线性代数二次型试题及答案

精品文档第六章二次型称对称阵A为二次型f的矩阵,称对称阵A的秩为一、基本概念二次型f的秩.n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,注意:一个二次型f的矩阵A必须是对称矩阵且满足一般形式为fXTAX，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f和f(x,x,…,x)=12n它的矩阵A（A为对称阵）是一一对应的，因此，也把ax2+2axx+2axx+…+2axx+111121213131n1n二次型f称为对称阵A的二次型。ax2+2axx+2222313实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量…+2axx+…+ax21n1nnnnx,x,…,x的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.12nn=ax22axx.大纲的要求限于实二次型.iiiijiji1ij 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 二次型只含平方项的二次型，即形如它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵Aaaaxfdx2dx2dx211121n11122nnnnaaaxf(x,x,x)axx(x,x,x)21222n212nijij12n称为二次型的标准型。i1j1aaaxn1n2nnn规范二次型形如x2x2x2x2的二次型，即T记Xx,x,xT，则f(x,x,…,x)=XAX1pp1pq1212nAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档平方项的系数只………1，-1，0，称为二次型的规范型。cc…c是可逆矩阵,则称为可逆线性n1n2nn二、可逆线性变量替换和矩阵的 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 关系变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可对二次型f(x,x,…,x)引进新的变量y,y,…,y,用矩阵乘积写出:12n12nXCY并且把x,x,…,x 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为它们的齐一次线性函数fXTAX(CY)TA(CY)YT(CTAC)Y12nxcycycy记BCTAC，则BTB，从而fYTBY。11111221nnxcycycy22112222nn由BCTAC知，两个n阶对称矩阵A与B合同且xcycycynn11n22nnnr(A)=r(B)代入f(x,x,…,x)得到y,y,…,y的二次型12n12n定理1：二次型经可逆线性变换后，g(y,y,…,y).把上述过程称为对二次型fXTAXXCY12n变成新的二次型，它的矩阵且f(x,x,…,x)作了线性变量替换,如果其中的系数矩fYTBYBCTACr(A)r(B)12n定理2：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相阵转化的充分必要条件为它们的矩阵合同.cc…c11121n三、正交变换化二次型为标准型C=cc…c21222n定理3：对实二次型fXTAX，其中ATA，总有AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档正交变换XQY，使fXTAXYT(QTAQ)YYTYy2y2y21122nnAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档其中，为f的矩阵A的特征值。定理4：若二次型经过可逆线性变换化为1fXTAX2标准形，则标准型中所含平方项的个数等于二次型的n因为Q是正交矩阵，则BQTAQQ1AQ，即经过二次秩。型变换，二次型矩阵不仅合同而且相似。定理5：一个二次型所化得的标准二次型虽然不是将二次型用正交变换化为标准形的一般步骤为：f唯一的,但是它们的平方项的系数中,正的个数和负的（1）写出二次型的矩阵Af个数是确定的,把这两个数分别称为原二次型的正惯（2）求出A的全部相异特征值,,，对每一个12m性指数和负惯性指数，这个定理称为惯性定理特征值求出其线性无关的特征向量，并利用施密特正一个二次型所化得的规范二次型x2x2x2x21pp1pq交化方法将其正交单位化，将上面两两正交的单位向在形式上是唯一的,称为其规范形，其中的自然数p,q量作为列向量，排成一个n阶方阵Q，则Q为正交阵且就是原二次型的正,负惯性指数。为对角阵。（3）作正交变换，即Q1AQQTAQXQY性质1：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相可将二次型化为只含平方项的标准型转化的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相四、配方法(略,见例).等.(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的五、惯性定理和惯性指数AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档正,负惯性指数都相等.)(2)性质与判断性质2：由正交变换法看出,实对称矩阵A的正(负)实对称矩阵A正定合同于单位矩阵.即存在可逆矩惯性指数就是它的正(负)特征值的个数.阵Q使QTAQE，或者存在可逆矩六、正定二次型和正定矩阵阵P，使得PTEPA定义1：如果当x,x,…,x不全为0时,有对任意可逆矩阵C，T正定（即合同的矩阵，12nCACf(x,x,…,x)>0，称二次型f(x,x,…,x)称为正定二有相同的正定性）。