断裂力学

工程断裂力学目录第一章绪论第二章线弹性断裂力学第三章弹塑性断裂力学第四章疲劳裂纹扩展第五章复合型裂纹的脆性断裂理论附录弹性力学基础第一章绪论?一、引例用分子论观点计算出绝大部分固体材料的强度103MPa，而实际断裂强度100MPa？第一章绪论第一章绪论二、工程中的断裂事故1．1860~1870英国铁路事故死200人/年；2．1938年3月14日比利时费廉尔大桥断成三节，1947~1950比利时又有14座大桥脆性破坏；3．美国二次大战期间2500艘自由轮，700艘严重破坏，其中145艘断成两段，10艘在平静海面发生。同时期大量的战机事故——广泛采用焊接工艺和高强度材料；4．1954年1月10日英国大型喷气民航客机彗星号坠落，同时期共三架坠落；二、工程中的断裂事故5．1958美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆炸；6．1969年11月美国F3左翼脱落；7．1972年我国歼5坠毁；8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等第一章绪论二、工程中的断裂事故第一章绪论二、工程中的断裂事故9．2007年11月2日美国F15空中解体；第一章绪论三、断裂力学发展简史1．1913年，C.E.Inglis(英格列斯)将裂纹(缺陷)简化为椭圆形切口，用线弹性方法研究了含椭圆孔无限大板受均匀拉伸问题——按应力集中观点解释了材料实际强度远低于理论强度是由于固体材料存在缺陷的缘故。2．1921年，A.A.Griffith(格里非斯)用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则，成为线弹性断裂力学的核心之一—能量释放率准则。第一章绪论三、断裂力学发展简史3．1955~1957年，G.R.Irwin(欧文)通过对裂尖附近应力场的研究，提出了新的断裂参量—应力强度因子，并建立断裂判据，成为线弹性断裂力学的另一核心—应力强度因子断裂准则。4．1963年，F.Erdogan(艾多甘)和G.C.Sih(薛昌明)提出了复合型裂纹扩展的最大拉应力理论；1972年，K.Palaniswamy(帕拉尼斯瓦米)从裂纹扩展能量释放率的概念出发建立了复合型裂纹扩展的最大能量释放率理论；1970s中期，G.C.Sih又提出了能处理全复合型裂纹扩展的应变能密度因子理论。第一章绪论三、断裂力学发展简史5．1948年和1950年，G.R.Irwin和E.O.Orowan(奥洛文)各自独立地将Griffith能量理论推广到裂尖存在小范围屈服的金属材料，这是研究弹塑性断裂问题的开端。6．1960年，D.S.Dugdale(达格代尔)运用N.I.Muskhelishvili(穆斯海里什维利)方法研究了裂纹尖端的塑性区，称为D—M模型，因为该模型是G.I.Barenblatt(巴伦布拉特)于1963年提出的“内聚力”模型的特殊情况，所以也称为D—B模型。第一章绪论三、断裂力学发展简史7．1965年，A.A.Wells(威尔斯)在大量实验和工程经验的基础上提出了弹塑性条件下裂纹的起裂准则——COD(CrackOpeningDisplacemen)准则，但其理论基础很薄弱，不是一个直接严密的裂纹尖端弹塑性应力应变场的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 征参量。8．1968年，J.R.Rice(赖斯)提出J积分，它避开直接计算裂纹尖端附近的弹塑性应力应变场，而用围绕裂尖的与路径无关的回路线积分(J积分)作为表示裂纹尖端应变集中特性的平均参量。第一章绪论三、断裂力学发展简史9．1968年，J.W.Hutchinson(哈钦森)、J.R.Rice和G.F.Rosengren(罗森格伦)分别发表了I型裂纹尖端应力应变场的弹塑性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，即著名的HRR奇异解，它证明了J积分唯一决定裂尖弹塑性应力应变场的强度，也具有奇异性。从此，弹塑性力学有了一个新的理论起点。10．COD准则和J积分准则均为弹塑性裂纹起裂准则，从1970s起着力建立裂纹稳定扩展准则。第一章绪论三、断裂力学发展简史11．1948年，N.F.Mott(莫特)进行了裂纹快速扩展速度的定量计算，并将动能引入Griffith能量准则。12．复合材料的界面断裂力学四、断裂力学分类1．宏观断裂力学和微观断裂力学；2．宏观断裂力学：线弹性断裂力学，弹塑性断裂力学，断裂动力学和界面断裂力学。第一章绪论五、断裂力学的任务1．研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，寻找控制材料开裂的物理参量；2．研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标的变化规律，确定其数值及测定方法；3．建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则；4．含裂纹的各种几何构形在不同载荷作用下，控制材料开裂物理参量的计算。第一章绪论五、断裂力学的任务5．将3和4结合解决下述问题1)给定结构型式、裂纹，计算含裂纹体承载能力；2)给定结构型式、载荷，计算允许裂纹长度—损伤容限；3)给定结构损伤容限和载荷，设计结构几何尺寸；4)计算重复载荷作用下裂纹扩展至容许长度寿命；5)为结构选择材料；6)结构的止裂与修补。第一章绪论六、断裂力学研究方法从弹性力学方程或弹塑性力学方程出发，把裂纹作为一种边界条件，考虑裂纹顶端的应力、应变和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量之间的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。第一章绪论七、参考书第一章绪论[1]高庆．