高数第08章 重积分习题详解

第八章 重积分习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 详解 第八章 重积分 习　题　8-1 1．设有一个面薄板（不计其厚度），占有 面上的闭区域 ，薄板上分布有面密度为 的电荷，且 在 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷 ． 解 用一组曲线将 分成 个小闭区域 ，其面积也记为 .任取一点 ,则 上分布的电量 .通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为 其中 的直径 ． 2. 设 其中 ；又 其中 ．试利用二重积分的几何意义 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 与 之间的关系． 解　由二重积分的几何意义知， 表示底为 、顶为曲面 的曲顶柱体 的体积； 表示底为 、顶为曲面 的曲顶柱体 的体积．由于位于 上方的曲面 关于 面和 面均对称，故 面和 面将 分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为 ．由此可知 ． 3. 利用二重积分定义证明： (1) ； (2) ； (3) 其中 ， 、 为两个无公共内点的闭区域. 证　(1)　由于被积函数 ，故由二重积分定义得 　　(2) 　　(3) 因为函数 在闭区域 上可积，故不论把 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割 时，可以使 和 的公共边界永远是一条分割线。这样 在 上的积分和就等于 上的积分和加 上的积分和，记为 令所有 的直径的最大值 ，上式两端同时取极限，即得 4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) 与 ，其中积分区域 是由 轴、 轴与直线 所围成； (2) 与 ，其中积分区域 是由圆周 所围成； (3) 与 ，其中 是三角形闭区域，三顶点分别为 ； (4) 与 ，其中 . 解　(1)　在积分区域 上， ，故有 ，根据二重积分的性质４，可得 (2)　由于积分区域 位于半平面 内，故在 上有 ．从而 (3) 由于积分区域 位于条形区域 内，故知 上的点满足 ，从而有 ．因此 (4) 由于积分区域 位于半平面 内，故在 上有 ，从而有 ．因此 5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值： (1) 其中 ； (2) 其中 ； (3) 其中 ； (4) 其中 . 解　(1) 在积分区域 上， ， ，从而 ，又 的面积等于 ，因此 (2) 在积分区域 上， ， ，从而 ，又 的面积等于 ，因此 (3) 在积分区域 上， ， 的面积等于 ，因此 (4) 在积分区域 上， ，从而 ，又 的面积等于 ，因此 习　题　8-2 1. 计算下列二重积分： (1) ，其中 ； (2) ，其中 是由两坐标轴及直线 所围成的闭区域； (3) ，其中 ； (4) 其中 是顶点分别为 ， 和 的三角形闭区域． 解　(1) (2) 可用不等式表示为 ，于是 (3)　 　　　　　 (4)　 可用不等式表示为 ，于是 2. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ，其中 是由两条抛物线 ， 所围成的闭区域； (2) ，其中 是由圆周 及 轴所围成的右半闭区域； (3) ，其中 ； (4) ，其中 是由直线 ， 及 所围成的闭区域． 解　(1)　 可用不等式表示为 ，于是 (2)　 可用不等式表示为 ，于是 (3) ，其中 ， ，于是 (4)　 可用不等式表示为 ，于是 3. 化二重积分 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域 是： (1) 由直线 及抛物线 所围成的闭区域； (2) 由 轴及半圆周 所围成的闭区域； (3) 由直线 ， 及双曲线 所围成的闭区域； (4) 环形闭区域 ． 解　(1)　直线 及抛物线 的交点为 和 ，于是 或 (2)　将 用不等式表示为 ，于是可将 化为 ； 如将 用不等式表示为 ，于是可将 化为 (3)　三个交点为 、 和 ，于是 或 (4)　 将 划分为４块，得 或 4. 改换下列二次积分的积分次序： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 解　(1)　所给二次积分等于二重积分 ，其中 ， 可改写为 ，于是 原式 (2)　 所给二次积分等于二重积分 ，其中 ， 可改写为 ，于是 原式 (3)　 所给二次积分等于二重积分 ，其中 ， 可改写为 ，于是 原式 (4)　 所给二次积分等于二重积分 ，其中 ， 可改写为 ，于是 原式 (5)　 所给二次积分等于二重积分 ，其中 ， 可改写为 ，于是 原式 (6)　 所给二次积分等于二重积分 ，将 表示为 ，其中 ， ，于是 原式 5. 