12n12n次型A的正惯性指数等于其阶数n.如果实对称矩阵A所决定的二次型正定,则称A为A的特征值都是正数.正定矩阵,于是A为正定矩阵也就是满足性质:当X0A的顺序主子式全大于0.T时,一定有XAX>0，且A一定是是对称矩阵。顺序主子式:一个n阶矩阵有n个顺序主子式,第r二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不个(或称r阶)顺序主子式即A的左上角的r阶矩阵Ar变的.即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不的行列式|A|.r变.判断正定性的常用方法:顺序主子式法,特征值AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档法,定义法.AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档可表示成若干个初等矩阵的乘积；AA0A不可逆r(A)n的特征值全不为0；AAx=0有非零解是正定矩阵；ATA0是A的特征值A的列（行）向量组线性相关β可由α，α,…，α惟一线性表示12nβ=xa+xα+…+xα是阶可逆矩阵：1122nnAn（是非奇异矩阵）；Ax=β有惟一解x=(x,x,…,x)T,A012nA=(α,α,…,α)（是满秩矩阵）12nr(A)nr(A)=r(Aβ)=n的行（列）向量组线性无关；A|A|≠0齐次方程组只有零解；Ax=0只有零解Ax0λ=0不是A的特征值，总有唯一解；nAxbbRAB=0A(b,b,…,b)=0,B=(b,b,…,b)与等价；12s12sAEAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档Ab=0,j=1,2,…,s例题jb,b,…,b均为Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n)一、概念型题12s若b≠0且A为n阶方阵时，b为对应特征值1.写出二次型f(x,x,x)2xxx22xx6xx的矩阵jj1231221323x2xxxx0111200λ=0的特征向量11213j2题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：Axxx2xx113221021223xxxxx2130013031323A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相00002.二次型f(x,x,x,x)x22x23x24xx2xx的矩阵是关。12341231223______。AB=CA(b,b,…,b)=(C,C,…,C)12r12r1243.矩阵对应的二次型是______。A221Ab=C,j=1,2,…,rjj413b为Ax=C的解.答案：x22x23x24xx8xx2xx.jj123121323C,C,…,C可由A的列向量组α,α,…,α4.已知二次型f(x,x,x)a(x2x2x3)4xx4xx4xx12r12s123122121323线性表示.经正交变换x=Py可化成标准型f6y2，则a=1[r(C)=r(AB)≤r(A)或r(B)]C的行向量组可由B的行向量组线性表示。AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档a解：3a6006惯性指数的个数，然后写出其规范形。Aaa（1）f(x,x,x)x2x2x22xx2xx2xx5.已知二次型xTAxx25x2x22axx2xx2bxx的秩123123121323123121323解：先集中含有x的项，凑成一个完全平方，再集中1为2，含有x的项，凑成完全平方（2，1，2）T是A的特征向量，那么经正交变换后二2f(x,x,x)(x22xx2xx)x2x22xx123112132323次型的标准型是=解：二次型对应的矩阵A为：xxx2x2x22xxx2x22xx1a11a112323232323rA2abAa5b05a2ba1b10ba0xxx22xx22x2123232因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以1a122，xxxyxyya5a111231112x110y设，11，1a122xxyxyx001yxQy2322322xyxyyx011y3,a22332333标准型：fy22y22y2，正惯性指数：p2，负惯123，AE6300,3,6f3y26y2性指数：12312q1二、化二次型为标准型规范性：fz2z2z21231.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负(2)f(x,x,x)=x2+2x2+2xx-2xx+2xx.12312121323AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档解：f(x,x,x)=（x2+2xx-2xx）为1,特征值之积为-12.(1)求a,b.(2)用正交变123112132+2x+2xx=xxx2x2x25x2换化f(x,x,x)为标准型。223123233123xxxy设1231，，标准型：x2xyxCyfy2y25y2232123xy33正惯性指数：p2，负惯性指数：q1，规范性：fz2z2z2123(3)f(x,x,x)=-2xx+2xx+2xx.123121323解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换：xyy112，，110，xyyXCyf2yy22y22y2212C1101323xy33001设：zyy,zy,zy，1011132233yCz010z2001标准型：f2z22z22z2，规范性：fz2z2z21231232.