计算方法试题集及答案(新)

1. 为精确值 的近似值； 为一元函数 的近似值； 为二元函数 的近似值，请写出下面的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ： ： 1、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。 2、 分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 （三位有效数字），则 。 3、 设 均具有3位有效数字，则 的相对误差限为 0.0055 。 4、 设 均具有3位有效数字，则 的误差限为 0.01 。 5、 已知近似值 是由真值 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 . 6、 递推公式 如果取 作计算,则计算到 时,误差为 ;这个 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 数值稳定不稳定 不稳定 . 7、 精确值 ，则近似值 和 分别有 3 位和 4 位有效数字。 8、 若 ,则x有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。 10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n 11、近似值关于真值有( 2 )位有效数字； 12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为 。 14、改变函数 ()的形式，使计算结果较精确 。 15、设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150____. 16、 已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是 4 。 二、单项选择题： 1、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值 2、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。 A． 6 B． 5 C． 4 D． 7 3、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。 A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入 4、用1+近似表示所产生的误差是( D )误差。 A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断 5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 6、( D )的3位有效数字是0.236×102。 (A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1 7、取计算，下列方法中哪种最好？（　C　　　） (A)； (B)； (C) ； (D) 。 三、 计算题 一年级下册数学竖式计算题下载二年级余数竖式计算题 下载乘法计算题下载化工原理计算题下载三年级竖式计算题下载 1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L，宽为W,深为H，则该水池的面积为V=LWH 当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为 相对误差可估计为： 而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足 故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为 2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若 试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab 当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为 相对误差可估计为： 而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足 故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。 3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差 4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R允许的相对误差限是多少？ 解：令 ，根据一元函数相对误差估计公式，得 从而得 5.正方形的边长大约为100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2 解：da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a的误差不超过0.005cm时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。 6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。 解： =2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325 =2 =0.0002 第1章 插值法 一、填空题： 1.设xi(i=0,1,2,3,4)为互异节点，li(x)为相应的四次插值基函数，则 ＝(x4+2). 2.设xi(i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，li(x)为相应的五次插值基函数，则 = 3.已知 4. 。 5.设则＝3, =0 6.设和节点则= 4. 7.设 则 EMBED Equation.DSMT4 的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。 8.如有下列表函数: 0.2 0.3 0.4 0.04 0.09 0.16 则一次差商 = 0.6 。 9、2、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为 -2 ，拉格朗日插值多项式为 ,或 10、对,差商( 1 ),( 0 )； 11、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )； 12、设,则 ，的二次牛顿插值多项式为。 13、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 = 1 ， = ，，当时( )。 14、设一阶差商 ，    则二阶差商 INCLUDEPICTURE "http://www.zjtcm.net/wljx/computer/myweb/mnt02.88.gif" \* MERGEFORMAT 15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则p(x)是不超过二次的多项式 16、若，则差商 3 。 二、单项选择题： 1、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。 A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2 2、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。 (A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)， (B) (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)， (D) 3、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是（ 　A　 ）。 （A）二次； （B）三次； （C）四次； （D）五次 4、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（　　D　　） １ 1.5 ２ 2.5 ３ 3.5 -1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5 (A)； (B)； (C) ； (D) 。 5、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则( C ) (A)； （B）； （C）； （D）。 6、由下列数据 0 1 2 3 4 1 2 4 3 -5 确定的唯一插值多项式的次数为( A ) (A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。 