反函数的求导法则

反函数的求导法则二、反函数的求导法则定理2 如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f (y)0 那么它的反函数yf 1(x)在对应区间Ixf(Iy)内也可导 并且简要证明由于xf(y)可导(从而连续) 所以xf(y)的反函数yf 1(x)连续 当x0时 y0 所以详细证明下页例6 求(arctan x)及(arccot x) 解...

二、反函数的求导法则定理2 如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f (y)0 那么它的反函数yf 1(x)在对应区间Ixf(Iy)内也可导 并且简要证明由于xf(y)可导(从而连续) 所以xf(y)的反函数yf 1(x)连续 当x0时 y0 所以详细证明下页例6 求(arctan x)及(arccot x) 解因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以例5 求(arcsin x)及(arccos x) 解因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以反函数的求导法则: 首页三、复合函数的求导法则定理3 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yf[g(x)]在点x可导 且其导数为简要证明则Du0 此时有假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数 详细证明下页解下页解解复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设yf(u) u(v) v(x) 则下页解解首页四、基本求导法则与导数公式基本初等函数的导数公式 (1) (C)0 (2) (xm)m xm1 (3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x (8) (csc x)csc xcot x (9) (a x)a x ln a (10) (e x)ex 下页函数的和、差、积、商的求导法则复合函数的求导法则反函数求导法四、基本求导法则与导数公式下页即 (sh x)ch x 类似地 有 (ch x)sh x 例12 求双曲正弦sh x与双曲余弦ch x的导数. 解例13 求双曲正切th x的导数. 解下页例14 求反双曲正弦arsh x的导数. 解结束例15 ysin nxsinn x (n为常数) 求y n sinn1xsin(n+1)x ncos nxsinn x+n sinn1xcos x (sin x) nsinn1x +sin nx sinn x ncos nx +sin nx(sinn x) (sin nx)sinn x 解 y

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