工程断裂力学.重庆大学出版社，1986．[2]李庆芬等．断裂力学及其工程应用．哈尔滨工程大学，2008．[3]张安哥等．疲劳、断裂与损伤．西南交通大学出版社，2006．[4]黄维扬．工程断裂力学．航空工业出版社，1992．[5]庄茁等．工程断裂与损伤．机械工业出版社，2004．第二章线弹性断裂力学2.1裂纹及其对强度的影响2.2断裂力学的能量方法2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场2.4II、III型裂纹尖端的应力场和位移场2.5应力强度因子2.6G与K的关系2.7应用权函数法计算K因子2.8叠加原理在计算K因子中的应用2.9确定K因子的其它方法2.1裂纹及其对强度的影响一、裂纹的分类1．按裂纹的几何特征1)穿透裂纹(贯穿裂纹)—简化为理想尖裂纹；2)表面裂纹—简化为半椭圆形裂纹；3)深埋裂纹—简化为椭圆片状裂纹或圆形裂纹(钱币状裂纹，便士状裂纹)。一、裂纹的分类2．按裂纹的力学特征1)张开型(I型，OpeningMode)裂纹在与裂纹面正交的拉应力作用下，裂纹面产生张开位移(位移与裂纹面正交)，裂纹上下表面垂直于裂纹面的位移不连续(方向相反)2)滑移型(II型，SlidingMode)裂纹在与裂纹面平行而与裂纹尖端线垂直的切应力作用下，使裂纹面产生沿裂纹面相对滑动位移(位移平行切应力方向)，裂纹上下表面垂直于裂纹尖端线方向的位移不连续(方向相反)2.1裂纹及其对强度的影响一、裂纹的分类2．按裂纹的力学特征3)撕裂型(III型， Anti-planeShearMode)裂纹在与裂纹面垂直而与裂纹尖端线平行的切应力作用下，使裂纹面产生沿裂纹面外相对滑动位移(位移平行切应力方向)，裂纹上下表面平行于裂纹尖端线方向的位移不连续(方向相反)4)多数裂纹为复合型裂纹，I型裂纹最常见、最危险、最重要。2.1裂纹及其对强度的影响二、裂纹对材料强度的影响2.1裂纹及其对强度的影响1．无限大平板中的椭圆切口承受均匀拉应力2．固体材料的理论断裂强度3．按传统强度观点4．按微观理论—连续介质力学和弹性理论的局限g：表面自由能密度b0：原子间距2.2断裂力学的能量方法一、Griffith理论1．裂纹扩展中的能量关系(裂纹面积A扩展了dA)1)体系能量变化2)弹性系统释放的能量(势能)2.2断裂力学的能量方法一、Griffith理论2．能量释放率及断裂判据1)裂纹扩展单位面积系统释放的能量—能量释放率2)如外力功为零，裂纹厚度b不变，长度为aG单位N/m；也称为裂纹驱动力2.2断裂力学的能量方法一、Griffith理论2．能量释放率及断裂判据3)裂纹扩展单位面积消耗的能量—裂纹扩展阻力率(临界应变能释放率)4)断裂判据GC：材料常数(材料的断裂韧度)2.2断裂力学的能量方法一、Griffith理论3．Griffith理论1)b厚板的能量封闭体系Ve0-Ve开裂前后，板应变能增加-Ve，封闭体系的外力功为零，同时形成裂纹面，表面能增加。2.2断裂力学的能量方法一、Griffith理论3．Griffith理论1)b厚度板开裂前后应变能增量2)表面自由能A：裂纹单侧自由表面面积2.2断裂力学的能量方法一、Griffith理论3．Griffith理论3)给定裂纹长度a：裂纹半长给定应力—容限裂纹半长4)Griffith理论适用范围—足够尖的裂纹，Griffith裂纹2.2断裂力学的能量方法一、Griffith理论3．Griffith理论5)Griffith理论的含义 裂纹扩展单位面积释放的应变能等于形成自由表面所需要的表面能，裂纹不稳定平衡；释放的应变能大于表面能，裂纹失稳扩展；释放的应变能小于表面能，裂纹不扩展。 裂纹扩展后，能量释放率降低，稳定扩展；裂纹扩展后，能量释放率增大，失稳扩展； 裂纹扩展阻力率等于表面自由能密度的2倍。2.2断裂力学的能量方法一、Griffith理论3．Griffith理论6)断裂过程的能量平衡2.2断裂力学的能量方法一、Griffith理论4．Orowan理论1)金属材料—裂纹扩展前尖端产生塑性区，需耗散能量；2)引入塑性功率(裂纹扩展单位面积，内力对塑性变形作的塑性功)；G：塑性功率，对于金属材料，G比g大三个量级2.2断裂力学的能量方法一、Griffith理论4．Orowan理论3)给定裂纹长度给定应力5．平面应变状态(用E’替换E)2.2断裂力学的能量方法二、两种特殊情况下G的表达式(Irwin-Kies)1．恒位移情况(dd=0)1)线弹性情况，裂纹扩展导致应变能的改变2)G最终表达式(外力功为零)2.2断裂力学的能量方法二、两种特殊情况下G的表达式(Irwin-Kies)1．恒载荷情况(dF=0)1)裂纹扩展导致应变能和外力功的变化2)G最终表达式2.2断裂力学的能量方法二、两种特殊情况下G的表达式(Irwin-Kies)3．讨论1)恒位移及恒载作用下G表达式相同2)两种情况下位移变形图2.2断裂力学的能量方法二、两种特殊情况下G的表达式(Irwin-Kies)3．讨论2)两种情况下位移变形图2.2断裂力学的能量方法二、两种特殊情况下G的表达式(Irwin-Kies)3．讨论2)一般情况下G的表达式2.2断裂力学的能量方法三、临界应变能释放率的确定(紧凑拉伸实验)2.2断裂力学的能量方法四、例题1．裂纹稳定扩展和失稳扩展的判据1)稳定扩展—裂纹扩展后G降低—裂纹扩展后G增大2)失稳扩展2.2断裂力学的能量方法四、例题2．铝合金圆柱管道：GC=20N/mm，E=76GPa，管道内压引起300MPa环向应力，求此应力作用下，裂纹的可能扩展长度。aC—为裂纹半长2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场一、复变应力函数1．应力法求解弹性力学平面问题的步骤1)寻找满足双调和方程的应力函数2)求解应力分量3)应力满足边界条件→应力函数具体形式4)物理及几何方程求解应变及位移2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场一、复变应力函数2．