图形的旋转专题

图形的旋转旋转对称:一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合,这样的图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转中心.注意:①旋转角是对应点与旋转中心的连线所成的夹角。②在旋转过程中保持不动的点是旋转中心。③旋转过程中应注意旋转的方向（逆时针或顺时针）。基本类型：⑴正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图(1-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(1-1-b)）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为等边三角形。⑵正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图(2-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(2-1-b)中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。⑶等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，，P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图(3-1-b)中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型一：利用图形的旋转求线段长例1.如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC等于150°,PC=5,PB=12，则PA的长为.解析:将△BPC绕C点顺时针旋转60°,连接PP′，∵∠PCP′=60°，CP=CP′，∴△PCP′是等边三角形，∵∠AP′C=∠BPC=150°，∴∠AP′P=150°-60°=90°，又∵PP′=PC=5，AP′=BP=12.∴在Rt△APP′中，PA=点评：解此题的关键是：把PA、PB、PC放在“同一个四边形”中，作出辅助线构造等边三角形是解本题的关键。例2.如图，点P是正方形ABCD内一点,AP=1，PB=,∠APB=135º，则PC的长等于.解析:如图,把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′∴AP′=PC，BP′=BP=1.故△PBP′是等腰直角三角形.∴,在中，∴点评：解此题的关键是：把PA、PB、PC放在“同一个四边形”中，作出辅助线构造等腰直角三角形是解本题的关键。例3.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为()A.B.4C.D.解析:在Rt△AOB中，AO2=AB2-BO2；Rt△DOC中可得：DO2=DC2-CO2；∴AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=18，即可得AD=，故选A．思考题：如图,将△ABC绕顶点A顺时针旋转后,得到△,且为BC的中点,则()A.1:2B.1:2C.1:D.1:3题型二：利用图形的旋转求角的大小例4.如图,在ΔABC中,,BC=AC,P为ΔABC内一点,且PA=3，PB=1，PC=2,则的度数是.解析:将△BCP绕B逆时针旋转90°,连接PP′，∵∠PCP′=90°，CP=CP′，∴△PCP′是等腰直角三角形，∴∠CPP′=45°,.又∵PA=3，PB=1，∴，即.∴例5.如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB=解析:将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC，∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC，∴△BEP为等腰直角三角形,∴∠BEP=45°，∵PB=2，∴PE=∵PC=3，CE=PA=1，∴PC2=PE2+CE2，即∠PEC=90°，∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．例6.如图,已知O是等边三角形△ABC内一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6:5:4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数是.解析:∵∠AOB：∠BOC：∠AOC=6：5：4，∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到△AO′B，连接OO′，∵△AO′B≌△AOC，∴∠AO′B=∠AOC=96°，O′B=OC，AO′=AO，∵∠OAO′=60°，AO=AO′，∴△AOO′是等边三角形，∴OO′=AO，∴△BOO′即是以OA，OB，OC为边长构成的三角形，∵∠AOO′=∠AO′O=60°，∴∠BOO′=84°，∠BO′O=36°，∠O′BO=60°，思考题:如图,在等边ΔABC中,点E、D分别为AB、BC上的两点，且BE=CD，AD与CE交于点M,则()A.B.C.D.题型三：利用图形的旋转求面积例7.如图，已知中，，点D、E、F分别在AB、AC、BＣ上，四边形CFDE是正方形,若AD=3,BD=4，则和的面积之和为　　　.解析:该题常采用的思路是利用，计算出直角三角形的两条直角边的长度和正方形的边长，然后利用大三角形的面积减去正方形的面积，即可求得两个三角形的面积之和，但计算量较大。若对于此题运用图形旋转的思想来解，会给我们耳目一新的感觉。如图，把绕点Ｄ旋转，这时DE与DF重合.∵，，∴，又AD=3,BD=4，∴即两个三角形的面积之和等于6.例８.如图,P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3，正方形ABCD面积为　　　.解析:该题一般的思路是利用三角形的性质计算得到正方形的边长，但受限于初中的数学知识，很难继续运算下去，故考虑用图形旋转的思想来解。如图，把绕点Ａ逆时针旋转,把绕点Ｃ顺时针旋转,易证，△EAP与△PCF均为等腰直角三角形.∴，∵，.又∵，∴∴点Ｄ、Ｅ、Ｆ在同一条直线上.∴.在△EFD中，，，.∵,∴，即△EPF为直角三角形.∴思考题：如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC，AB⊥BC,AD=2,BC=3，将腰CD以D为中心，逆时针旋转90°至ED，连结AE、CE，则△ADE的面积是（）A.1B.2C.3D.4题型四：利用图形的旋转探索图形中线段之间的关系例9.如图，正方形ABCD边上有动点E、F，的周长等于正方形ABCD周长的一半，探索：的度数是否随点E、F位置的变化而改变，如果有变化，请找出变化的规律；若不变，请求出的度数的大小。