三、问答题 1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？ 　　答：插值基函数是满足插值条件的n次插值多项式，它可表示为并有以下性质， 2.给定插值点可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？ 　　答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为 Newton插值多项式为它们形式不同但都满足条件,于是它表明n次多项式 有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故即与是相同的。 是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而 每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。 3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？ 　　答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为 后面相因子改为即可得到Hermite插值余项。 四、计算题 1、设 ,求差商 解： ，故 根据差商的性质，得 2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式: 解：根据已知条件可求得 代入埃尔米特三次插值多项式公式 3、如有下列表函数: 0 1 2 3 4 3 6 11 18 27 试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下： 0 3 1 6 3 2 11 5 1 3 18 7 1 0 4 27 9 1 0 0 N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0≤x≤1 4、给出 的函数表如下： 0.40 0.50 0.60 0.70 －0.916291 －0.693147 －0.510826 －0.356675 试用线性插值和抛物插值求 的近似值。 5．已知 x -1 1 2 F（x） 3 1 -1 请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange插值多项式。 6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式 f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f’(1)=3,并写出插值余项。 解：根据Lagrange插值多项式和Newton插值多项式得出 设待插值函数为： 根据 得参数 则 插值余项为： 7、 已知 1 3 4 5 2 6 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。 答案： 差商表为 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1 2 3 6 2 4 5 -1 -1 5 4 -1 0 8、已知区间[0.4，0.8]的函数表 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 答案：解： 应选三个节点，使误差 尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好，实际计算结果， 且 9、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。 解： 又 故截断误差 。 10、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解： 11、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton插值方法：差分表： 100 121 144 10 11 12 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 12、(10分)已知下列函数表： 0 1 2 3 1 3 9 27 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； (2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。 解：（1） （2）均差表： 13、   已知y=f（x）的数据如下 x 0 2 3 f（x） 1 3 2 求二次插值多项式   及f（2.5） 解：       14、设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。 （2）写出余项 的表达式 解 （1）    （2） 第四章 数值积分 一、填空题 1、求 ，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为2.333 。 2． n次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果n为偶数，则有 n+1 次代数精度。 3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson公式有 3 次代数精度。 4.插值型求积公式 的求积系数之和 b-a 。 5、 计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 6、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求≈( 12 )。 7、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求( 2.5 )。 8、若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用 477个求积节点。 9、数值积分公式的代数精度为 2 。 10、已知，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得,用三点式求得 。 答案：2.367，0.25 9、 数值微分中，已知等距节点的函数值 ， 则由三点的求导公式，有 INCLUDEPICTURE "http://www.zjtcm.net/wljx/computer/myweb/mnt02.89.gif" \* MERGEFORMAT 10、 对于n+1个节点的插值求积公式 至少具有n次代数精度. 二、单项选择题： 1、等距二点求导公式f(x1) ( A )。 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A 　 ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （A）， （B）， （C）， （D）， 三、问答题 1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？ 　　答：一个求积公式如果当为任意m次多项式时，求积公式精确成立，而当为次数大于m次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m次代数精确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。 四、计算题 1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1) 　　解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。 令代入公式两端并使其相等，得 解此方程组得，于是有 再令，得 故求积公式具有3次代数精确度。 （2） （3） 解：令代入公式精确成立，得 解得， 得求积公式 对 故求积公式具有2次代数精确度。 2.求积公式 ，已知其余项表达式为 ，试确定系数 ，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出代数精度的次数及求积公式余项。 EMBED Equation.DSMT4 7.3、根据下面给出的函数 的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式 计算 xk 0.000 0.125 0.250 0.375 0.500 f(xk) 1 0.99739784 0.98961584 0.97672675 0.95885108 xk 0.625 0.750 0.875 1.000 f(xk) 0.93615563 0.90885168 0.87719257 0.84147098 解 用复合梯形公式,这里n=8, , 用复合辛甫生公式: 这里n=4, .