极坐标形式的双调和方程和应力分量1)双调和方程2)应力分量2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场一、复变应力函数3．复变应力函数1)复数的几种表示方法2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场一、复变应力函数3．复变应力函数2)解析函数柯西—黎曼方程2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场一、复变应力函数3．复变应力函数3)解析函数的重要性质 解析函数的实部和虚部都是调和函数 解析函数的导数和积分仍为解析函数2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场一、复变应力函数3．复变应力函数3)解析函数的重要性质 解析函数的实部与虚部对复数z的导数(积分)与对x，y的导数存在如下关系2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场二、I型裂纹尖端应力场和位移场1．调和函数与双调和函数的关系 调和函数必然是双调和函数； 调和函数的线性组合是双调和函数；2．Westergaard应力函数—解析函数ZI(z)的一次和二次积分线性组合2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场二、I型裂纹尖端应力场和位移场3．应力分量由应力分量可以得到应变分量和位移分量2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场二、I型裂纹尖端应力场和位移场4．解析函数ZI(z)的确定 边界条件2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场二、I型裂纹尖端应力场和位移场4．解析函数ZI(z)的确定 满足边界条件的ZI(z)根据y=0边界条件一般情况2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场二、I型裂纹尖端应力场和位移场5．I型裂纹尖端的应力场和位移场 坐标原点由裂纹中心移至右端点O’后解析函数ZI的形式2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场二、I型裂纹尖端应力场和位移场5．I型裂纹尖端的应力场和位移场 极坐标形式的裂纹尖端附近解析函数ZI 进一步求得2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场二、I型裂纹尖端应力场和位移场5．I型裂纹尖端的应力场和位移场 I型裂纹尖端的应力场公式首项适用于r<<a的裂尖区域2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场二、I型裂纹尖端应力场和位移场5．I型裂纹尖端的应力场和位移场 I型裂纹尖端的位移场2.3I型裂纹尖端的应力场和位移场二、I型裂纹尖端应力场和位移场5．I型裂纹尖端的应力场和位移场 几个特征1)KI：I型裂纹应力强度因子(stressintensityfactor)，简称K因子。衡量裂尖应力场强弱的唯一指标。应变、位移、应变能密度均可用K因子表示。3)ux是q的偶函数，uy是q的奇函数；—抛物线分布4)裂纹面上2.4II、III型裂纹尖端的应力场和位移场一、II型裂纹尖端应力场和位移场1．II型裂纹尖端的应力场1)KII：II型裂纹应力强度因子2)公式首项适用于r<<a的裂尖区域2.4II、III型裂纹尖端的应力场和位移场一、II型裂纹尖端应力场和位移场2．II型裂纹尖端的位移场1)ux是q的奇函数，uy是q的偶函数2.4II、III型裂纹尖端的应力场和位移场二、III型裂纹尖端应力场和位移场1)KIII：III型裂纹应力强度因子2)公式首项适用于r<<a的裂尖区域3)uz是q的奇函数2.5应力强度因子一、K主导区1．I、II、III型裂纹尖端应力场的通式(主奇异项)2．K主导区：能够用主奇异项描述的区域1．二向均拉无限大平板中长度2a的中心贯穿裂纹的K因子3．Westergaard应力函数确定K因子二、I型裂纹K因子二、I型裂纹K因子2.5应力强度因子2．无限大平板中长度2a的中心贯穿裂纹表面上，距裂纹中点x=±b各作用一对集中力F满足边界条件的解析函数为取裂纹右端点为坐标原点二、I型裂纹K因子2.5应力强度因子3．有限宽板裂纹问题利用无限大板精确解通过表面修正得到。从无限大板中割取，割取的自由表面上有位移无应力，而无限大板既有位移也有应力，因此应考虑自由表面的影响，进行修正。M—自由表面修正系数 边裂纹(单边a，双边a，单边a受纯弯曲)： 中心裂纹(长2a)：三、II、III型裂纹K因子2.5应力强度因子1．无限大平板II型裂纹K因子2．无限大平板III型裂纹K因子四、深埋裂纹与表面裂纹(三维裂纹)2.5应力强度因子1．深埋裂纹 假设为长轴2c，短轴2a的椭圆裂纹 无限大体深埋椭圆裂纹，远处受均匀拉应力(Green和Sneddon解)四、深埋裂纹与表面裂纹(三维裂纹)2.5应力强度因子1．深埋裂纹 各点K因子变化：椭圆短轴端点K最大，长轴端点最小 圆片裂纹： c>>a(a/c→0)：四、深埋裂纹与表面裂纹(三维裂纹)2.5应力强度因子2．表面裂纹(半椭圆裂纹)自由边缘修正 引用平板自由边缘修正系数 a/(2c)较大 Paris-sih解 工程近似计算五、讨论2.5应力强度因子1．K因子通式2．各种载荷及裂纹形式K因子—查表3．K因子单位(国际单位制)：I型、II型和III型几何形状因子。六、用位移和应力表示的K因子2.5应力强度因子1．应力场表示2．位移场表示七、K因子断裂判据2.5应力强度因子1．