计算由四个平面 ， ， ， 所围成柱体被平面 及 截得的立体的体积． 解　此立体为一曲顶柱体，它的底是 面上的闭区域 ，顶是曲面 ，因此所求立体的体积为 6. 求由曲面 及 所围成的立体的体积． 解　所求立体在 面上的投影区域为 所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差： 7. 画出积分区域，把积分 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域 是： (1) ； (2) ； (3) ，其中 ； (4) ． 解　(1) 在极坐标中， ，故 (2) 在极坐标中， ，故 (3) 在极坐标中， ，故 (4) 在极坐标中，直线 的方程为 ，故 ， 于是 8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解　(1) 用直线 将积分区域 分成 、 两部分： ， ， 于是 原式 (2) 在极坐标中，直线 和 的方程分别是 和 。因此 ，又 ，于是 原式 (3) 在极坐标中，直线 的方程为 ，圆 的方程为 ，因此 ，故 原式 (4) 在极坐标中，直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 ，即 ；两者的交点与原点的连线的方程是 。因此 ，故 原式 9. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解　(1) 在极坐标中， ，故 原式 (2) 在极坐标中， ，故 原式 (3) 在极坐标中，抛物线 的方程为 ，即 ；直线 的方程是 ，故 ，故 原式 (4) 在极坐标中，积分区域 ， 于是 原式 10. 利用极坐标计算下列各题： (1) ，其中 是由圆周 所围成的闭区域； (2) ，其中 是由圆周 ， 及直线 ， 所围成的在第一象限内的闭区域. 解　(1) 在极坐标中， ，故 原式 (2) 在极坐标中， ，故 原式 11. 选用适当的坐标计算下列各题： (1) ，其中 是由直线 ， 及曲线 所围成的闭区域； (2) ，其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域； (3) ，其中 是由直线 ， ， ， 所围成的闭区域； (4) ，其中 是圆环形闭区域 ． 解　(1) 选用直角坐标， ，故 (2) 选用极坐标， ，故 (3) 选用直角坐标， (4) 选用极坐标， ，故 12. 求由平面 ， ， 以及球心在原点、半径为 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图8-21）． 解 习 题　8-3 1. 化三重积分 为三次积分，其中积分区域 分别是: (1) 由双曲线抛物面 及平面 ， 所围成的闭区域； (2) 由曲面 及平面 所围成的闭区域； (3) 由曲面 及 所围成的闭区域； (4) 由曲面 ， ， 所围成的在第一卦限内的闭区域. 解 (1) 可用不等式表示为： ，因此 (2) 可用不等式表示为： ，因此 (3) 可用不等式表示为： ，因此 (4) 可用不等式表示为： ，因此 2. 计算 ，其中 是由曲面 ，与平面 ， 和 所围成的闭区域. 解 可用不等式表示为： ，因此 3. 计算 ，其中 为平面 ， ， ， 所围成的四面体. 解 可用不等式表示为： ，因此 4. 计算 ，其中 为球面 及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域. 解 可用不等式表示为： ，因此 5.计算 ，其中 是由平面 ， ， 以及抛物柱面 所围成的闭区域. 解 可用不等式表示为： ，因此 6. 计算 ，其中 是由锥面 与平面 所围成的闭区域. 解 在 面上的投影区域 ， .于是 7. 利用柱面计算下列三重积分: (1) ，其中 是由曲面 及 所围成的闭区域； (2) ，其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域. 解 (1) 在 面上的投影区域 ，利用柱面坐标， 可用不等式表示为： ，因此 (2) 由 及 消去 得 ，从而知 在 面上的投影区域为 ，利用柱面坐标， 可表示为： ， 因此 8. 利用球面坐标计算下列三重积分: (1) ，其中 是由球面 所围成的闭区域; (2) ，其中 闭区域由不等式 ， 所确定. 解 (1) (2) 在球面坐标系中，不等式 ，即 ，变为 ，即 ； 变为 ，即 ，亦即 .因此 可表示为 ,于是 9. 