向量共线、定比分点
公式
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及数量积 一、 平面向量共线定理、定比分点
1. 平面向量共线定理
,a,(x,y)b,(x,y)ba//bxy,xy,0 设，( ,0)，则 11221221
yy12,a//bx、x 注:不能写成，因为有可能为0. ,12xx12
y 2.定必分点公式 P2
P P(x,y)P(x,y)P(x,y)PP,,PP 已知，，，若 11122212 1, P 1 则=+ OPOPOP12 ，,1，,1，,,xx 12,,x，O x ,1，,
,x，,xy，,y1212P,坐标公式(λ?,1)，即 (,)，,,yy，,，,1112,y,1，,,
注意:点P为所成的比为λ，用数学符号
表
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达即为=λ.当λ ,0时，P为PPPPPP1212
内分点;λ ,0时，P为外分点.
二、平面向量的数量积
b1(平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量 a
(0),,,,bbbbb||||cos, 叫与的数量积，记作,，即, = ||||cos,，并aaaaa
新疆王新敞奎屯规定0与任何向量的数量积为0 bb
b2(平面向量的数量积的几何意义:数量积,等于a, , abbb的长度与在方向上投影 ||cos,的乘积. aaoo aP P a,b在方向上的投影:OP ,bcos,, aa
b3(两个向量的数量积的性质:设、为两个非零向量 a
bbbbbb(1)-||||?|,| ? ||||，当与同向时，, = ||||;当aaaaaaa
bbb与反向时，, = -||||; aa
bb(2), , , = 0(两向量垂直的判定); aa
a,ba,ba,bb(3)cos, =，||cos, =，||cos, =(投影式). a|a||b||b||a|4.平面向量数量积的运算律
bb,b,b,b(1)交换律:,=, (2) 数乘结合律:(), =(,) = ,() aaaaa
a，bb(3)分配律:( ), = , + , cacc
5.平面向量数量积的坐标表示
a,(x,y)b,(x,y),xx，yyb(1)已知两个向量，,则,. a11221212
1
22a,(x,y)|a|,x，y(2)设，则.
(3)平面内两点间的距离公式
(x,y)(x,y)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、， a1122
22|a|,(x,x)，(y,y)那么. 1212
a,(x,y)b,(x,y)(4)向量垂直的判定 :两个非零向量 1122
,a,bxx，yy,0 . 1212
xx，yya,b1212,0,,,,(5)两向量夹角的余弦 cos, =) (2222|a|,|b|x，yx，y1122
平面向量共线定理、定比分点 1、 a,(1,1)，b,(,1,1)，c,(4,2)，则c,( )
A(3a，b B(3a,b C(,a，3b D(a，3 2、下列各组向量可以作为该平面一组基底的是( )
a,(1,2)a,(,1,2)b,0A(与 B(与 b,(2,1)
a,(1,2)a,(0,1)b,(0,,1)C(与 D(与 b,(,2,,4)
BABMA(2,,3)AB,(3,,2)3、已知,,则点和线段的中点坐标分别为( )
7,,B(5,,5) A(, B(, M(0,0)B(5,,5)M,,4,,2,,
7,,，，M(0,0)B1,1 C(, D(, ，，B1,1M,,4,,2,,
4、已知向量a ,(1,1)，b,(2，x)，若a，b与4 b,2 a平行，则实数x的值是 ( )
A(,2 B(0 C(1 D(2
DAB,AD,,ABCbAC,5、在中，,,若点满足BD,2DC,则( ) c
52122121A( B( C( D( c,bb，cb，cb,c33333333
4x,y(2x,y)5，，bbx,2yb6、已知向量与向量不共线，实数满足+=+， aaa
x，y,则________ ;
7、已知,ABC三顶点A(,1,2),B(2,3),C(5,4)，则其重心坐标为_____________;
,ABC8、如右图所示，在中，已知A(2,3)，B(6，,4)，G(4，,1)是中线AD
上一点，且,，则点C的坐标为____________. AG2GD
kka，b9、已知，当为何值时，与平行，此时它们方向如何? a,3ba,(1,2),b,(,3,2)
2
1PABPA(1,,2),B(,3,4)10、(1) 已知点,点在直线上，且,求点的坐标; AP,BP3
1PABP(2)已知点,点在直线上，且,求点的坐标. A(2,,4),B(,6,8)AP,PB3
平面向量的数量积
,ABC，，6AB,BCAB，BC,CA1、已知等边的边长为，则与的值分别为( ) ,1836,18,3618,36,1836A(和 B(和 C(和 D(和
a,b,,6bb,22、已知，，则在向量方向上的投影为( ) a
,12,33A( B( C( D(无法确定
bba3、已知向量=(x ,y), =( -1,2 )，且+=(1，3)，则 等于( ) aa
A( 2 B .3 C. 5 D. 10
4、已知向量( ) a,(1,n),b,(,1,n),若a与b垂直,则a等于
2 A(1 B( C(2 D(4 a,(3,2),b,(,6,1)(,a，b),(a,,b)5、已知，而，则λ等于( )
1 A(1或2 B(2或, C( 2 D(以上都不对 2
1805,36、若平面向量b与向量a =(1,-2)的夹角是, 且 b , 则b等于( ).
(3,6),(3,6),(6,3),(6,3),A. B. C. D. a,1,b,2,a,b,,2b7、已知，则与的夹角为_________; a
a,b,10ba,(3,4)8、已知，且，求在的投影_________. a
,|a|,4,|b|,3a与b的夹角为|2a，b||3a-4b|9、已知，，求，. 4
3
,|a|,2,|b|,1,2a，a，b10、已知与b的夹角为,若向量kb与垂直, 求k. a3
,a与ba，b与a-b|a|,3,|b|,111、已知，的夹角为，求的夹角的余弦值. 6
|a|,3,|b|,4(a，b),(2a,b),4b,12、已知向量，且，求与夹角的取值范围. a
,ABC|a|,3,|b|,2,|c|,4a,b，b,c，c,d13、中，，，求 AB,a,BC,b,AC,c
a,(1,2),b,(,3,2)a，bd,a,3b14、已知向量，向量k， c,
c,dc 与 d 的夹角为钝角时(1)当k为何值时，有;(2)若，求k的取值范围.
4
浙公网安备 33021202002483