可得 4、求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。 答案：是精确成立，即 得 求积公式为 当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。 5、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。 解： ，时， 至少有两位有效数字。 6、（15分）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，试用余项估计其误差。用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 解： 7、（10分）已知数值积分公式为： ，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：显然精确成立； 时，； 时，； 时，； 时，； 所以，其代数精确度为3。 8、(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。 或利用余项： ，， 9、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？ 解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为 。其代数精度为1。 10、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。 解：5个点对应的函数值 xi 0 0.5 1 1.5 2 f(xi) 1 0.666667 0.333333 0.181818 0.111111 ----------------------------------------------------------（2分） (1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）： (2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）： 11、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： 取f(x)=1,x，令公式准确成立，得： ， ， f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2 12、   证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 定积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度 证明：当 =1时， 公式左边：  公式右边：   左边=右边 当 =x时            左边： 右边：左边=右边 当 时  左边：右边：左边=右边 当 时             左边： 右边： 左边=右边 当 时左边： 右边： 故 具有三次代数精度   13、 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 解 ，该数值求积公式具有5次代数精确度， 第五章 常微分方程 一、填空题 1、求解一阶常微分方程初值问题= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为 。 2、解初值问题的改进欧拉法是 　2　　阶方法。 3、解初始值问题 INCLUDEPICTURE "http://www.zjtcm.net/wljx/computer/myweb/mnt02.57.gif" \* MERGEFORMAT 近似解的梯形公式是 INCLUDEPICTURE "http://www.zjtcm.net/wljx/computer/myweb/mnt02.90.gif" \* MERGEFORMAT 4、解常微分方程初值问题 的梯形 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 是二阶方法  二、计算题 1.用改进欧拉方法计算初值问题 ，取步长h=0.1计算到y5。 解：改进的欧拉公式 代入 2. 用梯形法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准确解相比较 解：用梯形法求解公式，得 解得 精确解为 3．用改进的Euler法解初值问题 ；取步长h=0.1计算 ，并与精确解 相比较。(计算结果保留到小数点后4位) 解：改进的尤拉公式为： 代入 和 ，有 代入数据，计算结果如下： n 0 1 2 3 4 5 xn 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 yn 1 1.1100 1.2421 1.3985 1.5818 1.7949 y(xn） 1 1.1103 1.2428 1.3997 1.5836 1.7974 4.设初值问题 ， a) 由Euler方法、取步长h=0.1写出表示上述初值问题数值解的公式； b) 由改进Euler方法、取步长h=0.1写出上述初值问题数值解的公式。 解：a）根据Euler公式： 3分 b）根据改进Euler公式： 5分 5.设初值问题 ， a) 写出由Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式； b) 写出由改进Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。 解：a）根据Euler公式： b）根据改进Euler公式： 6、用欧拉方法求 在点处的近似值。 解：等价于 () 记,取,. 则由欧拉公式 , 可得 , 7、取步长，用预估-校正法解常微分方程初值问题 答案：解： 即 n 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 1.82 5.8796 10.7137 19.4224 35.0279 8、(10分) 求参数，使得计算初值问题的二步数值方法 的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。 解： 所以当，即时， 局部截断误差为 局部截断误差的主项为，该方法为二阶方法。 9、（15分）取步长，求解初值问题 用改进的欧拉法求的值； 解：改进的欧拉法： 所以； 10、（10分）对于一阶微分方程初值问题 ，取步长，用Euler预报－校正法求的近似值。 解：Euler预报－校正法 11、（10分）用二步法求解一阶常微分方程初值问题，问：如何选择参数的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。 解：局部截断误差为 因此有 局部截断误差主项为，该方法是2阶的。 12、(10分)取步长，求解初值问题，用欧拉预报—校正法求的近似值。 解：（1）欧拉预报-校正法： 13、(8分)已知常微分方程的初值问题： 用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。 ， 第六章 方程求根 一、填空题 1、已知方程 附近有一个根，构造如下两个迭代公式： 则用迭代公式(1)求方程的根收敛_，用迭代公式(2)求方程的根_发散_。 2、设 可微，求方程 的根的牛顿迭代格式为 。 3、 ,要是迭代法 局部收敛到 ，则 的取值范围是 4、迭代法的收敛条件是（1） （2） 。 5.写出立方根 的牛顿迭代公式 6．用二分法求解方程 在[1，2]的近似根，准确到10-3，要达到此精度至少迭代 9 次。 7、设可微,求方程的牛顿迭代格式是 ； 8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为 。 9． 用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 10、若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。 11、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分10 次。 12、求方程    的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么    1.5 13、  解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有局部平方收敛      14、  迭代过程 （k=1,2,…）收敛的充要条件是 < 1 二、单项选择题： 1、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，则f(x)=0的根是( B )。 (A) y=j(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=j(x)的交点 2、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。 