选用适当的坐标计算下列三重积分: (1) ，其中 为柱面 及平面 ， ， ， 所围成的在第一卦限内的闭区域； (2) ，其中 是由球面 所围成的闭区域； (3) ，其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域; (4) ，其中 闭区域由不等式 ， 所确定. 解 (1) 利用柱面坐标， 可表示为： ，因此 (2) 在球面坐标系中，球面 的方程为 ，即 . 可表示为 ,于是 (3) 利用柱面坐标， 可表示为： ，因此 (4) 在球面坐标系中， 可表示为 ,于是 习　题　8-4 1. 求球面 含在圆柱面 内部的那部分面积. 解　上半球面的方程为 ． 由曲面的对称性得所求面积为 2. 求锥面 被柱面 所割下部分的曲面面积. 解　由 解得 ，故曲面在 面上的投影区域 ．被割曲面的方程为 ， 于是所求曲面的面积为： 3. 求底圆半径相等的两个直交圆柱面 及 所围立体的表面积. 解　设第一卦限内的立体表面位于圆柱面 上的那一部分的面积为 ，则由对称性知全部表面的面积为 ． 故全部表面积为 ． 4. 设薄片所占的闭区域 如下，求均匀薄片的质心: (1) 由 ，所围成； (2) 是半椭圆形闭区域 ； (3) 是介于两个圆 之间的闭区域. 解　(1)　设质心为 ． 于是 故所求质心为 ． (2)　因 对称于 轴，故质心 必位于 轴上，于是 ． 因此所求质心为 ． (３)　 因 对称于 轴，故质心 必位于 轴上，于是 ． 故 所求质心为 ． 5. 设平面薄片所占的闭区域 由抛物线 及直线 所围成，它在点 处的面密度 ，求该薄片的质心. 解　求得 于是 所求质心为 6. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为 ，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这片薄片的质心. 解　面密度 ，由对称性知 ． 于是 所求质心为 7. 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心(设密度 ): (1) ； (2) ； (3) ． 解 (1) 曲面所围立体为圆锥体，其顶点在原点，并关于 轴对称，又由于它是匀质的，因此它的质心位于 轴上，即 ．立体的体积为 . 故所求质心为 . (2) 立体由两个同心的上半球面和 面所围成,关于 轴对称,又由于它是匀质的,故其质心位于 轴上，即 ．立体的体积为 . 故所求质心为 . (3)　 由于立体匀质且关于平面 对称，故 ，所求质心为 ． 8. 设球体占有闭区域 ，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的质心. 解　在球面坐标系中， 可表示为 球体内任意一点 处的密度大小为 ．由于球体的几何形状及质量分布均关于 轴对称，故可知其质心位于 轴上，因此 ． 故球体的质心为 . 9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域 如下，求指定的转动惯量: (1) ，求 ； (2) 由抛物线 与直线 所围成，求 和 ； (3) 为矩形闭区域 ，求 和 . 解　(1)　 令 ，则 上式 　 (2) (３)　 10. 已知均匀矩形板(面密度为常量 )的长和宽分别为 和 ，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 解　 11. 一均匀物体(密度 为常量)占有的闭区域 由曲面 和平面 所围成, (1) 求物体的体积； (2) 求物体的质心； (3) 求物体关于 轴的转动惯量. 解　(1) (2) 　 (３)　 12. 求半径为 、高为 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度 ). 解　 13. 设面密度为常量 的匀质半圆环形薄片占有闭区域 ，求它对位于 轴上点 处单位质量的质点引力 . 解　 由于 关于 轴对称，且质量均匀分布，故 因此引力为： 14. 设均匀柱体密度为 ，占有闭区域 ，求它对于位于点 处的单位质量的质点的引力. 解　由柱体的对称性和质量分布的均匀性知 ．引力沿 轴的分量 复　习　题　A 一、填空题 1. 设 是正方形区域 ，则 ___________. 2. 已知 是长方形区域 ，又已知 ，则 ______________.　 3. 若 是由 和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分 可以表示为定积分 ，那么 _____________.　 4. 若 ，那么区间 ____________.　 5. 若 ， 则区间 ____________.　 二、选择题 1. 设 是由 和 所围成的三角形区域，且 ，则 ( ).　 A； A. B. C. D. 2. 设 是正方形区域， 是 的内切圆区域， 是 的外接圆区域， 的中心点在 点，记 则 的大小顺序为( ) B； A. B. C. D. 3. 