I型裂纹注意：KI是带裂纹构件所承受载荷、裂纹与结构几何形状的函数，KIC是材料常数，称为材料的平面应变断裂韧度，通过实验测定。2．II、III型裂纹KIIC或KIIIC不容易测定，目前一般通过复合型裂纹断裂判据建立KIIC或KIIIC与KIC关系。复合型裂纹断裂判据类似材料力学中的强度理论，人们在科学分析的基础上提出的一种断裂假说，通过典型试验验证，同时满足I型裂纹断裂判据。八、例题2.5应力强度因子解：八、例题2.5应力强度因子解：275℃回火时600℃回火时八、例题2.5应力强度因子解：1)安全压力按Treasca准则2)最大允许裂纹长度八、例题2.5应力强度因子解：1)4．受中点集中力作用矩形截面简支梁，集中力作用处下边缘有一长5mm横向贯穿裂纹，梁高h=100mm，宽度b=20mm，总跨长l=1m，材料KIC=41MNm-3/2。试求裂纹不扩展时的最大载荷F。2)3)八、例题2.5应力强度因子4．受中点集中力作用矩形截面简支梁，集中力作用处下边缘有一长5mm横向贯穿裂纹，梁高h=100mm，宽度b=20mm，总跨长l=1m，材料KIC=41MNm-3/2。试求裂纹不扩展时的最大载荷F。一、线弹性断裂的两个判据2.6G与K的关系同一问题的两个出发点，应该统一二、G与K关系推导1．I型裂纹研究思路I型裂纹沿裂纹线扩展，裂纹长度由a增加到a+da，裂纹扩展段上应力消失，新表面在法线方向产生位移uy(x)，比较裂纹扩展前后板能量差异就可以得到能量释放率2.6G与K的关系二、G与K关系推导2．da段裂纹面位移3．在da段裂纹表面加载按上式由零加到最终，da裂纹靠拢直至恢复a长，从a+da到a加载过程，外力对弹性体做功提高应变能。由于任意x处的uy(x)和sy(x)成线性关系，则4．外力功2.6G与K的关系二、G与K关系推导5．能量释放率反之，如果裂纹从a到a+da，应力从sy(x)松弛到零，释放的应变能-dVe=dW，假定恒位移模式(原有外力在裂纹上不做功)6．GI与KI关系2.6G与K的关系二、G与K关系推导7．GI达到临界值GIC，KI达到临界值KIC8．II、III型裂纹 II型裂纹如假设裂纹沿裂纹线扩展可推导类似关系，但实际裂纹不沿裂纹线方向扩展(模拟实验)； III型裂纹裂纹沿裂纹线扩展，因此按上述方法可以得到2.6G与K的关系三、K判据和G判据的一般关系1．三维问题两者无简单关系，因为G判据与裂纹扩展后的形状有关；2．相对而言K判据偏安全，且计算方便，KIC实验测试方便，因而在工程应用中更广泛；3．G判据的概念和结论在求K因子的实验标定中和弹塑性断裂力学中经常用到。2.6G与K的关系四、另一种推导方法1．基本原理Betti互换原理——第1状态的力在第2状态相应位移上做的功等于第2状态的力在第1状态相应位移上做的功。2．构造两个状态和相应的力2.6G与K的关系四、另一种推导方法3．计算两状态总势能注意不是耗散的势能，因此就是负的外力功4．利用定义计算G(单位厚度)—虚裂纹扩展法2.6G与K的关系四、另一种推导方法5．对于I型裂纹扩展裂纹的力及相应的位移场应满足条件—代入G表达式与前相同(注意：这里积分域da包括裂纹上下表面两部分)一、基本方法2.7应用权函数法计算K因子1．理论基础基于Betti功的互换定理，由Bueckner(布克纳)和Rice提出2．思路已知同样结构和几何尺寸裂纹体在某外力作用下的K*因子和位移场，求该裂纹体在新载荷作用下的K因子。而新载荷作用下的位移场与K因子密切相关，因此根据Betti互换原理可以得到K因子的函数表达式。一、基本方法2.7应用权函数法计算K因子3．步骤1)首先利用相同裂纹体的一个已知K*因子和位移场u*构造权函数可理解为裂纹体载荷作用面上单位力产生的应力强度因子，对给定裂纹结构是唯一的，与外载无关2)计算任意外载(面力载荷ta和体力载荷fa作用下的K因子一、基本方法2.7应用权函数法计算K因子3．步骤3)由得到的K因子和权函数可积分求解该载荷作用下的位移场4)注意 积分求K因子时仅需积分单边裂纹； 平面应力和平面应变问题采用不同的E'；二、例证2.7应用权函数法计算K因子1．问题含中心穿透裂纹无穷大平板仅在裂纹面上作用有任意分布的对称载荷t(x)，求右端裂纹尖端的K因子2．寻找已知结果远处均匀拉伸的无穷大平板中心裂纹的解二、例证2.7应用权函数法计算K因子3．构造权函数并积分求K因子二、例证2.7应用权函数法计算K因子3．构造权函数并积分求K因子1)作用在(-b，b)区域的均布载荷s2)作用中点集中力F：假设分布在d(→0)长度内二、例证2.7应用权函数法计算K因子4．求位移(以集中力为例)利用x=a，ua=0的边界条件一、计算K因子的叠加原理2.8叠加原理在计算K因子中的应用对于线弹性断裂力学，同一类裂纹裂尖的应力、位移正比于KI，KI与载荷成正比，因此当n种载荷同时作用时的KI等于各个载荷单独作用下KIi的代数和二、例题2.8叠加原理在计算K因子中的应用1．求下列各图裂尖的KI二、例题2.8叠加原理在计算K因子中的应用1．求下列各图裂尖的KI二、例题2.8叠加原理在计算K因子中的应用1．求下列各图裂尖的KI二、例题2.8叠加原理在计算K因子中的应用一、方法总介2.9确定K因子的其它方法1．解析法1)Westergaard应力函数法(寻找满足全部边界条件的解析函数，利用该函数的一次和二次积分的线性组合构造复变应力函数，即可求解裂纹尖端的K因子、应力场和位移场)。2)保角变换法、积分变换法和奇异积分方程法一、方法总介2.9确定K因子的其它方法2．数值法1)边界配点法：求解二维裂纹问题的近似数值计算方法，加权残数法的一种。选择满足控制方程和裂纹表面边界条件的含待定系数的应力函数，该函数在其余边界上仅需满足有限个点的条件，从而得到有限个代数方程，解出待定系数，从待定系数里可求得K因子。目前使用较多的有基于Williams应力函数的边界配点法，基于复变应力函数的边界配点法及映射配点法等。一、方法总介2.9确定K因子的其它方法2．数值法2)有限元法：是断裂力学中应用最多，适用面最广的一种方法。