高考数学中的内切球和外接球问题（公众号：卷洞洞）

关注公众号：麦田笔墨。1高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为______________.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.16B.20C.24D.323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有hxx24368936213xh关注公众号：麦田笔墨。2∴正六棱柱的底面圆的半径21r，球心到底面的距离23d.∴外接球的半径22drR.体积：334RV.小结本题是运用公式222drR求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积942rS.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为cba,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2222cbaR.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,,，则体对角线长为222cbal，几何体的外接球直径为R2体对角线长l即2222cbaR关注公众号：麦田笔墨。3练习：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为1642RS例6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.33D.6例7已知球O的面上四点A、B、C、D，ABCDA平面，BCAB，3BCABDA，则球O的体积等于.解析：本题同样用一般 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABCDA平面，BCAB，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为3BCABDA，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出3CD.故球O的体积等于29.（如图4）�D�A�C�B�O图4�A�C�B�D�O图5关注公众号：麦田笔墨。42、例8已知点A、B、C、D在同一个球面上，BCDAB平面，BCDC，若8,132,6ADACAB，则球的体积是解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，4OCOB为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出BOC即可，在ABCRt中，求出4BC，所以60BOC，故B、C两点间的球面距离是34.（如图5）本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32.小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例正四棱锥ABCDS的底面边长和各侧棱长都为2，点DCBAS,,,,都在同一球面上，则此球的体积为解:设正四棱锥的底面中心为1O，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得ABCDOO平面1.又ABCDSO平面1，∴球心O必在1SO所在的直线上.∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC中，由222,2,2ACSCSAACSCSA得，�C�D�A�B�S�O�1�图3关注公众号：麦田笔墨。5∴为斜边的直角三角形是以ACASC.∴12AC是外接圆的半径，也是外接球的半径.故34球V.五.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，3,4BCAB，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12125B.9125C.6125D.3125解:设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知ODOCOBOA.∴点O到四面体的四个顶点DCBA,,,的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径25OAR.故6125343RV球.出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，BCAB且10,51,5,7ACPCPBPA求球O的体积。解：BCAB且10,51,5,7ACPCPBPA因为22210)51(7所以知:222PCPAAC所以PCAP所以可得图形为：在ABCRt中斜边为AC在APCRt中斜边为AC取斜边的中点，�C�A�O�D�B�图4关注公众号：麦田笔墨。6在ABCRt中OCOBOA在APCRt中OCOBOP所以在几何体中OAOCOBOP，即为该四面体的外接球的球心52ACR所以该外接球的体积为3500343RV球【 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。1.（陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．433B．33C．43D．123答案B2.直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得23BC,由正弦定理,可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径5R，故此球的表面积为2420R.3．正三棱柱111ABCABC内接于半径为2的球，若,AB两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为．答案8关注公众号：麦田笔墨。74.表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．23B．13C．23D．223答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由238234a知，1a，则此球的直径为2，故选A。5.已知正方体外接球的体积是332，那么正方体的棱长等于（）A.22B.332C.324D.334答案D6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶3B.1∶3C.1∶33D.1∶9答案C7.（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为．答案348.（天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱关注公众号：麦田笔墨。8的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．答案14π9.（全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.答案24210.（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．答案6711.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.答案212.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．3B．2C．316D．以上都不对答案C13.设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（）A．38B．2πC．4πD．34答案CABCPDEF