将极坐标系下的二次积分: 化为直角坐标系下的二次积分，则 ( )　 D； A. ; B. ; C. ; D. . 4. 设 是第二象限内的一个有界闭区域，而且 .记 则 的大小顺序为( )　 C； A. B. C. D. 5. 计算旋转抛物面 在 那部分曲面的面积的公式是( )　 C． A. ; B. ; C. ; D. . 三、计算题 1. 计算重积分 ，其中 是由 和 所围成的区域. 解 2. 计算重积分 ，其中 是由 和 所围成的区域. 解 3. 计算重积分 ，其中 是由 和 所围成的区域. 解 4. 将二重积分 化为两种顺序的二次积分，积分区域 给定如下: (1) 是以 为顶点的三角形区域; (2) 是区域 ; (3) 是区域 ; (4) 是由 和 所围成的区域; (5) 是由 和 所围成的区域. 解 (1) (2) (3) (4) (5) 5. 将二重积分 化成在直角坐标下两种顺序的二次积分，并进一步化成在极坐标下的二次积分，其中积分区域 给定如下: (1) 是区域 ; (2) 是区域 ; (3) 是区域 ; (4) 是由 和 所围成的区域. 解 (1) (2) (3) (4) 6. 设 是长方形区域 ，试证明: (设 连续). 证明 7. 将二重积分 化为二次积分，其中 是半圆区域 . 解 8. 交换下列积分的顺序: (1) ;　　 (2) ;　　 (3) ;　　 (4) ;　　 (5) .　　 解 (1) (2) (3) (4) (5) 9. 交换下列积分的顺序，并化为极坐标下的二次积分: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 解 (1) (2) (3) (4) 10. 用二重积分计算以下图形 的面积: (1) 由 所围成; 解 (2) 由 所围成; 解 (3) 由极坐标下不等式 及 所确定. 解 11. 用二重积分计算下列曲面所围立体的体积: (1) 及 ; 解 (2) 及 ; 解 (3) ，三坐标平面及平面 . 解 12. 求均匀半圆环 的质心. 解 所以质心为 13. 求 , 其中 为球体 。 解： 14. 将下列各题中三重积分 在直角坐标系化为累次积分： （1） ； （2） ； （3） 所围区域； （4） 所围区域 解：（1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 15. 计算三重积分 ，其中 为旋抛物面 与平面 所围。 解： 。 16. 将下列累次积分化为柱面或球面坐标的累次积分，并计算它们的值： （1） ； （2） 。 解：（1） 。 （2） 。 复　习　题　B 1. 证明: 证明 上式左端的二次积分等于二重积分 ，其中 于是交换积分次序即得 2. 把积分 化为三次积分，其中积分区域是由曲面 及平面 所围成的闭区域. 解 为一曲顶柱体，其顶为 ，底位于 面上，其侧面由抛物柱面 及平面 所组成．由此可知 在 面上的投影区域 因此 3. 计算下列二重积分: (1) 计算 ( 是常数) ，其中 是区域 ≤ . 解 (2) 计算 ，其中 是区域 . 解 (3) 计算 ，其中 是区域 ≤ ≤ ≤ ≤ . 解 4. 计算下列三重积分: (1) ，其中 是两个球： 和 的公共部分; (2) ，其中 是由球面 所围成的闭区域; (3) ，其中 是由 平面上曲线 绕 轴旋转而成的曲面与平面 所围成的闭区域. 解　(1)　利用球面坐标计算．作圆锥面 ，将 分成 和 两部分： 于是 原式 　　 (2)　由于积分区域 关于 面对称，而被积函数关于 是奇函数，故所求积分等于零． (3)　 积分区域 由旋转抛物面 和平面 所围成， 在 面上的投影区域 因此 可表示为： 于是 5. 求平面 被三坐标面所割出的有限部分的面积. 解　平面方程为 ，它被三坐标面割出的有限部分在 面上的投影区域 为由 轴、 轴和直线 所围成的三角形区域．于是所求面积为 6. 求均匀半椭圆 的质心. 解 所以质心为 7. 在均匀的半径为 的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少? 解　 由题设 得 8. 求由抛物线 及直线 所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线 的转动惯量. 解　闭区域 ，所求的转动惯量为 9. 设在 面上有一质量为 的匀质半圆形薄片，占有平面闭区域 ，过圆心 垂直于薄片的直线上有一质量为 的质点 ， .求半圆形薄片对质点 的引力. 解　积分区域 由于 关于 轴对称，且质量均匀分布，故 ．