按求得K因子公式分为直接与间接法，按求K因子的手段分为：普通单元位移、应力法，奇异单元法，退化奇异等参元法，应变能法，柔度法，虚裂纹扩展法，刚度导数法，J积分法等。一、方法总介2.9确定K因子的其它方法2．数值法3)边界单元法：属于边界法，通过Betti互换定理为基础的Somigliana公式将研究问题转化为边界积分方程，通过离散研究问题的边界，将边界积分方程转化为代数方程求解。所以，边界元法实际上是求解边界积分方程的一种数值方法。边界元也具有与有限元类似的一些性质：有单元和节点，可以通过形函数进行等参变换，该法的优点可以使研究问题降维，减少工作量。但它得到的代数方程系数矩阵是一个非对称的几乎完全稠密的矩阵，可能会降低计算精度，另外，对于内裂纹问题，边界元法需划分内部边界，在内边界上必须满足位移和力的连续条件。一、方法总介2.9确定K因子的其它方法2．数值法4)奇异积分方程直接数值解法：在解析法里，可以将求K因子问题转化为求解奇异积分方程，奇异积分方程一般较复杂，很难解析求解，需要用数值方法求解，因此该法是半解析方法。原理为：将未知函数化为权函数与一未知有界函数的乘积，奇异性仅反映在权函数里，从而找到奇异积分方程的近似求积公式，转化为代数方程求解。该法直接得到的是求积节点处的未知函数值，K因子与未知函数在积分区间端点值有一定的关系，可直接或插值求得K因子。该法计算耗时少，精度高，稳定性好。其缺点是需要引出奇异积分方程，对于三维和非线性问题，不易使用。一、方法总介2.9确定K因子的其它方法3．实验法1)柔度标定法：利用G与柔度的关系通过实验测定G，再通过G与KI的关系得到KI。2)光弹性法：利用光学定律建立K因子与光弹性材料试样上的等差线条纹级数的关系，最终测得K因子。优点：适用广泛，包括I型、II型、III型、复合裂纹及裂纹系问题。缺点：材料限定，条纹级数误差较大二、有限元法2.9确定K因子的其它方法1．常规有限元法(直接法)1)常规单元位移法是利用普通单元求出裂尖附近位移场，求解K因子，对于I型裂纹，一般有下列公式可供选择r0为裂纹表面上离裂尖最近节点到裂尖的距离，uy为该节点相对于裂尖的张开位移。(此式用位移首项奇异解代替全域解，所选择计算的节点到裂尖距离r0应非常小，与裂纹长度关系为：r0≈0.02a)二、有限元法2.9确定K因子的其它方法1．常规有限元法(直接法)2)改进的位移法取裂纹线上几个节点的表观K因子(取位移首项奇异解计算的K因子)外推得到，或采用保留高阶项的位移渐近表达式，选取相应数目的节点位移代入求解得到。应力法原理同位移法，此时取高斯点应力或修匀的节点应力效果会好些。但由于有限元计算应力结果不如位移结果准确，所以优先采用位移法。二、有限元法2.9确定K因子的其它方法1．常规有限元法(直接法)3)该法用有限元构模方便，计算K因子简单直接，缺点是在裂尖需要大量尺寸很小的稠密单元模拟裂尖附近的奇异性，计算量太大，精度也不高，并且选择计算的节点位置对结果精度影响很大。二、有限元法2.9确定K因子的其它方法2．奇异单元法1)常规单元无奇异性，不能反应裂尖情况，尺寸太小带来计算误差。为提高精度则需插值，不能直接得到K因子。2)三角形(Wilson、Tracey)和圆奇异元(Wilson)：直接在单元内取奇异的位移模式产生奇异性，但构造复杂，且与外层普通单元只在节点处位移连续。二、有限元法2.9确定K因子的其它方法3．退化奇异等参元法(Barsoum)将等参元一条边退化为裂尖一个点(三个节点坐标一样)，将从该退化点出发的两条边中节点移至靠节点li/4处。二、有限元法2.9确定K因子的其它方法3．退化奇异等参元法(Barsoum)1)可以证明： 当裂尖三节点位移不等时，应变在裂尖具有理想弹塑性的1/r奇异性； 沿单元内部过裂尖任意直线上，r→0时均具有上述奇异性； 位移连续，应变能有界。二、有限元法2.9确定K因子的其它方法3．退化奇异等参元法(Barsoum)2)直接求K因子表达式二、有限元法2.9确定K因子的其它方法3．退化奇异等参元法(Barsoum)3)改进方法 取退化奇异二次等参元及周围辐射单元在裂纹面上节点的位移，使用下列公式计算各节点的表观K*式中ri是i节点到裂尖的距离，uyi、uxi分别是按产生I和II型断裂的i节点相对于裂尖的位移分量(对于载荷和结构对称的问题，为单一节点值，载荷或结构不对称时，为上下裂纹面相对节点位移分量之差的一半)。二、有限元法2.9确定K因子的其它方法3．退化奇异等参元法(Barsoum)3)改进方法n为插值点数，取4～5点。二、有限元法2.9确定K因子的其它方法3．退化奇异等参元法(Barsoum)3)改进方法 拟合精度取决于拟合区间的选择，应选择各数据与等直线吻合的区间作为外插区间，通过检验线性相关系数来决定拟合精度，线性相关系数r越靠近±1，则表明插值精度越高。线性相关系数rKr的表达式为二、有限元法2.9确定K因子的其它方法3．退化奇异等参元法(Barsoum)3)改进方法裂纹面距裂纹右顶点r处张开位移精确解计算裂纹附近表观K因子，将上式代入二、有限元法2.9确定K因子的其它方法3．退化奇异等参元法(Barsoum)3)改进方法在裂尖(r=0)处采用幂级数展开由于插值区域在裂尖附近，一般r<0.2a，可以发现表观K*因子与到裂尖距离r线性程度相当高第三章弹塑性断裂力学3.1裂尖塑性区的形成3.2裂纹尖端张开位移(COD)3.3J积分3.4弹塑性材料的J积分起裂准则一、小范围屈服下裂尖的屈服区3.1裂尖塑性区的形成裂尖塑性区的大小是决定K准则是否适用的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，因此首先必须讨论裂尖塑性区的形状与大小。 弹塑性交界处按Mises屈服条件 主应力按材料力学 小范围屈服时，弹塑性交界应力场仍满足线弹性断裂裂尖应力解的首项，以I型裂纹为例，代入主应力表达式一、小范围屈服下裂尖的屈服区3.1裂尖塑性区的形成 塑性区的边界线方程1)平面应力状态下(s3=0)3)裂纹延长线上平面应力平面应变一、小范围屈服下裂尖的屈服区3.1裂尖塑性区的形成 塑性区的边界线方程4)当q=0时平面应力平面应变代入Mises屈服条件5)厚板马鞍形塑性区。