解析:由的周长等于正方形ABCD的一半，可以得到AF+CE＝EF，这与的度数似乎无联系。此时把绕点B逆时针旋转,如图，∵BC=BA,,∴点G、A、F、D在同一条直线上.∵GF=GA+AF=CE+AF=EF,BG=BE,BF=BF,∴,∴.又,∴例10.如图,已知△ABC中AB=AC,,∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：⑴AE=CF;⑵∠APE=∠CPF;⑶△EPF是等腰直角三角形;⑷EF=BE+CP;⑸S四边形AEPF=S△ABC，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)上述结论中始终正确的序号有.解析：如图，把绕点Ａ逆时针旋转,可得，即∴AE=CF，PE=PF，∠APE=∠CPF，∴①②③正确.∵∴S四边形AEPF=S△PAE+S△PAF=S△PCF+S△PAF=S△PAC=S△ABC∴⑤正确.∵等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出EF，∴EF随着点E的变化而变化，判定④错误，思考题:如图,ΔABC是边长为5的等边三角形，ΔBDC是等腰三角形,且,以点D为顶点作一个的角，使其两边分别交AB、AC于点M、N，则ΔAMN的周长为.题型五：利用例11.在边长为2的正方形ABCD内求一点P，使得PA+PB+PC之和为最小.并求这个最小值．解析:将△BPC顺时针旋转，得为等边△PBE．∴PE＝PB，EF＝PC即PA+PB+PC＝AP+PE+EF。要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即PA+PB+PC≥AF．BM=BF•cos30°=BC•cos30°=,则AM=，∵AB=BF，∠ABF=150°，∴∠BAF=15°.∴AF=AM·cos15°=.即PA+PB+PC的最小值为例12.已知中,,,，O为内一点,且，则解析:将△BOC顺时针旋转，得为等边△PDE．∴OD＝OB，DE＝OC又，∴即A、O、D、E四点在一条直线上.∴.∵中,,，∴，又.∴又∵，，∴即.思考题:(2012济南)如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（  ） A.B.C.D.思考题:如图,将△ABC绕顶点A顺时针旋转后,得到,且为BC的中点,则()A.1:2B.1:2C.1:D.1:3解析:∵ΔAB´C´是ΔABC绕顶点A顺时针旋转60º后得到的，∴∠CAC′=60º，ΔAB´C´≌ΔABC，又AC´=AC，∴ΔAC´C是等边三角形，∴AC´=AC´．又C´为BC的中点，∴BC´=CC´，易得ΔAB´C、ΔABC是含30º角的直角三角形，∴ΔAC´D也是含30º角的直角三角形∴，故另解：利用“估值法”，拿出“尺子”量一下试一试？思考题:如图,在等边ΔABC中,点E、D分别为AB、BC上的两点，且BE=CD，AD与CE交于点M,则()A.B.C.D.解析:因为BC=AC，∠ABC=∠ACD=60°,BE=CD,所以以AB的中心（等边三角形三条中线的交点）O为旋转中心，将顺时针旋转就得到了∴∠AME=180°-∠AMC=180°-120°=60°另解：利用特殊位置，由且BE=CD，不防取D、E分别为BC、AB的中点，易得∠AME=60°思考题:如图,ΔABC是边长为5的等边三角形，ΔBDC是等腰三角形,且,以点D为顶点作一个的角，使其两边分别交AB、AC于点M、N，则ΔAMN的周长为.解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CND∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．思考题:(2012济南)如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（  ） A.B.C.D.解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴，.∴OD的最大值为：．故选：A．．（2012济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（  ） 例3.如图,将△ABC绕顶点A顺时针旋转后,得到△,且为BC的中点,则()A.1:2B.1:2C.1:D.1:3解析:∵ΔAB´C´是ΔABC绕顶点A顺时针旋转60º后得到的，∴∠CAC′=60º，ΔAB´C´≌ΔABC，又AC´=AC，∴ΔAC´C是等边三角形，∴AC´=AC´．又C´为BC的中点，∴BC´=CC´，易得ΔAB´C、ΔABC是含30º角的直角三角形，∴ΔAC´D也是含30º角的直角三角形∴，故思考题：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为()A.B.4C.D.解析：如图，把绕点Ａ逆时针旋转,可得，即∴AE=CF，PE=PF，∠APE=∠CPF，∴①②③正确.∵∴S四边形AEPF=S△PAE+S△PAF=S△PCF+S△PAF=S△PAC=S△ABC∴⑤正确.∵等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出EF，∴EF随着点E的变化而变化，判定④错误，例10.如图,已知△ABC中AB=AC,,∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：⑴AE=CF;⑵∠APE=∠CPF;⑶△EPF是等腰直角三角形;⑷EF=BE+CP;⑸S四边形AEPF=S△ABC，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)上述结论中始终正确的序号有.解析:根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC,AP=PC,∠EAP=∠C=45°，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定②正确，然后利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，判定③正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出EF，可知EF随着点E的变化而变化，判定④错误，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半，判定⑤正确．例1.如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC等于150°,PC=5,PB=12，则PA的长为.