第四章 边界层理论基础 边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。

第四章边界层理论基础边界层理论由普朗特1904年(Prantdl)提出，用于处理高Re数的流动问题。边界层理论不但在动量传递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点以及某些简单边界层的求解等问题。对于某些流动问题，其惯性力>>黏性力。采用理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl发现，其根本原因是：在物体与流体接触的界面附近的薄层流体内，惯性力~黏性力，应单独处理—边界层理论。为什么要提出边界层理论？第四章边界层理论基础4.1边界层的概念一、普朗特边界层理论的要点二、边界层的形成过程三、边界层厚度的定义第四章边界层理论基础1.当流体以高Re流过固体壁面时，由于流体的黏性作用，在壁面上流速降为零；2.在壁面附近区域存在一极薄的流体层，其内速度梯度很大；一、普兰德边界层理论的要点3.在远离壁面的流动区域，其速度梯度几乎为零，可视其为理想流体的势流。二、边界层的形成过程1.平板壁面上的速度边界层当黏性流体（高Re）在一半无穷平板壁面上流动时，速度边界层的形成过程见图：首先，在壁面附近有一薄层流体，速度梯度很大；在薄层之外，速度梯度很小，可视为零。壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。二、边界层的形成过程x=0xyu0u0u0u0层流边界层和湍流边界层在板前缘附近，边界层内流速较低，为层流边界层；而后逐渐过渡为湍流边界层。湍流边界层分为3层近壁面的薄层流体为层流内层；其次为缓冲层；然后为湍流核心。二、边界层的形成过程x=0xyu0u0u0u0层流边界层过渡区湍流边界层层流内层缓冲层湍流核心临界距离和临界雷诺数：临界距离xc由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离；平板流动Rex—由平板前沿算起的距离，mu0—主流区流体流速，m/s。临界Rexc二、边界层的形成过程x=0xyu0u0u0u0xc层流边界层过渡区湍流边界层层流内层缓冲层湍流核心2.管内边界层形成过程黏性流体以u0的流速流进管内,在进口附近形成速度边界层。二、边界层的形成过程(a)u0较小，在管中心汇合依然为层流边界层。汇合以后为充分发展的层流：二、边界层的形成过程LfriLfri（a）层流边界层（b）层流与湍流边界层层流边界层湍流边界层(b)u0较大，在汇合之前已发展为湍流边界层。汇合以后为充分发展的湍流；u0u0流动进口段—由管进口开始至边界层汇合以前的距离Lf充分发展的流动—边界层汇合以后的流动二、边界层的形成过程管内流动雷诺数d—圆管直径，m；ub—主体流速，m/s。Re<2000时，管内流动为层流。二、边界层的形成过程三、边界层厚度的定义1.平板边界层厚度δ2.管内边界层的厚度进口段区汇合后Lf—进口段长度，m；d—管道内径，m；Re—雷诺数。三、边界层厚度的定义第四章边界层理论基础4.1边界层的概念4.2普朗特边界层方程一、普朗特边界层方程的推导二、普朗特边界层方程的解一、普朗特边界层方程的推导不可压缩流体沿平壁作稳态二维层流流动的变化方程：非线性二阶偏微分方程大Re数下的边界层流动有两个重要性质：2.边界层内粘性力与惯性力的量级相同。1.边界层厚度δ<<物体特征尺寸x；对平板上流动的变化方程作量阶分析：量阶：指物理量在整个区域内相对于 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 量阶而言的平均水平，不是指该物理量的具体数值。