高中数学复习专题—不等式

高中数学复习专题 ——不等式 一、考点自练： 1．若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝ ，则A∩B＝________． 2．已知不等式 的解集是 则不等式 的解集为 ． 3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． 4．设x，y是正实数，且x＋y＝1，则eq \f(x2,x＋2)＋eq \f(y2,y＋1)的最小值是________． 二、典例剖析： 例1已知常数 都是实数， 不等式 >0的解集为 ． （1）求实数 的值； （2）若 ，求函数 的最小值． 例2已知 ． （1）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 ，解不等式 ． 例3已知 , , ． （1）求 的范围；（2）求 的范围． 例4某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为 万元时，销售量 万件满足 （其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品 万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（ ）万元/万件． （1）将该产品的利润 万元 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为促销费用 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大． 不等式作业 1．不等式 的解集是 ___________． 2．不等式 的解集为_______________． 3．若关于 不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是　　　　　． 4．给出下列命题： ①a，b都为正数时，不等式a＋b≥2 ②y＝x＋eq \f(1,x)的最小值为2； ③y＝sinx＋eq \f(2,sinx)(0＜x＜eq \f(π,2))的最小值为2 ④当x＞0时，y＝x2＋16x≥2 其中错误的命题是 ． 5．车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________． 6．如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a的取值范围是_____． 7．已知方程 （其中 ）有两个相等的实根,则 的最小值为________． 8．若关于x的不等式 的解集为(1，m)，则实数m= ． 9．若a＞0，b＞0，c＞0且a(a+b+c)+bc=4－2 ，则2a+b+c的最小值为 　　． 10．关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为 　 ． 11．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则eq \f(a＋1,c)＋eq \f(c＋1,a)的最小值为______． 12．已知函数 ． （1）若 的解集为{x|x＜1或x＞3}，求实数 的值． （2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若 对 恒成立，求实数 的取值范围。 13．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度 （单位：毫克/立方米）随着时间 (单位：天)变化的函数关系式近似为 ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天? [来源:学*科*网Z*X*X*K] （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）． 14．已知函数 ． （1）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值； （2）设 ，若不等式 对任意实数 都成立，求实数 的取值范围； （3）设 ，解关于 的不等式组 ． 高中数学复习专题（教师版） ——不等式 一、考点自练： 1．若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝ ，则A∩B＝________． 解析：由|2x－1|＜3，得－3＜2x－1＜3，即－1＜x＜2，A＝{x|－1＜x＜2}．由 ，得 ，所以x≤－eq \f(1,2)或x＞3，B＝{x|x≤－eq \f(1,2)或x＞3}．故A∩B＝ ． 2．已知不等式 的解集是 则不等式 的解集为 ． 3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． 解：不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，∴a＜－4或a＞4． 4．设x，y是正实数，且x＋y＝1，则eq \f(x2,x＋2)＋eq \f(y2,y＋1)的最小值是________． 解析设 ，则 ，所以 = ． 因为 ，所以 ． 二、典例剖析： 例1已知常数 都是实数， 不等式 >0的解集为 ． （1）求实数 的值； （2）若 ，求函数 的最小值． 解：（1）由题可知 的解集为 ， 则 的两根， 由韦达定理可知 ，解得 ． （2） 当且仅当 取等号．. 例2已知 ． （1）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 ，解不等式 ． 解：（1）当 时， ，解得 ； 当 时，不合题意；所以 ． （2） ，即 ． 因为 ，所以 ，因为 所以当 时， ， 解集为｛| ｝； 当 时， ，解集为 ； 当 时， ， 解集为｛| ｝． 例3已知 , , ． （1）求 的范围；（2）求 的范围． 解：（1）令 ，则 ．又 ， ， ， ， ， ，得 ，又由 及 得 ， 而 ，若 ，则 ，与前面矛盾，故 ，即 ， 从而 ，即 ． （2） ，令 ，则 ，∴ ． 又 ，而 ，∴ ，又 ，∴ ． 例4某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为 万元时，销售量 万件满足 （其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品 万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（ ）万元/万件． （1）将该产品的利润 万元表示为促销费用 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大． 解：（1）由题意知,该产品售价为 万元， ， 代入化简得 ，( )． （2） ， 当且仅当 ， 时，上式取等号． 当 时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当 时， ， 故 在 上单调递增， 所以在x=a时，函数有最大值．促销费用投入 万元时，厂家的利润最大． 综上述，当 时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．来源:学_科_网Z_X_X_K] 当 时，促销费用投入 万元时，厂家的利润最大． 不等式作业（教师版） 1．不等式 的解集是 ______ _____． 2．不等式 的解集为____ ___________． 3．若关于 不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ． 4．给出下列命题： ①a，b都为正数时，不等式a＋b≥2 ②y＝x＋eq \f(1,x)的最小值为2； ③y＝sinx＋eq \f(2,sinx)(0＜x＜eq \f(π,2))的最小值为2 ④当x＞0时，y＝x2＋16x≥2 其中错误的命题是 ．①②③④ 解：①a＋b≥2 ②当x＞0，y＝x＋eq \f(1,x)≥2；当x<0时，y＝x＋eq \f(1,x)＝－(－x－eq \f(1,x))≤－2,x)eq \r((－x)·(－)) ＝－2； ③y＝sinx＋eq \f(2,sinx)≥2,sinx)eq \r(2) ，等号成立的条件是sinx＝，即sinx＝ 而当0＜x＜eq \f(π,2)时，0＜sinx≤1，故等号不成立，y的最小值可通过单调性的定义判断， y＝t＋eq \f(2,t)(t＝sinx)在(0,1]上单调递减，从而ymin＝1＋2＝3； ④“2 y＝x2＋16x在x∈(0，＋∞)单调递增，无最小值． 