小学奥数几何五大模型

小学奥数几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1所示，SSBDCD△ABDACD::△；3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比，如图2所示，SSAEBF△ACDBCD::△；4、在一组平行线之间的等积变形，如图3所示，SS△ACDBCD△；反之，如果SS△ACDBCD△，则直线AB∥CD。ABABABDCCEFDCD图1图2图3例、如图，△ABC的面积是24，DEF、、分别是BCACAD、、的中点，求△DEF的面积。AFEBDC11解析：根据等积变换知，SS2412,△ADC22△ABC1111SS126，SS63。△ADE22△ADC△DEF22△ADE（2）鸟头模型（共角定理）1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补）两夹边的乘积之比。如下图△ABC中，DE、分别是AB、AC上或延长线上的点。ADEADEBCBCSADAE则有：△ADE。SABAC△ABC我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！DAEBC证明：如图，连接BE，根据等积变换模型知，SSADAB△ADEABE::△、SSAECE△ABECBE::△，所以SSSSSAE△ABEABCABEABECBE:::△AC△△△。SSSADAEADAE因此△ADEADEABE△△。SSSABACABAC△ABCABEABC△△例、如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且ABAD:5:2，AEEC:3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求的面积。DAEBCSABAC解析：根据鸟头模型可知：△ABC，SADAE△ADEABAC55所以SS1250（平方厘米）。△ABCADAE△ADE23（3）蝴蝶模型1、梯形中的比例关系(“梯形蝴蝶定理”):AaDS1S2S4OS3BbC①SS24（因为SS△ABC△DBC，所以SSSS△ABC△OBC△DBC△OBC），22SSab13::；22②SSSSababab1234::::::；③梯形S的对应份数为ab2。例、如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，对角线ACBD、交于点O，已知△AOBBOC、△的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形的面积。AD25O35BC2解析：由梯形蝴蝶模型的性质知，S△AOB:S△BOCAB:ABCD25:35，2222所以AB:CD5:7；所以S△AOB:S△DOCAB:CD5:725:49，即S△DOC49平方厘米，而SS△AOD△BOC35平方厘米，所以梯形ABCD的面积为：25+35+35+49=144平方厘米。2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：DAS1S4S2OS3BC①S1243S::SS或者S1324SSS；AOSSBOSS②12，23。COSS34DOSS14例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果△ABD的面积等于1△BCD面积的，且AO2，DO3，求CO的长度是DO长度的几倍。3DAOBC解析：由任意四边形蝴蝶定理的性质知，AOCOSS::1:3△ABDBCD△，所以COAO3326，所以CO:DO6:32:1，即是DO的2倍。蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE∥BC。(一)金字塔模型(二)沙漏模型AEDADEBCBC结论：因为，所以△ADE∽AB△C，则ADAEDE22①；②SSADAB△::△。ABACBCADEABC例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB16、AD10、BE4，那么FC的长度是多少？DCFABE解析：根据平行四边形的性质知，ABCD∥，所以由沙漏模型知：44FCFBCDBE::16:44:1，所以FCBC108。415（5）燕尾模型AEFOBDC由于两种颜色阴影部分的形状合在一起像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：①S△ABO::S△ACOBDDC；②S△ABO::S△BCOAEEC；③SSAFFB△ACOBCO::△。例、如图，DE、分别在BC、AC上，且AE:EC2:3，BD:DC1:2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。AAE1.6EF2F2.412BDCBDC解析：如图所示，连接CF构造燕尾模型。根据燕尾模型性质可知：SBD1SAE2△ABF，△ABF。S△DACFC2S△ECBFC32现设S1份，则S2份、S4份、S41.6份、△BDF△CDF△ACF△AEF233S42.4份。△CEF23所以份、份。S四边形DFEC22.44.4S△ABC2349S△ABC224.4945（平方厘米）。二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例1、图中的EFG、、分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？ADAD6G51G2EE43BFCBFC解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB、BCCD、就被分成了相等的三段。把点H和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。根据等积变换模型可知，CD边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。例2、如图所示，Q、EPM、、分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD5、BC7、AE5、EB3，求阴影部分三角形PQM的面积。ADADQQMMEEBCBCPP解析：如图所示，连接CEDE、，由于DQME、平行，根据同底等高知，SS△QMEDME△；同理根据BCME、平行，有SS△PMECME△；所以SS△PQMCDE△。由于四边形ABCD为直角梯形，111所以SSSS△△△5753553725，CDE梯形ABCDADEBCE222即阴影三角形PQM的面积为25。（2）鸟头（共角）定理模型例1、如图所示，平行四边形ABCD，BEAB、CF2CB、GDDC3、HAAD4，平行四边形的面积为2，求平行四边形与四边形EFGH的面积比。HHABEABEGGDCDCFF解析：如图所示，连接AC、BD，由于在△ABC、EB△F中，∠ABC与∠EBFSABBC111互补，根据鸟头定理有△ABC；S△EBFBEBF1331因为SS1，所以S3；△ABC2平行四边形ABCD△EBF同理可得：S△AEH428、S△GCF428、S△DHG5315。S221所以平行四边形ABCD。S四边形EBF8815323618例2、如图所示，△ABC的面积为1，BC54BD、ACEC、DGGSSE、AFFG，求△FGS的面积。AFEGSBDC解析：首先根据等积变换模型知，SSSS△FGSFESEAFEGF△、△△，所以SS△AGE4△FGS。S△AGEAEGE32根据鸟头模型有2，所以SS△CDEFGS2△；SCE△CDEDE13S△AGDAGDG212，所以SS△AGD2△FGS；所以SS△ACD8△FGS；S△FGSFGSG11S△ADBADBD111，所以SS△ADBFGS2△；所以SS△ABCFGS10△，SADDC△ACD1441即S。△FGS10（3）蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？AB21O242412DC解析：如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六边形被平分成两半。设S△AOB的面积为1份，根据正六边形的特殊性质知，BC2AD，再根据梯形蝴蝶定理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了18份，阴影部84分占其中的8份，即阴影部分面积为1。189例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。AEFBAEFB225？5？OO88DCDC解析：如图所示，连接DECF、。在梯形EDCF中，根据梯形蝴蝶定理知，SS△EOD△FOC，SSSS△EOD△FOC△EOF△DOC2816，即SS△EODFOC△4，所以S△ECD8412，S长方形ABCD12224，S四边形OFBC245289。例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。AEDAEDOFFGGBCBC解析：设BD与CE的交点为O，连接BE、DF。在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶11定理知，EOCOSS::，而SSSS、，△BEDBCD△△BEDBCD42正方形ABCDABCD△正方形所以EOC:1:O2。又因为F为CE的中点，所以EOF:2:1O。在四边形BFDE中，由蝴蝶定理知，EO:FOS△BED:S△BFD2:1，11所以SSS。△BFDBED48△正方形ABCD111所以SSS10106.25（平方厘米）。△BDG2△BFD16正方形ABCD16（4）相似模型1例1、如图，正方形的面积为1，EF、分别为ABBD、的中点，GCFC,求3阴影部分的面积。ADADFEFEGGBCBHIC解析：如图所示，作FH垂直BC于点H，GI垂直于点I，根据金字塔模型知，CI::1:3CHCGCF；因为F是BD的中点，所以CHBH，1155CI:CB1:6，即BI:BC61:65:6，所以S。△BEG22624例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H，OE垂直于AD，交于E点，交AF于O点，已知AH5,HF3,求AG的长。AEDGOHFBC解析：根据长方形的性质知，AB∥DF，再根据沙漏模型知ABDFAHHF::5:3，3又因为E为AD的中点，所以OEF:1:D2，所以ABOE:5:10:3。2利用相似三角形性质可得：AGDOABOE::10:3，111040∵AOAF=534，∴AG4。221313（5）燕尾模型例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。ADADEGEGHHBFCBFC解析：如图，连接BH。由于BE与CD平行，根据沙漏模型知，BG::1:2GDBECD。现设S△BHC1份，根据燕尾模型知，S△DHC2份，S△BHD2份。因此整个正方形ABCD就是：（1+2+2）×2=10（份）。117四边形BGHF占：12（份）。2367所以S1201014（平方厘米）。四边形BGHF6例2、如图，在△ABC中，BDDA2、CEEB2、AFFC2，那么的面积是阴影△GHI面积的几倍？AADDGGFFHIHIBECBEC解析：连接AI，根据燕尾模型知，S△BCI:S△ABIFC:AF1:2，SSBDDA△BCIACI::2△:1，所以SSS△ACIBCIABI::1:△2:4△，那么2222SSS。同理可知SS、SS。△BCIABCABC1247△△△ACG7△ABC△ABH7△ABC21所以，即的面积是阴影面积SSS阴影△GHI13△ABCABC△77的7倍。例3、如图，在中，点D是AC的中点，点EF、是BC的三等分点，若的面积是1，求四边形CDMF的面积。AADDMMNNBEFCBEFC解析：如图，连接CMCN、。根据燕尾模型知，SSBF△ABMACM::2CF△:1,而SS△ACM2△ADM，所以SSS△ABM24△ACM△ADM，即BMDM4。SBMBF428所以根据鸟头模型知，△BMF，S△BCDBDBC53158814147即SS。所以SSS。△BMF15△BCD15215四边形CDMF△BCD△BMF21530三、巩固练习1、如图，在∠MON的两边上分别有A、CE、，B、DF、六个点，并△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，求△DCF的面积。NFDBOACEM2、如下图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米，求三角形CDF的面积。DCFAEB3、如下图，在三角形ABC中，BDAD2，AGCG2，BEEFFC，求四边形DGFE的面积占三角形的几分之几？ADGBEFC4、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB、CBBF、DCCG、HDDA，求四边形ABCD的面积。HCGDBAFE5、边长为1的正方形ABCD中，BEEC2、FCDF，求三角形AGE的面积。ADGFBEC6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积为11，三角形BCH的面积为23，求四边形EGFH的面积。AFBGHDEC7、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC120毫米，高AD80毫米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？APNBHDGC8、如图，已知正方形ABCD的面积为120平方厘米，E是AB边的中点，F是BC边的中点，求四边形BGHF的面积。ADEGHBFC9、如图，正方形的边长是12厘米，EF、分别是AB、BC的中点，AF与CE交于点G，求四边形AGCD的面积。DCFGAEB10、如图，在四边形ABCD中，ABBE3、ADAF3，四边形AEOF的面积是12，求平行四边形BODC的面积。AFEDOBC四、巩固练习详解1、如图，在∠MON的两边上分别有A、CE、，B、DF、六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，求△DCF的面积。NFDBOACEM解析：这道题我们可以用等积变换来解，由于三角形OCD的面积是可以求出的，所以只 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 出ODO:F就能求出△DCF的面积。113因为ODOFSS::4:1，所以SS3。△OEDDEF△△DCFOCD444△2、如下图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米，求三角形CDF的面积。DCDCFFAEBAEB解析：如图所示，连接AF、CE，因为平行四边形对边平行，所以根据同底等高知，SS△ADEACE△、SS△CDFACF△。同理，根据EF∥AC，所以SS△ACEACF△。所以SS△CDFADE△4平方厘米。3、如下图，在三角形ABC中，BDAD2，AGCG2，BEEFFC，求四边形DGFE的面积占三角形的几分之几？ADGBCEFADAG122解析：根据鸟头模型的性质有：SSSS，△ADGABCABCABCABAC△339△△21同理：SS，SS，△BDEABC9△△CGFABC9△2214所以。SSS四边形DGFE1△ABCABC△99994、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB、CBBF、DCCG、HDDA，求四边形ABCD的面积。HHCGCGDDBBAAFFEESCDBC111解析：如图连接BD，由鸟头模型知△BCD，即S△FCGCGCF122SS△FCGBCD2△；同理可得SS△AHEABD2△；所以SSS△FCGAHE△2四边形ABCD。连接AC同理可得，SSS△BEF△DHG2四边形ABCD；所以SS四边形EFGH5四边形ABCD，即（平方米）。S四边形ABCD66513.25、边长为1的正方形ABCD中，BE2EC、FCDF，求三角形AGE的面积。ADADGGFFBECBEC解析：连接EF，∵、，1111∴，SSS△DEF正方形ABCDABCD正方形232121∵SS，△ADE2正方形ABCD11由蝴蝶定理可得：AGGF::6:1，2126613∴SSSSS6，△AGDGDFADF△77414△正方形ABCDABCD正方形1322∴SSSSSS。△AGEADEAGD△△21477正方形ABCDABCDABCD正方形正方形6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积为11，三角形BCH的面积为23，求四边形EGFH的面积。AFBAFBGHGHDECDEC解析：连接EF，显然四边形ADEF和BCEF都是梯形，于是根据蝴蝶定理得：SS△EFG△ADG，SS△EFH△BCH，所以S四边形EGFH112334。7、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC120毫米，高AD80毫米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？APNBHDGC解析：仔细观察我们会发现，图中有五个金字塔模型，我们利用与已知边有关PNAPPHBP系的两个金字塔模型，知：、。现设正方形的边长为x毫BCABADABPNPHAPBPxx米，根据题意列方程：1，即1，解得x48，BCADABAB12080即正方形的边长为48毫米。8、如图，已知正方形ABCD的面积为120平方厘米，E是AB边的中点，F是BC边的中点，求四边形BGHF的面积。ADADEEGGHHBFCBFCM解析：由于四边形不能直接求面积，所以我们只能直接求，可以通过求得。SSSS四边形BGHF△BCEBEGCHF△△1根据沙漏模型知，EG:GCBE:CD1:2，所以SS。现将△BEGBCE3△ABDF、延长交于点M，其中BMAB。由沙漏模型可得，BM:::1:1DCMFFDBFFC，而根据金字塔模型知，12EH:HCEM:CDABAB:CD3:2，即HCCE。25112111而CFBC，所以SSS，SABBC30。2△CHFBCEBCE255△△△BCE22117所以SSSS3014（平方厘米）。四边形BGHF△BCEBCEBCE3515△△注：本题也可以根据蝴蝶定理来做，连接EF，确定FHH:D，同样也能求解！9、如图，正方形ABCD的边长是12厘米，EF、分别是AB、BC的中点，AF与CE交于点G，求四边形AGCD的面积。DCDCFFGGAEBAEB解析：如图，连接AC、BG，设S△AGC1份。根据燕尾模型知，SSBFCF△AGBAGC::1:1△，SSAEBE△AGCBGC::1:1△，即S△AGB1份，S△BGC1份。因此整个正方形ABCD就是11126份，四边形AGCD占2314份。所以S四边形AGCD126496（平方厘米）。10、如图，在四边形中，ABBE3、ADAF3，四边形AEOF的面积是12，求平行四边形BODC的面积。AAFF428EDEDO1O66BBCC解析：如图，连接AOBD、。根据燕尾模型知，SSAF△ABOBDO::1:DF△2，SSAE△ADOBDO::2BE△:1，设S△BEO1份，我们可以将各个三角形所占份数标记出来，如图所示，所以SS平行四边形BODC2四边形AEOF21224。