外为平面应力，中间平面应变，由于裂尖钝化效应导致平面应变的塑性约束降低，实际区域要大于上述解。二、应力松弛对屈服区的影响3.1裂尖塑性区的形成 根据力平衡，曲线AB下的面积应等于直线DE下的面积平面应力平面应变三、等效裂纹长度和等效K因子3.1裂尖塑性区的形成 普遍认为，当裂尖出现的是小范围屈服，则塑性区为周围广大的弹性区所包围，此时只需对塑性区的影响作出考虑，而仍可用线弹性断裂理论处理。Irwin提出了一个简单适用的“等效裂纹尺寸”法，用它对KI进行修正，得到所谓的“等效应力强度因子”，作为考虑塑性区影响的修正。 塑性区的应力松弛使得开裂体刚度下降，K因子提高，这与增加裂纹长度的效果相同。则计算小范围屈服下的K因子，可取等效裂纹长度代替原裂纹长度，按线弹性断裂理论计算。三、等效裂纹长度和等效K因子3.1裂尖塑性区的形成平面应力平面应变四、K主导区大小3.1裂尖塑性区的形成裂纹延长线上精确解首项近似解 裂尖应力场首项的精度(以无限大板中心裂纹远处均匀拉伸I型裂纹为例) K主导区大小 K主导区屈服对裂纹长度的要求平面应力平面应变 脆性断裂对裂纹长度的要求平面应力平面应变一、弹塑性断裂的COD判据3.2裂纹尖端张开位移(COD)1．裂尖张开位移裂尖张开位移(CTOD)；裂尖张开角(CTOA)2．COD准则3．三个问题1)d的表达式；2)dC的实验测定；3)COD判据的工程应用。二、d的表达式3.2裂纹尖端张开位移(COD)1．Irwin表达式以平面应力无限大板中心裂纹受均匀拉伸问题为例：根据小范围塑性修正的思想，原裂尖在点O，考虑塑性修正即相当于裂纹向前扩展了塑性区长度到达O’，则原裂尖处即出现了张开位移，也就是弹塑性裂纹的COD。2．Dugdale表达式三、D-B(Dugdale—Barrenblatt)带状屈服区模型3.2裂纹尖端张开位移(COD)1．线弹性断裂力学的矛盾根据张开位移表达式，尖裂纹扩展后变钝，有较大的切应变(塑性变形) 裂尖塑性区沿裂纹线向两边延伸，呈尖劈带状，塑性区内材料为理想塑性，塑性区和弹性区交界面上，作用有垂直于裂纹面的均匀结合力ss Barrenblatt认为裂尖两表面距离很小，存在分子间的内聚力，内聚力的效果与外载荷相反，裂尖应力场是外载荷与内聚力两种应力状态的叠加。导致裂尖不存在奇异性。2．假设三、D-B(Dugdale—Barrenblatt)带状屈服区模型3.2裂纹尖端张开位移(COD)3．D—B塑性区尺寸裂尖无奇异性塑性区尺寸三、D-B(Dugdale—Barrenblatt)带状屈服区模型3.2裂纹尖端张开位移(COD)4．裂尖张开位移2)Paris位移公式在裂纹面需求张开位移点虚加一对力F1，则在恒载荷作用下(单位厚度板)三、D-B(Dugdale—Barrenblatt)带状屈服区模型3.2裂纹尖端张开位移(COD)4．裂尖张开位移2)Paris位移公式三、D-B(Dugdale—Barrenblatt)带状屈服区模型3.2裂纹尖端张开位移(COD)4．裂尖张开位移3)D-B模型裂尖张开位移在未扩展裂尖虚加1对力F1，假想裂纹由2a扩展到2c一、J积分的意义3.3J积分1．COD具有经验性，不是一个严密的裂纹尖端应力场的表征量。3．J积分定义1)回路积分定义，围绕裂尖周围区域的应力、应变和位移场所组成的围线积分(场强度)。2)形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所作的形变功率(实验测定)。二、J积分回路定义及守恒性3.3J积分1．J积分回路定义G：围绕裂尖一条任意逆时针回路，起于裂纹下表面，终于裂纹上表面；ds：回路G上弧元。二、J积分回路定义及守恒性3.3J积分2．J积分的守恒性1)取两个积分回路G和G’，J积分守恒则二、J积分回路定义及守恒性3.3J积分2．J积分的守恒性3)弧元ds处有4)计算回路积分第二项二、J积分回路定义及守恒性3.3J积分2．J积分的守恒性4)计算回路积分第二项利用格林公式二、J积分回路定义及守恒性3.3J积分2．J积分的守恒性4)计算回路积分第二项平衡微分方程二、J积分回路定义及守恒性3.3J积分2．J积分的守恒性4)计算回路积分第二项几何关系5)计算回路积分第一项J积分守恒性得以证明二、J积分回路定义及守恒性3.3J积分3．J积分守恒性的意义1)回路的任意性—可取简单回路(矩形，圆形)；2)可在弹性区选回路;3)可表征线弹性裂尖应力场，即J、G、K能建立关系三、J积分与KI、GI关系1．条件线弹性、I型裂纹三、J积分与KI、GI关系3.3J积分2．推导1)取半径为r的圆形积分路线2)平面应变条件下代入线弹性裂尖应力分量三、J积分与KI、GI关系3.3J积分2．推导3)面力和位移三、J积分与KI、GI关系3.3J积分2．推导4)积分平面应力类似可以得到由KI、GI关系四、J积分与COD的关系3.3J积分1．小范围屈服(Irwin)2．D—B模型五、J积分的能量公式3.3J积分1．线弹性情况下2．弹塑性情况下 Rice证明上式仍适用，但意义不一样。 塑性变形不可逆，裂纹扩展意味局部卸载，因此J积分不是一条裂纹扩展的能量变化率，而是具有相同几何外形、相同外载、相同边界约束，具有裂纹长度a和a+da两个试样单位厚度的势能差率。 必须单调加载和小应变条件(单调加载下弹塑性→非线性弹性)。五、J积分的能量公式3.3J积分3．恒载荷情况a和a+da两裂纹势能差即两条F~d曲线所围成的面积OAB五、J积分的能量公式3.3J积分4．恒位移情况a和a+da两裂纹势能差仍然是两条F~d曲线所围成的面积OAB五、J积分的能量公式3.3J积分5．厚度b≠11)恒载荷情况2)恒位移情况六、J积分与裂尖应力应变场关系(HRR奇异场)3.3J积分1．定性分析取圆形积分回路六、J积分与裂尖应力应变场关系(HRR奇异场)3.3J积分1．