3、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。 (A) (B) (C) (D) 4、计算的Newton迭代格式为( B ) (A) ；(B)；(C) ；(D) 。 5、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为( A ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。 6、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是( C ) (A)； (B)； (C)； (D)。 三、问答题 1.什么是不动点？如何构造收敛的不动点迭代函数？ 　　答：将方程改写为若使则称点为不动点而就是不动点的迭代函数，迭代函数可以有很多，但必须使构造的满足条件 　　　（1） 　　　（2） 　　　　　若已知，且 时也收敛，称为局部收敛。 2.对于迭代法初始近似，当时为什么还不能断定迭代法收敛？ 　　答：迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含的区间上证明且才能说明由出是迭代法收敛 　　如果用局部收敛定理6.2，则要知道不动点为才可由 证明其收敛性，由还不能说明迭代法收敛。 3.怎样判断迭代法收敛的快慢？一个迭代公式要达到P阶收敛需要什么条件？ 　　答：衡量迭代法快慢要看收敛阶P的大小，若序列收敛于，记为若存在及，使则称序列为P阶收敛，P越大收敛越快，当P＝1，则越小，收敛越快。一个迭代公式若为的不动点，P为大于1的整数，在连续，且而则此迭代公式为P阶收敛。 4.方程求根的Newton法是如何推出的？它在单根附近几阶收敛？在重根附近是几阶收敛？ 　　答：用曲线在点上的切线的零点近似曲线零点得到 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\user\\Local Settings\\Temp\\Rar$EX03.766\\GD_jsj_023y\\browser\\images\\dayiku\\5_6.gif" \* MERGEFORMAT 就是Newton法，在单根附近2阶收敛，当为重根时是线性收敛。 5、简述二分法的优缺点 答：优点(a)计算简单，方法可靠；(b)对f (x) 要求不高(只要连续即可) ；(c)收敛性总能得到保证。缺点(a)无法求复根及偶重根 ; (b)收敛慢 6、画图说明牛顿迭代公式的几何意义。 牛顿迭代公式就是切线与 x 轴交点的横坐标， 所以牛顿法是用切线与 x 轴的交点的横坐标来近 似代替曲线与x 轴交点的横坐标。 四、计算题 1、用二分法求方程的正根，使误差小于0.05. 解　使用二分法先要确定有根区间。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。 其误差 2. 求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式. 　　(1) ，迭代公式. 　　(2) ,迭代公式. 　　(3)，迭代公式. 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根. 解：（1）取区间且，在且，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。 （2），在中，且，在中有，故迭代收敛。 （3），在附近，故迭代法发散。 在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则 3. 给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根. 解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函数，。令，则，由递推有 ，即 4. 用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字. 　　(1) 在=2附近的根. 　　(2) 在=1附近的根. 解：（1） Newton迭代法 取，则，取 （2） 令，则，取 5. 应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性. 解：方程的根为，用Newton迭代法 此公式迭代函数，则，故迭代法2阶收敛。 6.用牛顿法求方程 的根， ，计算结果准确到四位有效数字。 解：根据牛顿法得 取,迭代结果如下表 所以，方程的根约为0.56714 7、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。 答案：解：令 . 且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为 则当时 ， 故迭代格式 收敛。取，计算结果列表如下： n 0 1 2 3 0.5 0.035127872 0.096424785 0.089877325 n 4 5 6 7 0.090595993 0.090517340 0.090525950 0.090525008 且满足 .所以. 8、用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算 的值，保留五位小数。 解：是的正根，，牛顿迭代公式为 ， 即 取x0=1.7, 列表如下： 1 2 3 1.73235 1.73205 1.73205 9、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。 解：（1），，故收敛； （2），，故收敛； （3），，故发散。 选择（1）：，，，，， ， 10、(6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。 解：：，n=0,1,2,… ∴ 对任意的初值,迭代公式都收敛。 11、   设 （1） 写出解 的Newton迭代格式 （2） 证明此迭代格式是线性收敛的 证明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式： n=0,1,… 得 ，n=0,1,… （2）因迭代函数 ，而 ， 又 ，则 故此迭代格式是线性收敛的。 第七章 线性方程组的直接解法 一、填空题 1. , 则= 6 , A的谱半径 . 2.设x=（11 0 5 1）T，则 = 17 ， = 11 ， . 3.设计算A的行范数 ，列范数 ，F-范数 ，2范数 . 解： 故 4.已知 EMBED Equation.3 。 5．设x=（3 -1 5 8）T，则 = 17 ， = 8 ， = 。 6．已知 ，则A的谱半径 ，则 。 7、 8.设x=（1 9 -5 2）T，则 = 17 ， = 9 . EMBED Equation.DSMT4 . 9. 10、设矩阵分解为，则 11、设矩阵的，则。 12、设,则 9 。 13、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为A的各阶顺序主子式均 不为零。  二、单项选择题： 1、用列主元消去法解线性方程组 ，第1次消元，选择主元为( A ) 。 (A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9 三、问答题 1.在什么情况下Gauss消去法会出现数值不稳定？如何克服？ 　　答：当消元过程中增广矩阵的元素很小时，Gauss消去法会出现数值不稳定，此时采用列主元消去法可克服这一问题。 2．什么是矩阵的条件数？如何判断A是"病态的"或"良态的"？ 　　答：A的条件数定义为，这里 为矩阵的任一种从属范数。当 时就认为A为病态矩阵，通常 可认为A是良态的。 3.矩阵满足什么条件才能使A的LU分解存在唯一？如何利用A=LU分解求解不同右端项的方程组？如 　　答：A的顺序主子式 时存在唯一单位下三角阵L及上三角阵U，使A=LU，而当 则方程存在唯一解，此时等价于解 于是由 及可求得Ax=b的解x,同样解Ly＝c及Ux=y和Ly=d,Ux=y则分别得到不同右端项的方程解。 四、计算题 1. 用Gauss消去法求解下列方程组. 　　　　 解　本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。 故 2. 用列主元消去法求解方程组 并求出系数矩阵A的行列式detA的值. 解：先选列主元，2行与1行交换得 消元 3行与2行交换 消元 回代得解 行列式得 3. 用Doolittle分解法求习题1(1)方程组的解. 解：由矩阵乘法得 再由求得 由解得 4.将矩阵 分解为单位下三角矩阵 和上三角矩阵 ，其中 ，然后求解该方程组 。（9分） 答案： 求解 得 ；求解 得方程的解为： 5.用直接三角分解（Doolittle）法解方程组（不选主元） 解： EMBED Equation.3 6. 