ； （iii）当 EMBED Equation.3 时，则除 外，对任何 皆有 EMBED Equation.3 ，所以可知 =0。 解：（1）对于 ，因为上极限 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =4 所以 EMBED Equation.3 。 （2）对于 EMBED Equation.3 ，因为 =1 所以 =1。 8．求下列函数的收敛半径及其和函数： （1） ；（2） 解：（1）因为 EMBED Equation.3 =1，所以收敛半径 =1，当 时级数 与 都收敛，故这个幂级数的收敛区域是 ，设 EMBED Equation.3 = 则当 时， EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， 从而可得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 因此 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 故 EMBED Equation.3 （2）因为 EMBED Equation.3 =1，所以收敛半径 =1，当 时级数为 收敛，故这个幂级数的收敛区域是 ，设 EMBED Equation.3 = 则当 时， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 因此 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 设 的和函数是 ，则当 时 = EMBED Equation.3 因为该幂级数在 时收敛，从而它在收敛域的端点 处右，左连续， 所以 当 时， EMBED Equation.3 ； 当 时， EMBED Equation.3 ； 当 时， =0 故和函数为 EMBED Equation.3 9．设 为等差数列 ，试求： （1）幂级数 的收敛半径； （2）数项级数 的和数。 解：（1）设等差数列 的公差为 ，则 ， ， 从而 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =1 ， 所以 。 （2）易见 = = ， ，对于 可考虑幂级数 ，设 EMBED Equation.3 ， 则 EMBED Equation.3 从而 = = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 其中 ，所以 EMBED Equation.3 = ， EMBED Equation.3 令 ，可得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，所以 = ， 从而 = EMBED Equation.3 _1182225210.unknown _1182227298.unknown _1182231571.unknown _1182234243.unknown _1182270920.unknown _1182281880.unknown _1182283466.unknown _1182286322.unknown _1182322685.unknown _1182323468.unknown _1182323804.unknown _1182324063.unknown _1182324483.unknown _1182324578.unknown _1182324626.unknown _1182324784.unknown _1182324846.unknown _1182324694.unknown _1182324602.unknown _1182324509.unknown _1182324374.unknown _1182324465.unknown _1182324276.unknown _1182323941.unknown _1182324032.unknown _1182323909.unknown _1182323696.unknown _1182323750.unknown _1182323723.unknown _1182323657.unknown _1182323681.unknown _1182323537.unknown _1182323613.unknown _1182323102.unknown _1182323304.unknown _1182323422.unknown _1182323235.unknown _1182323016.unknown _1182323041.unknown _1182322984.unknown _1182322761.unknown _1182322909.unknown _1182286953.unknown _1182287152.unknown _1182287219.unknown _1182287854.unknown _1182287188.unknown _1182287071.unknown _1182287097.unknown _1182287012.unknown _1182286540.unknown _1182286805.unknown _1182286868.unknown _1182286766.unknown _1182286572.unknown _1182286707.unknown _1182286389.unknown _1182286427.unknown _1182286337.unknown _1182284179.unknown _1182286135.unknown _1182286248.unknown _1182286275.unknown _1182286211.unknown _1182286223.unknown _1182286183.unknown _1182284343.unknown _1182284378.unknown _1182284623.unknown _1182284353.unknown _1182284254.unknown _1182284308.unknown _1182284224.unknown _1182283885.unknown _1182283905.unknown _1182283993.unknown _1182284120.unknown _1182283949.unknown _1182283711.unknown _1182283734.unknown _1182283765.unknown _1182283787.unknown _1182283602.unknown _1182283624.unknown _1182283683.unknown _1182283548.unknown _1182282171.unknown _1182282662.unknown _1182283090.unknown _1182283394.unknown _1182283444.unknown _1182283367.unknown _1182282924.unknown _1182282973.unknown _1182282849.unknown _1182282307.unknown _1182282406.unknown _1182282428.unknown _1182282349.unknown _1182282260.unknown _1182282072.unknown _1182282139.unknown _1182281910.unknown _1182282007.unknown _1182282027.unknown _1182281990.unknown _1182281359.unknown _1182281623.unknown _1182281786.unknown _1182281858.unknown _1182281763.unknown _1182281567.unknown _1182281374.unknown _1182281484.unknown _1182272263.unknown _1182272808.unknown _1182273436.unknown _1182281133.unknown _1182281245.unknown _1182281321.unknown _1182281211.unknown _1182281077.unknown _1182273148.unknown _1182273222.unknown _1182273077.unknown _1182272485.unknown _1182272650.unknown _1182272807.unknown _1182272547.unknown _1182272348.unknown _1182272368.unknown _1182272280.unknown _1182271866.unknown _1182272115.unknown _1182272221.unknown _1182272251.unknown _1182272203.unknown _1182272020.unknown _1182272052.unknown _1182271988.unknown _1182271748.unknown _1182271827.unknown _1182271852.unknown _1182271790.unknown _1182270952.unknown _1182271020.unknown _1182234637.unknown _1182234796.unknown _1182235604.unknown _1182270764.unknown _1182270909.unknown _1182270808.unknown _1182235031.unknown _1182235191.unknown _1182235582.unknown _1182234903.unknown _1182234693.unknown _1182234777.unknown _1182234650.unknown _1182234314.unknown _1182234464.unknown _1182234515.unknown _1182234354.unknown _1182234271.unknown _1182234285.unknown _1182234258.unknown _1182232263.unknown _1182233283.unknown _1182233978.unknown _1182234104.unknown _1182234131.unknown _1182234182.unknown _1182234027.unknown _1182233897.unknown _1182233828.unknown _1182232557.unknown _1182233182.unknown _1182233273.unknown _1182233124.unknown _1182232338.unknown _1182232457.unknown _1182232477.unknown _1182232353.unknown _1182232278.unknown _1182231897.unknown _1182232154.unknown _1182232183.unknown _1182232243.unknown _1182232054.unknown _1182232046.unknown _1182231740.unknown _1182231818.unknown _1182231821.unknown _1182231804.unknown _1182231609.unknown _1182231208.unknown _1182231308.unknown _1182231402.unknown _1182231474.unknown _1182231244.unknown _1182230515.unknown _1182231114.unknown _1182227299.unknown _1182226290.unknown _1182226670.unknown _1182226945.unknown _1182227112.unknown _1182227169.unknown _1182227071.unknown _1182226895.unknown _1182226780.unknown _1182226864.unknown _1182226429.unknown _1182226505.unknown _1182226615.unknown _1182226455.unknown _1182226357.unknown _1182226405.unknown _1182226311.unknown _1182225707.unknown _1182226150.unknown _1182226203.unknown _1182226225.unknown _1182226158.unknown _1182225835.unknown _1182226100.unknown _1182225739.unknown _1182225444.unknown _1182225635.unknown _1182225673.unknown _1182225534.unknown _1182225557.unknown _1182225506.unknown _1182225398.unknown _1182225299.unknown _1182225359.unknown _1182222683.unknown _1182224004.unknown _1182224424.unknown _1182224719.unknown _1182225055.unknown _1182225139.unknown _1182224880.unknown _1182224599.unknown _1182224681.unknown _1182224581.unknown _1182224176.unknown _1182224258.unknown _1182224364.unknown _1182224317.unknown _1182224284.unknown _1182224216.unknown _1182224094.unknown _1182224128.unknown _1182224072.unknown _1182223434.unknown _1182223753.unknown _1182223873.unknown _1182223905.unknown _1182223800.unknown _1182223543.unknown _1182223705.unknown _1182223506.unknown _1182223215.unknown _1182223348.unknown _1182223367.unknown _1182223258.unknown _1182222950.unknown _1182223110.unknown _1182223028.unknown _1182223079.unknown _1182222990.unknown _1182222773.unknown _1182222878.unknown _1182222730.unknown _1182221724.unknown _1182222048.unknown _1182222286.unknown _1182222438.unknown _1182222558.unknown _1182222614.unknown _1182222349.unknown _1182222381.unknown _1182222410.unknown _1182222312.unknown _1182222222.unknown _1182222265.unknown _1182222146.unknown _1182221835.unknown _1182221993.unknown _1182222017.unknown _1182221905.unknown _1182221811.unknown _1182221329.unknown _1182221458.unknown _1182221518.unknown _1182221540.unknown _1182221492.unknown _1182221397.unknown _1182221378.unknown _1182221111.unknown _1182221225.unknown _1182221283.unknown _1182221163.unknown _1182221137.unknown _1182221007.unknown _1182221064.unknown _1182220822.unknown