定性分析金属材料应力应变关系可近似用幂指数表示则存在关系六、J积分与裂尖应力应变场关系(HRR奇异场)3.3J积分2．HRR场(1968，Rice、Rosengren、Hutchinson)七、J积分的一般表达式3.3J积分 坐标变换七、J积分的一般表达式3.3J积分 整体和局部坐标下相关参量变换七、J积分的一般表达式3.3J积分 第二项变换七、J积分的一般表达式3.3J积分七、J积分的一般表达式3.3J积分 最终表达式 f=0(整体坐标与局部坐标平行)一、J积分的优点3.4弹塑性材料的J积分起裂准则1．J积分与路径无关；2．J积分代表驱动裂纹扩展的广义能量，在小范围屈服条件下，J积分等价于能量释放率G；3．J积分表征裂尖场强度，类似于线弹性断裂力学中的K；4．J积分与COD间有简单关系；5．J积分可以由试验测得。二、J积分起裂准则3.4弹塑性材料的J积分起裂准则JIC：平面应变J积分值三、J阻力曲线JIC：裂纹由钝化至稳定撕裂J积分阻力值的临界值材料的J积分阻力值随裂纹扩展量Da的变化曲线。四、J积分的局限1．守恒J积分的限制2．广义J积分1)I型裂纹；2)无体力载荷；3)等厚度板；4)均匀温度场；5)二维问题五、J主导条件3.4弹塑性材料的J积分起裂准则 K主导区为塑性区Rr之外的小范围线弹性区域，随塑性区增大而失效。 J主导区为断裂过程区(材料分离区)和有限应变区Rr之外的一定范围的塑性区。第四章疲劳裂纹扩展4.1疲劳裂纹的形成及其扩展4.2循环载荷疲劳裂纹扩展4.3等幅交变载荷下的裂纹扩展寿命一、疲劳裂纹的形成4.1疲劳裂纹的形成及其扩展1．金属疲劳断裂过程 夹杂物与基体界面开裂：杂质和多相体，过渡区； 滑移带开裂：侵入沟和挤出带； 晶界开裂：位错塞积。滑移→裂纹成核→微观裂纹扩展(a<0.05mm)→宏观裂纹扩展(a>0.05mm)裂纹萌生寿命N0和裂纹扩展直至断裂寿命Nf之和2．疲劳寿命N二、疲劳裂纹的扩展4.1疲劳裂纹的形成及其扩展1．亚临界裂纹扩展2．失稳扩展交变载荷作用下，从初始裂纹尺寸扩展到临界裂纹尺寸的过程。包括蠕变裂纹扩展、机械疲劳裂纹扩展、应力腐蚀裂纹扩展、腐蚀疲劳裂纹扩展。三、疲劳寿命预报1．裂尖K因子计算2．裂纹扩展速率载荷经历一个周期时的裂纹扩展量，用da/dN表示一、疲劳裂纹扩展速率曲线4.2循环载荷疲劳裂纹扩展1．I阶段疲劳裂纹扩展的三个阶段 DK值很小，裂纹扩展缓慢，当DKI<DKth，裂纹不扩展。DKth：疲劳扩展的门槛值。 无限寿命设计：已知构件的初始裂纹尺寸，根据计算裂纹不扩展的门槛应力，进而确定实际工作应力。2．II阶段裂纹稳定扩展，对数坐标下的近似直线段3．III阶段KImax接近材料KIC，裂纹扩展速率急剧增加二、Paris公式4.2循环载荷疲劳裂纹扩展描述II阶段裂纹扩展速率(等幅疲劳裂纹亚临界扩展速率)的经验公式C、m：试验确定的材料常数DK单位：一、损伤容限设计4.3等幅交变载荷下的裂纹扩展寿命1．损伤容限设计估算有初始缺陷或裂纹的零件寿命，以控制其断裂，从而确保零件在使用期内能够安全使用的一种疲劳设计方法。2．剩余寿命估算法利用初始裂纹尺寸a0、临界裂纹尺寸ac、相应K因子表达式和材料的疲劳裂纹扩展速率表达式进行剩余寿命估算。二、用Paris公式计算裂纹扩展寿命4.3等幅交变载荷下的裂纹扩展寿命1．将Paris公式积分，得疲劳扩展寿命2．裂纹由a0扩展到ac所经过的循环次数Ne1)m≠22)m=2二、用Paris公式计算裂纹扩展寿命4.3等幅交变载荷下的裂纹扩展寿命3．经N次循环后裂纹的长度af1)m≠22)m=2三、例题4.3等幅交变载荷下的裂纹扩展寿命1．传动轴上半椭圆表面裂纹a=c=3mm。与裂纹平面垂直的应力s=300MPa，材料ss=670MPa，KIC=34MNm-3/2，da/dN=10-12(DKI)4，由于运转时有停车和起动，平均一星期完成两次应力循环，试估算轴的疲劳寿命。解：1)按小范围屈服修正得到表面半圆裂纹最深点的KI2)当裂纹增长到ac时，KI达到KIC，可求出ac3)K因子幅度三、例题4.3等幅交变载荷下的裂纹扩展寿命4)剩余寿命1．传动轴上半椭圆表面裂纹a=c=3mm。与裂纹平面垂直的应力s=300MPa，材料ss=670MPa，KIC=34MNm-3/2，da/dN=10-12(DKI)4，由于运转时有停车和起动，平均一星期完成两次应力循环，试估算轴的疲劳寿命。三、例题4.3等幅交变载荷下的裂纹扩展寿命2．某压力容器的层板上有一长度2a=42mm周向贯穿直裂纹，容器每次升压和降压时Ds=100MPa，从材料断裂韧性计算得到裂纹临界尺寸ac=225mm，由实验得到裂纹扩展速率da/dN=2×10-10(DKI)3，试估算容器的疲劳寿命和经5000次循环后的裂纹尺寸。解：1)容器层板可视为有中心贯穿裂纹的远处均匀拉伸无限大板2)疲劳寿命三、例题4.3等幅交变载荷下的裂纹扩展寿命2．某压力容器的层板上有一长度2a=42mm周向贯穿直裂纹，容器每次升压和降压时Ds=100MPa，从材料断裂韧性计算得到裂纹临界尺寸ac=225mm，由实验得到裂纹扩展速率da/dN=2×10-10(DKI)3，试估算容器的疲劳寿命和经5000次循环后的裂纹尺寸。3)5000次循环后裂纹尺寸三、例题4.3等幅交变载荷下的裂纹扩展寿命解：1)计算临界裂纹尺寸ac将计算模型简化为受弯平板中的裂纹，查表得三、例题4.3等幅交变载荷下的裂纹扩展寿命2)估计剩余寿命假定本题中轴受脉动循环的交变应力，故有第五章复合型裂纹的脆性断裂理论5.1复合型裂纹问题概述5.2最大周向应力理论5.3最小应变能密度因子理论5.4最大能量释放率理论5.5工程近似断裂判据一、复合型裂纹产生5.1复合型裂纹问题概述 复合型裂纹：裂尖同时存在I、II、III型裂纹应力； 产生条件：载荷不对称，裂纹不对称，材料各向异性二、复合型裂纹问题需解决的两个问题 裂纹开始沿什么方向扩展—确定开裂角(与原裂纹面方向的夹角)； 裂纹什么条件下开始扩展—确定临界状态。