又薄片的面密度 ，于是 所求引力为 PAGE 1 _1271157805.unknown _1271444580.unknown _1272476925.unknown _1272483089.unknown _1274013238.unknown _1274269505.unknown _1306811143.unknown _1306811787.unknown _1306812645.unknown _1308248379.unknown _1312741805.unknown _1312742018.unknown _1308499511.unknown _1308499512.unknown _1308499509.unknown _1308499510.unknown _1308499508.unknown _1308242597.unknown _1308242626.unknown _1308242553.unknown _1306812307.unknown _1306812350.unknown _1306812299.unknown _1306812212.unknown _1306811483.unknown _1306811702.unknown _1306811743.unknown _1306811553.unknown _1306811319.unknown _1306811432.unknown _1306811238.unknown _1274619116.unknown _1306810789.unknown _1306810994.unknown _1306811080.unknown _1306810878.unknown _1306810336.unknown _1306810769.unknown _1274621675.unknown _1306810309.unknown _1274619361.unknown _1274617305.unknown _1274618080.unknown _1274618437.unknown _1274617987.unknown _1274618035.unknown _1274617790.unknown _1274271053.unknown _1274617275.unknown _1274617187.unknown _1274270819.unknown _1274076546.unknown _1274077228.unknown _1274077969.unknown _1274078743.unknown _1274080128.unknown _1274080206.unknown _1274080869.unknown _1274080937.unknown _1274080251.unknown _1274080165.unknown _1274080040.unknown _1274080112.unknown _1274079073.unknown _1274078697.unknown _1274078698.unknown _1274078319.unknown _1274078677.unknown _1274077865.unknown _1274077921.unknown _1274077945.unknown _1274077897.unknown _1274077410.unknown _1274077781.unknown _1274077309.unknown _1274077022.unknown _1274077161.unknown _1274077192.unknown _1274077129.unknown _1274076906.unknown _1274076978.unknown _1274076890.unknown _1274076060.unknown _1274076361.unknown _1274076399.unknown _1274076430.unknown _1274076379.unknown _1274076201.unknown _1274076308.unknown _1274076077.unknown _1274075885.unknown _1274075988.unknown _1274076013.unknown _1274075925.unknown _1274074538.unknown _1274074672.unknown _1274074456.unknown _1273249664.unknown _1274010855.unknown _1274012416.unknown _1274012686.unknown _1274012847.unknown _1274012883.unknown _1274012765.unknown _1274012629.unknown _1274012646.unknown _1274012476.unknown _1274011730.unknown _1274011784.unknown 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