解析:将△BPC绕C点顺时针旋转60°,连接PP′，∵∠PCP′=60°，CP=CP′，∴△PCP′是等边三角形，∵∠AP′C=∠BPC=150°，∴∠AP′P=150°-60°=90°，又∵PP′=PC=5，AP′=BP=12，∴在Rt△APP′中，PA=连接PP′，将△BPC绕C点顺时针旋转60°到△AP′C的位置，由旋转的性质，得CP=CP′，∴△PP′C为等边三角形，由旋转的性质可知∠AP′C=∠BPC=150°，∴∠AP′P=150°-60°=90°，又∵PP′=PC=5，AP′=BP=12，∴在Rt△APP′中，由勾股定理，得PA= AP′2+PP′2=13解：∵∠AOB：∠BOC：∠AOC=6：5：4，∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO′B，连接OO′，∵△AO′B≌△AOC，∴∠AO′B=∠AOC=96°，O′B=OC，AO′=AO，∵∠OAO′=60°（将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO′B），AO=AO′，∴△AOO′是等边三角形，∴OO′=AO，例1.如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，则∠APB=.解析:将△BCP绕B逆时针旋转60°,连接PP′，∵∠PBP′=60°，BP=BP′，∴△PBP′是等边三角形，∴∠BPP′=60°∵PP′=8，AP′=PC=10，PA=P′A=6，∴PP′2+PA2=AP′2，∴∠APP′=90°，∴∠APB=60°+90°=150°例：如图，已知长方形ABCD的周长为20，AB=4，点E在BC上，且AE⊥EF，AE=EF，求CF的长。【解析】：将△ABE以点E为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点B旋转到点B'处，AE与EF重合，由旋转特征知：B'E⊥BC，四边形B'ECF为长方形，∴CE=BF'=AB ∵CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=6∴CF=BC-CE=6-4=2图(1-1-a)图(1-1-b)图(1-1-b)图(1-1-a)图(2-1-b)图(2-1-a)_1464270537.unknown_1464277051.unknown_1464358890.unknown_1464360566.unknown_1464360712.unknown_1464964439.unknown_1464965338.unknown_1464965386.unknown_1464965678.unknown_1464965722.unknown_1464965651.unknown_1464965350.unknown_1464361258.unknown_1464361322.unknown_1464361352.unknown_1464361308.unknown_1464360821.unknown_1464360799.unknown_1464360631.unknown_1464360691.unknown_1464360585.unknown_1464360098.unknown_1464360135.unknown_1464360281.unknown_1464360114.unknown_1464358958.unknown_1464359074.unknown_1464358826.unknown_1464358836.unknown_1464358865.unknown_1464358873.unknown_1464277108.unknown_1464277279.unknown_1464354085.unknown_1464354137.unknown_1464354176.unknown_1464278158.unknown_1464277143.unknown_1464272460.unknown_1464273006.unknown_1464275136.unknown_1464275175.unknown_1464275227.unknown_1464275838.unknown_1464275867.unknown_1464275238.unknown_1464275206.unknown_1464274283.unknown_1464273793.unknown_1464274195.unknown_1464273059.unknown_1464272739.unknown_1464272793.unknown_1464272489.unknown_1464270538.unknown_1464271385.unknown_1464272429.unknown_1464271314.unknown_1464271279.unknown_1464263214.unknown_1464267628.unknown_1464270266.unknown_1464270536.unknown_1464269452.unknown_1464269589.unknown_1464269597.unknown_1464270124.unknown_1464269562.unknown_1464267833.unknown_1464268339.unknown_1464269451.unknown_1464269450.unknown_1464267878.unknown_1464267707.unknown_1464267727.unknown_1464267685.unknown_1464266940.unknown_1464267433.unknown_1464267503.unknown_1464267588.unknown_1464267467.unknown_1464267353.unknown_1464267376.unknown_1464267009.unknown_1464265019.unknown_1464265105.unknown_1464265165.unknown_1464265056.unknown_1464264612.unknown_1464264827.unknown_1464264416.unknown_1464263225.unknown_1464264391.unknown_1464246457.unknown_1464261822.unknown_1464261928.unknown_1464261976.unknown_1464261881.unknown_1464258265.unknown_1464261717.unknown_1464255669.unknown_1464255745.unknown_1464258203.unknown_1464246493.unknown_1464247011.unknown_1464246186.unknown_1464246351.unknown_1464246377.unknown_1464246274.unknown_1464243483.unknown_1464244023.unknown_1464242474.unknown