5.2最大周向应力理论一、两个基本假设 裂纹沿周向应力取最大值方向扩展； 裂纹的扩展是由于最大周向应力达到临界值而产生的。1．1963年，由F.Erdogan(艾多甘)和G.C.Sih(薛昌明)提出；2．适用于“所有类型”裂纹；3．也称为最大拉应力理论、最大周向拉应力强度因子理论二、最大周向应力理论2．周向应力取极值条件1．I、II型复合裂纹裂尖应力场(极坐标形式)5.2最大周向应力理论二、最大周向应力理论2．周向应力取极值条件3．最大周向应力4．断裂判据(sq)c：最大周向应力临界值，材料常数，由I型裂纹KIC确定(断裂判据必须满足I型裂纹，材料常数不变)5.2最大周向应力理论二、最大周向应力理论5．纯II型裂纹5.2最大周向应力理论二、最大周向应力理论6．例题解：1)当地应力2)K因子3)开裂角5.2最大周向应力理论二、最大周向应力理论6．例题图示受单向拉伸作用无限大板中的一条长2a穿透斜裂纹，裂纹与拉伸方向夹角b，设材料KIC已知，确定开裂角和临界应力。4)临界应力作业：无限远处改为切应力5.2最大周向应力理论 裂纹沿最小应变能密度因子方向扩展； 裂纹的扩展是由于最小应变能密度因子达到临界值而产生的。5.3最小应变能密度因子理论一、两个基本假设1．1970s中期，由G.C.Sih提出；2．适用于“所有类型”裂纹；3．解释：根据弹性稳定理论，势能最大为最不稳定状态，对应的就是应变能密度最小。二、最小应变能密度因子理论1．I、II、III型复合裂纹裂尖应力场(平面应变)5.3最小应变能密度因子理论2．上式代入应变能密度的应力表达式5.3最小应变能密度因子理论二、最小应变能密度因子理论3．开裂方向S：应变能密度因子，表示裂尖区域应变能密度场的幅值或强度，单位N/m。可求出开裂角q0，进而可求出Smin。5.3最小应变能密度因子理论二、最小应变能密度因子理论4．断裂判据5．由I型裂纹KIC确定SC6．纯II型裂纹5.3最小应变能密度因子理论二、最小应变能密度因子理论6．纯II型裂纹5.3最小应变能密度因子理论二、最小应变能密度因子理论7．纯III型裂纹5.3最小应变能密度因子理论二、最小应变能密度因子理论8．例题5.3最小应变能密度因子理论二、最小应变能密度因子理论受内压薄壁圆筒，内半径R，壁厚t，材料KIC=44MNm-3/2，许用应力[s]=2058MPa，容器壁上有一长2a=5mm贯穿裂纹，与环向应力夹角b=60o，确定许用内压力。解：1)由材料力学得到2)斜截面应力—I、II型复合裂纹问题3)KI和KII8．例题5.3最小应变能密度因子理论二、最小应变能密度因子理论受内压薄壁圆筒，内半径R，壁厚t，材料KIC=44MNm-3/2，许用应力[s]=2058MPa，容器壁上有一长2a=5mm贯穿裂纹，与环向应力夹角b=60o，确定许用内压力。4)应变能密度因子5)求开裂角取泊松比n=0.25，切变模量m=80GPa8．例题5.3最小应变能密度因子理论二、最小应变能密度因子理论受内压薄壁圆筒，内半径R，壁厚t，材料KIC=44MNm-3/2，许用应力[s]=2058MPa，容器壁上有一长2a=5mm贯穿裂纹，与环向应力夹角b=60o，确定许用内压力。6)由断裂判据求[p]7)按第三强度理论求[p] 裂纹沿能产生最大能量释放率方向扩展； 裂纹的扩展是由于最大能量释放率达到临界值产生的。5.4最大能量释放率理论一、两个基本假设1．1972年由K.Palaniswamy(帕拉尼斯瓦米)提出；2．适用于“所有类型”裂纹；3．物理概念来源于I型裂纹扩展的能量释放率准则；二、最大能量释放率理论1．I型和III型复合裂纹1)裂纹扩展方向沿裂纹延长线方向2)断裂准则5.4最大能量释放率理论3)纯III型裂纹2．I型和II型复合裂纹5.4最大能量释放率理论二、最大能量释放率理论 推导过程：支裂纹相关参量加一横线表示支裂纹沿其延长线扩展时的能量释放率等于I型和II型之和 推导过程：支裂纹相关参量加一横线表示5.4最大能量释放率理论假设支裂纹长度趋近0时，其裂尖应力场趋近于原裂纹应力场2．I型和II型复合裂纹二、最大能量释放率理论5.4最大能量释放率理论2．I型和II型复合裂纹二、最大能量释放率理论—是最小值，不是最大值—与最大周向应力理论确定的开裂角方向一致5.4最大能量释放率理论2．I型和II型复合裂纹二、最大能量释放率理论 断裂判据 根据I型裂纹—与最大周向应力理论断裂判据相同5.4最大能量释放率理论2．I型和II型复合裂纹二、最大能量释放率理论 裂纹在什么条件下开始扩展，对于工程问题尤其重要。 根据理论和实验进行偏安全的简化。5.5工程近似断裂判据1．I型和II型复合裂纹2．I型和III型复合裂纹S判据更安全5.5工程近似断裂判据3．I型、II型和III型复合裂纹S判据更安全4．统一形式附录弹性力学基础附.1弹性力学平面问题基本方程附.2位移和应力法求解弹性力学平面问题附.1弹性力学平面问题基本方程1．平面应力问题一、弹性力学平面问题 应力 应变2．平面应变问题一、弹性力学平面问题 应变 应力附.1弹性力学平面问题基本方程1．平衡方程二、弹性力学平面问题基本方程2．几何方程附.1弹性力学平面问题基本方程3．物理方程(本构方程)二、弹性力学平面问题基本方程附.1弹性力学平面问题基本方程4．边界条件二、弹性力学平面问题基本方程 应力边界条件 位移边界条件附.1弹性力学平面问题基本方程1．位移表示的平衡微分方程一、位移法(以平面应力为例)附.2位移和应力法求解弹性力学平面问题2．位移表示的应力边界条件1．基本方程二、应力法(以平面应力为例，不计体力) 平衡微分方程 边界条件 应力相容方程(变形协调方程)附.2位移和应力法求解弹性力学平面问题2．应力函数法二、应力法(以平面应力为例，不计体力) 基本原理 基本方程寻找满足相容方程的应力函数j，得到满足边界条件的应力分量双调和方程：应力分量： 半逆解法附.2位移和应力法求解弹性力学平面问题三、平面应力问题和平面应变问题方程和解的变换附.2位移和应力法求解弹性力学平面问题