设二次型f(x,x,x)=X123TAX=ax2+2x2-2x2+2bxx,(b>0)，其中A的特征值之和12313AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档a0b解：二次型的矩阵：，因为a221，解：本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为A020b02标准型以及方程组求解等多个知识点，特别是第三部A4a2b212b2分比较新颖。（2）AE22302,31231a1a020,1,0T2,0,1T31,0,2T1a1a0二次型的矩阵A为：，得a=011233A1a1a0A1a1a00002002因为它们已经两两正交，所以只需要单位化。110这里，可求出其特征值为2,011A1101230,10T2,0,1T1,0,2T12535002解(2EA)x0，得特征向量为：1,1,0,0,0,1Q,,Q1AQQTAQy2y2y2121231122333.已知二次型解(0EA)x0，得特征向量为：1,1,03由于已经正交，直接将，单位化，得：f(x,x,x)=(1-a)x2+(1-a)x2+2x2+2(1+a)xx的秩为,,12312312123123112.1,1,0,0,0,1,1,1,012232(1)求a.(2)求作正交变换X=QY,把f(x,x,x)化为123令Q，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，123标准形.可化原二次型为标准形：f(x,x,x)=2y22y2.12312(3)求方程f(x,x,x)=0的解.123（III）由f(x,x,x)=2y22y20，得y0,y0,yk（k12312123AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档为任意常数）.0c从而所求解为：x=Qy=0kc，其中c为任1233k0意常数。4.设二次型fx,x,xax2ax2a1x22xx2xx1231231323（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f的规范形为y2y2，求a的值。12AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档a1111a1即10b11，1，1b1001b0a1Ⅱ）若规范形为y2y2，说明有两个特征值为正，一个101112即1。a0，则A101。1b0b1111为0。则计算A的特征多项式，则A的特征值为EA(1)(23)若a0，则20，1，不符题意123，，，其基础解系为133若0，即a2，则20，30，符合123213。(1,1,13)T(1,1,13)T若0，即a1，则10，30，不符题意312因为、、已经正交，所以只需要把它们单位化。综上所述，故a25.已知向量是二次型111(1,1,0)T2623623T令111，P,,f(x,x,x)xTAxax2x22xx2xx2bxx的矩阵A的特征向量，26236231231312132313130求正交变换化该二次型为标准型。623623则P为正交矩阵，作正交变换xpy，得a11解:，又因为是A的特征向量，A10b(1,1,0)T=。1b1fxTAx(py)TA(py)yT(pTAp)yy23y23y2123∴设所对应的特征值为，有A。6.AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档解：a214a31b11b1Ab3103b21bb1，11101b0因为3个向量已经正交，只需要将其单位化AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档当t___时,tEA是正定的.解：tEA的特征值为t1,t2,,tn.若tEA是正定三、关于正定的判断的,则1.判断3元二次型fx25x2x24xx4xx的正定性1231223t10,t20,,tn0解：120，用顺序主子式判断大于0，所以是A2520214.设A是3阶实对称矩阵，满足A22A0，并且r(A)=2.正定的。(1)求A的特征值.（2）当实数k满足什么条件时2.当____时,实二次型f(x,x,x)x2x25x22txx2xx4xx123123121323kAE正定?是正定的.解：A22A0AA200,2解：1t1,1t,所以At121t20|t|1因为rA2,所以特征值为0，-2，-2t11251(2)kAE的特征值为1,1-2k,12k0k21t14且,5t24t0,t0t124t5t2055.f(x,x,x)(xax2x)2(2x3x)2(x3xax)212512312323123所以,当4时,二次型是正定的.已知上述二次型正定，则a的取值为t053.设n阶实对称矩阵A特征值分别为1,2,…,n,则解：f(x,x,x),当x,x,x不全为0时，二次型正定。123123xax2x0，2x3x0，x3xax012323123AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档若同时全为0，即齐次线性方程组只有0解，fx,xx0x,x,x12n1237.已知A是n阶可逆矩阵，证明T是对称、正定矩阵。此时A0,a1AA即a1时，三个平方项不全为0，二次型正定。6.解：由已知可得，对于任意的x,xx，12n有fx,xx0，其中等号仅当以下等式12n同时为0时成立，此方程组仅有0解的充要条件是其系数行列式不为0，AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档证明：ATATATA，所以ATA是对称矩阵。