高等代数第九章第七次课 对称变换与实对称矩阵

第七次课 对称变换与实对称矩阵 教学目的： 1． 理解和掌握对称变换的概念及其与实对称矩阵的关系。 2．理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。 教学重点：对称变换与对称矩阵的关系，正交变换化实二次型为标准形。 教学难点：对称变换的对角化方法。 教学过程： 由第五章得到，任意一个对称矩阵都 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 于一个对角矩阵，换句话说，都有一个可逆矩阵 使 成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是： 对于任意一个 级实对称矩阵 ，都存在一个 级正交矩阵 ，使 成对角形. 一、 对称变换 1．定义 A是欧氏空间上的线性变换，若对任意 ，有 (A , )=( ,A ), 则称A是欧氏空间上的对称变换。 2．例子 （1） 在 中，设矩阵 ，定义变换 ，是一个对称变换。 （2）由分解式 ，可知， 中任一向量 都可以唯一分解成 其中 ，定义变换 的像是 ，即为向量 在子空间 上的内射影，则该变换是一个对称变换。 3．性质 性质1 设A是对称变换， 是A-子空间，则 也是A-子空间. 性质2 设 是实对称矩阵，则 中属于 的不同特征值的特征向量必正交. 二、对称矩阵 1．定义 设 是 阶方阵，若 ，则称 是对称矩阵。 2．性质 （1） 设 是实对称矩阵，则 的特征值皆为实数. （2） 对应于实对称矩阵 ，在 维欧氏空间 上定义一个线性变换A如下： A . (1) 显然A在标准正交基 (2) 下的矩阵就是 . （3） 设 是实对称矩阵，A的定义如上，则对任意 ，有 (A , )=( ,A ), (3) 或 容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚. 三、对称矩阵的标准形 1．定理 对于任意一个 级实对称矩阵 ，都存在一个 级正交矩阵 ，使成 对角形. 2． 求T的步骤 下面来看看在给定了一个实对称矩阵 之后，按什么 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 求正交矩阵 使 成对角形.在定理的证明中看到，矩阵 按(1)式在 中定义了一个线性变换.求正交矩阵 的问题就相当于在 中求一组由 的特征向量构成的标准正交基.事实上，设 是 的一组标准正交基，它们都是 的特征向量.显然，由 到 的过渡矩阵就是 是一个正交矩阵，而 就是对角形. 根据上面的讨论，正交矩阵 的求法可以按以下步骤进行： 1） 求出 的特征值.设 是 的全部不同的特征值. 2） 对于每个 ，解齐次方程组 求出一个基础解系，这就是 的特征子空间 的一组基.由这组基出发，按定理2的方法求出 的一组标准正交基 . 3）因为 两两不同，所以根据这一节引理4，向量组 还是两两正交的.又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成 的一组标准正交基，并且也都是 的特征向量.这样，正交矩阵 也就求出了. 3．例题 例1 已知 求一正交矩阵 使 成对角形. 应该指出，在定理7中，对于正交矩阵 我们还可以进一步要求 事实上，如果求得的正交矩阵 的行列式为-1，那么取 那么 是正交矩阵，而且 显然 . 4．正交线性替换 （1）如果线性替换 的矩阵 是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是非退化的. 用二次型的语言，定理7可以叙述为： （2）定理8 任意一个实二次型 都可以经过正交的线性替换变成平方和 , 其中平方项的系数 就是矩阵 的特征多项式全部的根. （3）几何问题 最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方程，以及讨论二次曲线的分类. 在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是 (5) 令 则(5)可以写成 (6) 经过转轴，坐标变换 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 为 或者 其中 为正交变换且 ，在新坐标系中，曲面的方程就是 根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵 使 这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为 其中 这时，再按照 是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当 全不为零时，就作移轴 于是曲面的方程化为 其中 . 作业：P396 17（2）（4），18（2）（4）， _1141197990.unknown _1141199670.unknown _1141200576.unknown _1229190352.unknown _1229190438.unknown _1229190455.unknown _1229190479.unknown _1229190432.unknown _1141201938.unknown _1141202247.unknown _1229190082.unknown _1229190113.unknown _1141206980.unknown _1141207110.unknown _1229190056.unknown _1141207288.unknown _1141206986.unknown _1141202648.unknown _1141206963.unknown _1141202371.unknown _1141202136.unknown _1141202152.unknown _1141202165.unknown _1141202120.unknown _1141202008.unknown _1141200985.unknown _1141201678.unknown _1141201832.unknown _1141201014.unknown _1141200833.unknown _1141200909.unknown _1141200810.unknown _1141199974.unknown _1141200190.unknown _1141200403.unknown _1141200492.unknown _1141200540.unknown _1141200473.unknown _1141200294.unknown _1141200381.unknown _1141200230.unknown _1141200279.unknown _1141200056.unknown _1141200169.unknown _1141199986.unknown _1141199884.unknown _1141199936.unknown _1141199948.unknown _1141199794.unknown _1141199824.unknown _1141199842.unknown _1141199763.unknown _1141199354.unknown _1141199598.unknown _1141199636.unknown _1141199424.unknown _1141198069.unknown _1141198079.unknown _1141198007.unknown _1141197304.unknown _1141197386.unknown _1141197556.unknown _1141197752.unknown _1141197777.unknown _1141197786.unknown _1141197833.unknown _1141197766.unknown _1141197707.unknown _1141197434.unknown _1141197392.unknown _1141197327.unknown _1141197352.unknown _1141197359.unknown _1141197313.unknown _1141196323.unknown _1141197277.unknown _1141197297.unknown _1141197266.unknown _1141196361.unknown _1141196173.unknown _1141196297.unknown _1141195643.unknown _1141196053.unknown _1141195634.unknown