设，证明　　 解： 即，另一方面 故 7．设，证明： 。 证明：由定义可知： 从而 由此可以看到 可由 控制。 8.将矩阵 分解为单位下三角矩阵 和上三角矩阵 ，其中 ， 然后求解该方程组 。 ， 先求解 再解 9、 ，则A的（Doolittle）LU分解为 。 答案： 10﹑用直接三角分解（Doolittle）法解方程组 。 答案：解： 令得，得. 11、用列主元素消元法求解方程组 。 解： 回代得 。 12、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组： 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.00000 1.9375 9.6875 第八章 线性方程组的迭代法 一、填空题 1、用Gauss-Seidel迭代法解方程组 ，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足 。 2、求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为 ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。 3、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代分量形式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛 收敛 。 4、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都__收敛. 5、   高斯--塞尔德迭代法解线性方程组 的迭代格式中求 INCLUDEPICTURE "http://www.zjtcm.net/wljx/computer/myweb/mnt01.26.gif" \* MERGEFORMAT    6、 若 则矩阵A的谱半径 (A)= 1  7、 ，则A的谱半径 ＝ ，A的 ＝6 二、单项选择题： 1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（ C ）。 A．A的各阶顺序主子式不为零 B． C． D． 2、设，则为( C )． A． 2 B． 5 C． 7 D． 3 3、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ B　　 ）。 （A）, (B) , (C) , (D) 三、问答题 1.迭代法收敛的充要条件是什么？如果 能否说明迭代法不收敛？用什么表示迭代法的收敛速度？ 　　答：迭代法收敛的充要条件是，当 时因不一定能使，故不能说明迭代法不收敛。反之 则迭代法收敛。 三、计算题： 1. 方程组 　　　　　　　　 　　(1) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止. （1）J法得迭代公式是 取，迭代到18次有 GS迭代法计算公式为 取 2. 设方程组 　　　　　　　　 证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散. 解：Jacobi迭代为 其迭代矩阵 ，谱半径为，而Gauss-Seide迭代法为 其迭代矩阵 ，其谱半径为 由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。 3. 下列方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛? 　　　 解：Jacobi法的迭代矩阵是 即，故，J法收敛、 GS法的迭代矩阵为 故，解此方程组的GS法不收敛。 4、 设，detA≠0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件. 解　J法迭代矩阵为 ，故J法收敛的充要条件是。GS法迭代矩阵为 由得GS法收敛得充要条件是 5.已知方程组 ,其中 ， （1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径 答案： （1）分量形式，J法为 GS法为（2） 6.实数 ，考察矩阵 ，试就方程组 建立Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式。讨论 取何值时迭代收敛。 解：当实数 时Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为 由 ，求得BJ的特征值为： ，则 ，当 时，Jacobi迭代法收敛； 由 ，求得BJ的特征值为： ，则 ，当 时，Gauss-Seidel迭代法收敛； 7． 用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式 k 0 0 0 0 1 2.7500 3.8125 2.5375 2 0.20938 3.1789 3.6805 3 0.24043 2.5997 3.1839 4 0.50420 2.4820 3.7019 8﹑对方程组 （1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由； （2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 取,经7步迭代可得： . 9、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 =， 取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel迭代格式为： 系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛. 取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下: 1 1.667 0.889 -2.195 2 2.398 0.867 -2.383 3 2.461 0.359 -2.526 10、（8分）已知方程组，其中 ， （1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。 解：Jacobi迭代法： Gauss-Seidel迭代法： ， 11、(10分)已知方程组，其中 ， (1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； (2)讨论上述两种迭代法的收敛性。 解：（1）Jacobi迭代法： Jacobi迭代矩阵： 收敛性不能确定 （2）Gauss-Seidel迭代法： Gauss-Seidel迭代矩阵： 该迭代法收敛 12、（15分）已知方程组，其中 ， （1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； （2）判断两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快； 解：（1）Jacobi迭代法的分量形式 Gauss-Seidel迭代法的分量形式 （2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为 ， ，，Jacobi迭代法收敛 Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为 ， ，，Gauss-Seidel迭代法发散 第九章 特征值与特征向量 一、计算题 1.用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为。 解： ①, , ②, , ， ③, , ， ∴， x y o x* _1234567890.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567893.unknown _1234567894.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567897.unknown _1234567898.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567901.unknown _1234567902.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567905.unknown _1234567906.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567909.unknown _1234567910.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567913.unknown _1234567914.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567917.unknown _1234567918.