xTBTABx0BxTABx0Bx0，即Bx0只有0解，若ATA正定，则ATA=ATEA，所以ATA与E合同rBn合同矩阵有相同的正负惯性指数，所以ATA是正定矩充分性，BTABTBTATBBTAB，BTAB为实对称矩阵，阵。rBn，所以（2）因为A是可逆矩阵，所以A0，Ax0，当A0时，Bx0只有0解，对任意x0，Bx0，又因为A为正对只有0解。称矩阵，所以所以Ax0x0，xTATAxAxTAxAxAx0Bx0，BxTABx0，BxTABxxTBTABx0，x0，所以ATA正定。所以BTAB为正定矩阵。8.设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mn实矩阵，BT9.设A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵为B的转置矩阵，BEATA，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是rBn。试证：当0时，矩阵B为正定矩阵。证明：必要性，设BTAB为正定矩阵，对任意的实n证明：BT(EATA)TEATAB，所以A为n阶实对维列向量x0，称矩阵AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档对于任意的实n维向量x，阵xTBxxTEATAxxTxxTATAxxTAx与xTBx的正、负惯性指数相等.r(A)r(B)合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定合同xTxAxTAx，当x0时，xTx0，AxTAx0，当时，任意的，有，0x0xTBxxTxAxTAx0矩阵A与B相似，记作A∽B，所以B为正定矩阵。存在n阶可逆矩阵P,使P-1AP=B，即A与B都是矩阵的合同、相似、等价都有自反性，对称性，传递方阵r(A)r(B)性。相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。矩阵A与B等价记作：AB相似的实对称矩阵一定合同，但合同的对称矩阵A经过有限次初等变换化为B，即A与B是同型矩不一定相似。阵因为实对称矩阵的正(负)惯性指数就是它的正(负)r(A)r(B)存在可逆矩阵P与Q，使得APBQ特征值的个数，相似的矩阵有相同的特征值，所以相A与B合同，记为A≌B似的实对称矩阵有相同的正,负惯性指数，所以相似的存在n阶可逆阵P使得PTAPB，即A与B都是方实对称矩阵一定合同。AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档对任意实对称矩阵A都存在正交矩阵P，使若A和B都能相似对角化，一定相似。P1APPTAP，即任意实对称矩阵都和对角阵即相似若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。又合同。若都不能对角化，可能相似，也可能相似。若矩阵不是实对称矩阵，相似的矩阵不一定合同，例题：已知矩阵A和B，判断能否相似，261121合同的矩阵也不一定相似。A010B230相似的矩阵一定有相等的特征值，但是特征值相等的360003A和B有相同的特征值，A能对角化，B不能对角化，矩阵不一定等价。所以A和B不相似。特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似，因为实131616110432对称矩阵都能相BP1APA576B010P111687003211似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对A和B有相同的特征值，都不能相似对角化，但是A和角阵，根据相似的传递性，A和B一定相似。B相似。特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能131.设A，B=，判断A与B是否等价、相似、24不相似。合同。AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档2.11114000中那些矩阵相似，那些矩阵合同。A=1111,B=0000,2111004.设矩阵,,则A与BA121B01011200011110000(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似(C)不合同,11110000但相似.(D)既不合同,又不相似判断A与B是否等价、相似、合同。解：AE03,0，特征值不同，不相似，解：根据指示点，两个实对称矩阵若相似，则必合同，123但是有相同的正负惯性指数。又r(A)=1，其特征值为，显然A、B为实对称矩阵，且5.设12则在实数域上与合同矩阵为（）A~B，于是A与B也合同。AA21当A、B为实对称矩阵时，若A~B，则A、B有相同A21.B21.C21.D1212121221的特征值xTAx与xTBx有相同的正负惯性指数A与B解：D有相同的正负惯性指数。合同.但若A、B为非对称矩阵，则A与B不合同（合同矩阵必为对称矩阵）.3.已知A=4，B=410，C=220，试判断A，B，C40412204000002AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文档如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！387579765靥245545FEA忪276796C1F氟34908885C衜[365258EAD躭FAq275956BCB毋B37949943D鐽33930848A蒊)360788CEE賮AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF