习题课 二项式定理第一章 计数原理*学习目标1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.问题导学达标
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索引问题导学1.二项式定理及其相关概念 二项式定理 公式(a＋b)n＝，称为二项式定理 二项式系数 _______________________________________________ 通项 Tk＋1＝(k＝0,1，…n) 二项式定理的特例2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：；(2)性质：＝；(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的取得最大值，即最大；当n是奇数时，中间的相等，且同时取得最大值，即最大；(4)二项式系数之和：，所用方法是.一项赋值法两项*题型探究命题角度1 两个二项式积的问题类型一 二项式定理的灵活应用答案解析例1 (1)的展开式中x的系数是A.－4 B.－3C.3 D.4√(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝_____.解析 (1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.答案解析－1则10＋5a＝5，解得a＝－1.反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行
分析
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，发现它们各自项的特点.(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.(3)分别求解再相乘，求和即得.答案解析√解析 令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，令5－2k＝1，得k＝2，令5－2k＝－1，得k＝3，(2)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝_____.解析 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)答案解析120答案解析命题角度2 三项展开式问题令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性.跟踪训练2 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为_____.解析 方法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，答案解析30方法二 (x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，命题角度3 整除和余数问题例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期A.一 B.二 C.三 D.四√解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数.答案解析所以第810天相当于第1天，故为星期一.反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了.(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.跟踪训练3 设a∈Z，且0≤a<13，若512017＋a能被13整除，则a＝____.答案解析1能被13整除，0≤a<13.故－1＋a能被13整除，故a＝1.(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；类型二 二项式系数的综合应用解答即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.解答得n＝－13(舍去)或n＝12.设Tk＋1项的系数最大，∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项是第11项，反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心.跟踪训练4 已知展开式中二项式系数之和比(2x＋xlgx)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1120，求x.解答解 依题意得2n－22n－1＝－112，整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项.化简得x4(1＋lgx)＝1，所以x＝1或4(1＋lgx)＝0，达标检测1.在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为A.30 B.20C.15 D.10答案解析√12345答案解析2.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是A.第6项 B.第5项C.第5、6项 D.第6、7项√12345∴展开式中系数最大的项是第6项.答案解析√12345答案解析√12345因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.答案解析5.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为________.解析 当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由题意，得M·N＝64，∴2n＝64，∴n＝6.12345－160x1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.(3)分别求解再相乘，求和即得.2.三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性.3.用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了.4.求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入.5.确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质.**
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