一、普朗特边界层方程的推导取如下两个标准量阶：（1）取坐标x为距离的标准量阶，外流速度u0为流速的标准量阶，即（2）取边界层厚度δ为另一个标准量阶：一、普朗特边界层方程的推导（1）ux：0→u0，ux=O(1)（5）uy：由连续性方程一、普朗特边界层方程的推导11δ11/δ21/δ分析结果：获得边界层流动，流体的粘性要非常低一、普朗特边界层方程的推导1δδ1δ2δ1/δ分析结果：（2）y方向的运动方程较次要，可忽略不计。一、普朗特边界层方程的推导沿边界层法线方向上流体的压力梯度可忽略，即压力可穿过边界层保持不变。根据理想流体理论，边界层外部边界上的压力分布是确定的。于是边界层内的压力变成了已知函数。一、普朗特边界层方程的推导二、普朗特边界层方程的解普朗特边界层方程边界层外为理想流体的势流，可用Bernolli方程描述。在流动的同一水平高度上，有考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。边界层内：二、普朗特边界层方程的解流函数二、普朗特边界层方程的解相似变换法求解令二、普朗特边界层方程的解二、普朗特边界层方程的解级数解：二、普朗特边界层方程的解二、普朗特边界层方程的解边界层内的速度分布对于给定的位置（x，y）→η，f，f’→ux，uy二、普朗特边界层方程的解边界层厚度二、普朗特边界层方程的解局部摩擦曳力系数二、普朗特边界层方程的解流体流过长度为L、宽度为b的平板壁面的总曳力平均曳力系数二、普朗特边界层方程的解第四章边界层理论基础4.1边界层的概念4.2普朗特边界层方程4.3边界层积分动量方程二、平板层流边界层的近似解一、边界层积分动量方程的推导一、边界层积分动量方程的推导普朗特边界层方程虽然比一般化的奈维—斯托克斯方程简单，但仍然只有在少数几种简单的流动情形例如平板、楔形物体等才能获得精确解。工程实际中，许多较复杂的问题直接求解普兰德边界层方程相当困难。本节介绍一种计算量较小、工程上广泛采用的由卡门（Karman）提出的积分动量方程法。基本思想是：在边界层内，选一微分控制体作微分动量衡算，导出一个边界层积分动量方程；然后用一个只依赖于的单参数速度剖面近似代替真实速度侧形，将其代入边界层积分动量方程中积分求解，从而可以得到若干有意义的物理量如边界层厚度、曳力系数的表达式。一、边界层积分动量方程的推导在距壁面前缘x处，取一微元控制体dV=δdx（1）yxu0δ0dx1423将动量守恒原理应用于微元控制体dV，得x方向：（1）一、边界层积分动量方程的推导1-2截面：流入3-4截面：流出一、边界层积分动量方程的推导2-3截面：流入1-4截面：无对流一、边界层积分动量方程的推导整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差，即（2）一、边界层积分动量方程的推导u0作用在控制体x方向上的力（取x坐标方向为正号）①1-4截面（壁面剪应力）②1-2截面（压力）：一、边界层积分动量方程的推导③3-4截面（压力）：④2-3截面（压力）因该截面与理想流体接壤，故无剪应力，仅存在着流体的压力一、边界层积分动量方程的推导y0作用在整个微元控制体上的x方向的合外力为（3）将式（2）和（3）代入（1）中，得仅沿x方向流动Karman边界层积分动量方程一、边界层积分动量方程的推导适用条件（1）对于层流边界层和湍流边界层均适用；（2）可用于曲面物体边界层。对于平板壁面的层流边界层，一、边界层积分动量方程的推导二、平板层流边界层的近似解平板层流边界层内的速度分布可近似表示为—待定系数，由以下B.C.确定：（1）在y=δ(边界层外缘）（2）在y=0(壁面处）为何y=0处满足上述B.C.？请证明。 采用线性多项式；二、平板层流边界层的近似解2.采用二次多项式二、平板层流边界层的近似解3.采用三次多项式二、平板层流边界层的近似解4.