5．车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________． 解：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝eq \f(800＋\f(x,8)×x×1,x)＝ eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2eq \r(\f(800,x)×\f(x,8))＝20，当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)，即x＝80件（x＞0）时，取最小值． 6．如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a的取值范围是_____． 解：由5x2－a≤0，得－eq \r(\f(a,5))≤x≤ eq \r(\f(a,5))，而5x2－a≤0的正整数解是1，2，3，4， 所以4≤ eq \r(\f(a,5))＜5，所以80≤a＜125． 7．已知方程 （其中 ）有两个相等的实根,则 的最小值为________． 8．若关于x的不等式 的解集为(1，m)，则实数m= ．2 9．若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4－2 ，则2a+b+c的最小值为 　　． 解：∵a(a+b+c)+bc= ＝4－2 ， ∴2a+b+c＝ （当且仅当 时取“=”）． 10．关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为 　 ． 11．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则eq \f(a＋1,c)＋eq \f(c＋1,a)的最小值为______． 解：由题可得a＞0，c＞0，且Δ＝22－4ac＝0即ac＝1． 所以a＋c≥2eq \r(ac)＝2，当且仅当a＝c＝1时取等号． 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,c)＋\f(c＋1,a)))＝ac×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,c)＋\f(c＋1,a)))＝a2＋c2＋a＋c＝(a＋c)2＋(a＋c)－2， 当且仅当a＝c＝1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,c)＋\f(c＋1,a)))min＝22＋2－2＝4． 12．已知函数 ． （1）若 的解集为{x|x＜1或x＞3}，求实数 的值． （2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若 对 恒成立，求实数 的取值范围。 解：（1）根据题意，得 ，解得 ． （2）由题意 对 恒成立， 则 对 恒成立， ，当且仅当 时“=”成立． ∴ ． （或分类讨论求函数 的最小值）[来源:Z,xx,k.Com] （3）由题可得 对 恒成立． 令 ，则 对 恒成立， 则 ，得 ． 13．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度 （单位：毫克/立方米）随着时间 (单位：天)变化的函数关系式近似为 ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天? [来源:学*科*网Z*X*X*K] （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）． 解：（1） ， 当 时，有 ，解得 ； 当 时，有 ，解得 ； 综上可知 ，所以若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天． （2）设从第一次喷洒起，经过 天（ ） 浓度 ， 因为 ，所以，当 时， 有最小值 令 ，解得 ，所以 得最小值为 ． 14．已知函数 ． （1）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值； （2）设 ，若不等式 对任意实数 都成立，求实数 的取值范围； （3）设 ，解关于 的不等式组 ． 解：（1）因为不等式 的解集为 ， 所以由题意得 为函数 的两个根， 所以 ，解得 ． （2）当 时, 恒成立,即 恒成立． 因为 ,所以 ， 解之得 ，所以实数 的取值范围为 ． （3）当 时， ， 的图象的对称轴为 ． （ⅰ）当 ，即 时，由 ，得 ； （ⅱ）当 ，即 或 时， ①当 时，由 ，得 ，所以 ； ②当 时，由 ，得 ，所以 或 ． （ⅲ）当 ，即 或 时， 方程 的两个根为 ， ． ①当 时，由 知 ，所以 的解为 或 ； ②当 时，由 知 ，所以 的解为 ． 综上所述： 当 时，不等式组的解集为 ； 当 时，不等式组的解集为 ． _1495875891.unknown _1495877942.unknown _1495879601.unknown _1495879745.unknown _1495879919.unknown _1495880002.unknown _1495880086.unknown _1495880140.unknown _1495880257.unknown _1495880259.unknown _1495909907.unknown _1495910067.unknown _1495911530.unknown _1495911840.unknown _1495911897.unknown _1495911903.unknown _1495911871.unknown _1495911701.unknown _1495910242.unknown _1495910352.unknown _1495910870.unknown _1495911026.unknown _1495910338.unknown _1495910083.unknown _1495910020.unknown _1495910046.unknown _1495910006.unknown _1495880258.unknown _1495880163.unknown _1495880255.unknown _1495880256.unknown _1495880173.unknown _1495880151.unknown _1495880122.unknown _1495880130.unknown _1495880113.unknown _1495880047.unknown _1495880068.unknown _1495880078.unknown _1495880056.unknown _1495880021.unknown _1495880038.unknown _1495880011.unknown _1495879958.unknown _1495879976.unknown _1495879988.unknown _1495879967.unknown _1495879937.unknown _1495879948.unknown _1495879927.unknown _1495879829.unknown _1495879873.unknown _1495879898.unknown _1495879908.unknown _1495879883.unknown _1495879850.unknown _1495879860.unknown _1495879839.unknown _1495879789.unknown _1495879808.unknown _1495879819.unknown _1495879798.unknown _1495879766.unknown _1495879778.unknown _1495879756.unknown _1495879664.unknown _1495879707.unknown _1495879726.unknown _1495879735.unknown _1495879716.unknown _1495879686.unknown _1495879698.unknown _1495879673.unknown _1495879624.unknown _1495879645.unknown _1495879655.unknown _1495879635.unknown _1495879611.unknown _1495878301.unknown _1495878427.unknown _1495878532.unknown _1495878907.unknown _1495879342.unknown _1495879500.unknown _1495879531.unknown _1495879562.unknown _1495879574.unknown _1495879585.unknown _1495879541.unknown _1495879521.unknown _1495879382.unknown _1495879409.unknown _1495879366.unknown _1495879204.unknown _1495879255.unknown _1495879285.unknown _1495879227.unknown _1495878940.unknown _1495879041.unknown _1495878922.unknown _1495878751.unknown _1495878834.unknown _1495878870.unknown _1495878887.unknown _1495878854.unknown _1495878804.unknown _1495878823.unknown _1495878792.unknown _1495878571.unknown _1495878592.unknown _1495878601.unknown _1495878581.unknown _1495878540.unknown _1495878484.unknown _1495878508.unknown _1495878517.unknown _1495878496.unknown _1495878464.unknown _1495878475.unknown _1495878437.unknown _1495878349.unknown _1495878387.unknown _1495878410.unknown _1495878418.unknown _1495878397.unknown _1495878369.unknown _1495878378.unknown _1495878360.unknown _1495878319.unknown _1495878341.unknown _1495878065.unknown _1495878099.unknown _1495878258.unknown _1495878281.unknown _1495878293.unknown _1495878269.unknown _1495878107.unknown _1495878082.unknown _1495878091.unknown _1495878074.unknown _1495878020.unknown _1495878044.unknown _1495878055.unknown _1495878032.unknown _1495877987.unknown _1495878010.unknown _1495877951.unknown _1495877504.unknown _1495877785.unknown _1495877924.unknown _1495877933.unknown _1495877808.unknown _1495877823.unknown _1495877797.unknown _1495877557.unknown _1495877727.unknown _1495877752.unknown _1495877761.unknown _1495877774.unknown _1495877743.unknown _1495877590.unknown _1495877541.unknown _1495877333.unknown _1495877459.unknown _1495877482.unknown _1495877496.unknown _1495877473.unknown _1495877431.unknown _1495877441.unknown _1495877420.unknown _1495876914.unknown _1495877262.unknown _1495877324.unknown _1495877236.unknown _1495877248.unknown _1495877227.unknown _1495876803.unknown _1495876899.unknown _1495876765.unknown _1495873131.unknown _1495874876.unknown _1495875475.unknown _1495875748.unknown _1495875823.unknown _1495875866.unknown _1495875775.unknown _1495875632.unknown _1495875656.unknown _1495875589.unknown _1495875228.unknown _1495875401.unknown _1495875437.unknown _1495875274.unknown _1495874908.unknown _1495875202.unknown _1495874515.unknown _1495874663.unknown _1495874748.unknown _1495874789.unknown _1495874800.unknown _1495874863.unknown _1495874778.unknown _1495874707.unknown _1495874728.unknown _1495874686.unknown _1495874588.unknown _1495874613.unknown _1495874630.unknown _1495874538.unknown _1495874339.unknown _1495874441.unknown _1495874489.unknown _1495874381.unknown _1495873160.unknown _1495873186.unknown _1495873153.unknown _1495872262.unknown _1495872366.unknown _1495872713.unknown _1495872754.unknown _1495872772.unknown _1495872729.unknown _1495872669.unknown _1495872698.unknown _1495872376.unknown _1495872308.unknown _1495872331.unknown _1495872341.unknown _1495872320.unknown _1495872287.unknown _1495872298.unknown _1495872271.unknown _1495871787.unknown _1495872181.unknown _1495872238.unknown _1495872250.unknown _1495872224.unknown _1495871989.unknown _1495872140.unknown _1495871911.unknown _1495871665.unknown _1495871692.unknown _1495871769.unknown _1495871678.unknown _1495871581.unknown _1495871644.unknown _1495800225.unknown _1212128092.unknown