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567921.unknown _1234567922.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567925.unknown _1234567926.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567929.unknown _1234567930.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567933.unknown _1234567934.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567937.unknown _1234567938.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567941.unknown _1234567942.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567945.unknown _1234567946.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567949.unknown _1234567950.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567953.unknown _1234567954.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567957.unknown _1234567958.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567961.unknown _1234567962.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567965.unknown _1234567966.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567969.unknown _1234567970.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567973.unknown _1234567974.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567977.unknown _1234567978.unknown _1234567979.unknown _1234567981.unknown _1234567982.unknown _1234567983.unknown _1234567984.unknown _1234567985.unknown _1234567986.unknown _1234567987.unknown _1234567988.unknown _1234567989.unknown _1234567990.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567993.unknown _1234567994.unknown _1234567995.unknown _1234567996.unknown _1234567997.unknown _1234567998.unknown _1234567999.unknown _1234568000.unknown _1234568001.unknown _1234568002.unknown _1234568003.unknown _1234568004.unknown _1234568005.unknown _1234568006.unknown _1234568007.unknown _1234568008.unknown _1234568009.unknown _1234568010.unknown _1234568011.unknown _1234568012.unknown _1234568013.unknown _1234568014.unknown _1234568015.unknown _1234568016.unknown _1234568017.unknown _1234568018.unknown _1234568019.unknown _1234568020.unknown _1234568021.unknown _1234568022.unknown _1234568023.unknown _1234568024.unknown _1234568025.unknown _1234568026.unknown _1234568027.unknown _1234568028.unknown _1234568029.unknown _1234568030.unknown _1234568031.unknown _1234568032.unknown _1234568033.unknown _1234568034.unknown _1234568035.unknown _1234568036.unknown _1234568037.unknown _1234568038.unknown _1234568039.unknown _1234568040.unknown _1234568044.unknown _1234568045.unknown _1234568047.unknown _1234568048.unknown _1234568049.unknown _1234568050.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568053.unknown _1234568054.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568057.unknown _1234568058.unknown _1234568059.unknown _1234568060.unknown _1234568061.unknown _1234568062.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568065.unknown _1234568066.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568069.unknown _1234568070.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568073.unknown _1234568074.unknown _1234568075.unknown _1234568076.unknown _1234568077.unknown _1234568078.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568081.unknown _1234568082.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568085.unknown _1234568086.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568089.unknown _1234568090.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568093.unknown _1234568094.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568097.unknown _1234568098.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568101.unknown _1234568102.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568105.unknown _1234568106.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568109.unknown _1234568110.unknown _1234568111.unknown _1234568112.unknown _1234568113.unknown _1234568114.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568117.unknown _1234568118.unknown