采用四次多项式二、平板层流边界层的近似解以最常用的三次多项式为例求解平板层流边界层：积分得二、平板层流边界层的近似解联立得一阶常微分方程边界层厚度二、平板层流边界层的近似解局部摩擦曳力系数平均曳力系数二、平板层流边界层的近似解二、平板层流边界层的近似解第四章边界层理论基础4.1边界层的概念4.2普兰德边界层方程4.3边界层积分动量方程4.4流体在管道进口段的流动管道进口段的流动分析管道进口段的流动分析仅讨论进口段为层流边界层的情况：边界层内为二维流动运动方程可简化为管道进口段的流动分析Langhaar给出的近似解为式中，I0、I1—分别是第一类修正的贝塞尔函数（Besselfunction）；r、ri—分别是距管中心的距离坐标和管半径；管道进口段的流动分析管道进口段的流动分析流动进口段长度管道进口段的流动分析第四章边界层理论基础4.1边界层的概念4.2普兰德边界层方程4.3边界层积分动量方程4.4边界层分离与形体曳力4.4管道进口段的流体流动一、边界层分离的概念二、形成边界层分离的过程三、边界层分离的条件●边界层分离指原来紧贴壁面运动的边界层流动在某些条件下,脱离壁面而进入外部流场。●分离出来的流体在物体后面形成尾涡区,从而产生很大的尾部阻力。●因此有必要研究边界层为什么会从物面分离,又应该如何防止或推迟分离边界层分离。一、边界层分离的概念●现以流体绕长圆柱流动为例,考察边界层分离的大致过程，见图：二、形成边界层分离的过程●当粘性流体以大Re绕过圆柱体流动时，由于流体的粘性作用，沿柱体表面的法线上将建立起速度边界层，并沿流动方向逐渐加厚。A→B点（上游区）：边界层外—势流：流道截面减小，u↑，p↓边界层内—黏性流：u↑，p↓p推动流体向前流动，一部分转化为动能，其它用于摩擦阻力消耗。二、形成边界层分离的过程B点以后（下游区）：边界层外—势流：流道截面变大，u↓，p↑边界层内—黏性流：u↓，p↑，p阻止流体向前流动，摩擦阻力阻止流体流动。二、形成边界层分离的过程●在逆压梯度和摩擦阻力双重作用下，边界层内流体的流速愈来愈慢，以致于在壁面附近的某一点P处，质点的动能消耗殆尽而停滞下来，形成一个新的停滞点P。在P点处，流体速度为零。●由于P点处的压力较上游压力大，后继的流体质点因P点处的高压不能接近该点，被迫脱离壁面和原来的流向向下游流去，造成边界层脱离壁面—边界层分离，P点为分离点。二、形成边界层分离的过程在●P点下游的壁面区域形成一个流体的空白区。在逆压梯度作用下，必然有倒流的流体来补充。但这些倒流的流体又不能靠近处于高压下的P点而被迫倒退回来，由此点下游的区域产生流体的旋涡。二、形成边界层分离的过程●边界层分离是产生形体曳力Fdf的主要原因。由于边界层分离时产生大量的旋涡，消耗了流体能量。●流体流经管件、阀门、管路突然扩大与突然缩小以及管路的进、出口等局部地方，由于流向的改变和流道的突然变化的原因，都会出现边界层的分离现象。二、形成边界层分离的过程三、边界层分离的条件●外部条件●内部条件上述条件称为：发生边界层分离的必要条件。（外部流体具有逆压性质）（流体有粘性）1.某粘性流体以速度u0稳态流过平板壁面形成边界层，在边界层内流体的剪应力不随y方向变化。（2）试从卡门边界层积分动量方程出发，确定的表达式。习题2.20℃的水以0.1m/s的流速流过一长为3m、宽为1m的的平板壁面。试求算距平板前缘0.1m位置处沿法向距壁面2cm点的流速ux、uy；并求算局部曳力系数CDx、平均曳力系数CD及流体对平板壁面施加的总曳力。,习题习题3.不可压缩流体稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内x方向的速度分布为试求边界层内y方向速度分布uy的表达式。。4.不可压缩流体以u0的速度流入宽为b、高为2h的矩形通道（b>>a）），从进口开始形成速度边界层。已知边界层的厚度可近似按下式估算式中x为沿流动方向的距离。习题试根据上述条件，导出计算流动进口段长度Le的表达式。5.某粘性流体以速度u0稳态流过平板壁面时形成层流边界层，已知在边界层内流体的速度分布可用下式描述（1）采用适当边界条件，确定上式中的待定系数a、b和c，并求速度分布的表达式；习题习题6.已知不可压缩流体在一很长的平板壁面上形成的层流边界层中，壁面上的速度梯度为设流动为稳态，试从普兰德边界层方程出发，证明壁面附近的速度分布可用下式表示