概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章习题参考答案

1 第一章 随机事件与概率 习题 1.1 1． 写出下列随机试验的样本空间： （1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子； （3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； （4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个． 解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}， 其中出现正面记为 1，出现反面记为 0； （2）Ω = {(x1 , x2 , x3)：x1 , x2 , x3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}； （3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}， 其中出现正面记为 1，出现反面记为 0； （4）Ω = {BB，BW，BR，WW，WB，WR，RR，RB，RW}， 其中黑球记为 B，白球记为 W，红球记为 R； （5）Ω = {BW，BR，WB，WR，RB，RW}， 其中黑球记为 B，白球记为 W，红球记为 R． 2． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为 Z），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为 F），则再抛 一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？ 解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ，FF}． 3． 设 A, B, C 为三事件，试表示下列事件： （1）A, B, C 都发生或都不发生； （2）A, B, C 中不多于一个发生； （3）A, B, C 中不多于两个发生； （4）A, B, C 中至少有两个发生． 解：（1） CBAABC U ； （2） CBACBACBACBA UUU ； （3） ABC 或 CBACBACBACBABCACBACAB UUUUUU ； （4） ABCBCACBACAB UUU ． 4． 指出下列事件等式成立的条件： （1）A∪B = A； （2）AB = A． 解：（1）当 A ⊃ B 时，A∪B = A； （2）当 A ⊂ B 时，AB = A． 5． 设 X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件 A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出 下列各事件： （1） BA ； （2） BA U ； 2 Ω （3） AB ； （4） BAU ． 解：（1） }5.11{}5.025.0{ <<≤≤= XXBA U ； （2） Ω=≤≤= }20{ XBA U ； （3） AXXAB =≤<≤≤= }21{}5.00{ U ； （4） BXXBA =≤≤<≤= }25.1{}25.00{ UU ． 6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为 0）与不合格品（记为 1），设 X 为三件产品中的不合 格品数，指出下列事件所含的样本点： A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”． 解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7． 试问下列命题是否成立？ （1）A − (B − C ) = (A − B )∪C； （2）若 AB = ∅且 C ⊂ A，则 BC = ∅； （3）(A∪B ) − B = A； （4）(A − B )∪B = A． 解：（1）不成立， CBAACBAACBACBACBACBACBA UUUU )()()()( −≠−====−=−− ； （2）成立，因 C ⊂ A，有 BC ⊂ AB = ∅，故 BC = ∅； （3）不成立，因 ABABABBBABBABBA ≠−====− UUU )()( ； （4）不成立，因 ABABBBABBABBA ≠===− UUUUU ))(()( ． 8． 若事件 ABC = ∅，是否一定有 AB = ∅？ 解：不能得出此结论，如当 C = ∅时，无论 AB 为任何事件，都有 ABC = ∅． 9． 请叙述下列事件的对立事件： （1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B =“射击三次，皆命中目标”； （3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”． 解：（1） =A “掷两枚硬币，至少有一个反面”； （2） =B “射击三次，至少有一次没有命中目标”； （3） =C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式： （1） BAABA U= ； （2） BAABA UU = ． A B (A − B )∪C C A − (B − C ) Ω C A B 3 证：（1） AABBABAAB =Ω== )( UU ； （2） BABABAAABAA UUUUU =Ω== )())(( ． 11．设 F 为一事件域，若 An ∈F ，n = 1, 2, …，试证： （1）∅ ∈F ； （2）有限并 ∈ = U n i iA 1 F ，n ≥ 1； （3）有限交 ∈ = I n i iA 1 F ，n ≥ 1； （4）可列交 ∈ +∞ = I 1i iA F ； （5）差运算 A1 − A 2 ∈ F ． 证：（1）由事件域定义条件 1，知 Ω ∈F ，再由定义条件 2，可得∅ ∈Ω= F ； （2）在定义条件 3 中，取 An + 1 = An + 2 = … = ∅，可得 ∈= ∞ == UU 11 i i n i i AA F ； （3）由定义条件 2，知 ∈nAAA ,,, 21 L F ，根据（2）小题结论，可得 ∈ = U n i iA 1 F ， 再由定义条件 2，知 ∈ = U n i iA 1 F ，即 ∈ = I n i iA 1 F ； （4）由定义条件 2，知 ∈LL ,,,, 21 nAAA F ，根据定义条件 3，可得 ∈ ∞ = U 1i iA F ， 再由定义条件 2，知 ∈ ∞ = U 1i iA F ，即 ∈ ∞ = I 1i iA F ； （5）由定义条件 2，知 ∈2A F ，根据（3）小题结论，可得 ∈21 AA F ，即 A1 − A 2 ∈ F ． 4 习题 1.2 1． 对于组合数 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ r n ，证明： （1） ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ rn n r n ； （2） ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ r n r n r n 1 1 1 ； （3） n n nnn 2 10 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ L ； （4） 12 2 2 1 −⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ nn n n n nn L ； （5） ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ n bab n a n ba n ba 0110 L ，n = min{a, b}； （6） ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ n n n nnn 2 10 222 L ． 证：（1） ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=−=−−−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − r n rrn n rnnrn n rn n !)!( ! )]!([)!( ! ； （2） ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=−=−+− −=−− −+−− −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − r n rnr nrnr rnr n rnr n rnr n r n r n )!(! !)]([ )!(! )!1( )!1(! )!1( )!()!1( )!1(1 1 1 ； （3）由二项式展开定理 nnnn y n n yx n x n yx ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=+ − L1 10 )( ，令 x = y = 1，得 n n nnn 2 10 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ L ； （4）当 1 ≤ r ≤ n 时， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −=−⋅− −=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 1 1 )!()!1( )!1( )!()!1( ! )!(! ! r n n rnr nn rnr n rnr nr r n r ， 故 12 1 1 1 1 0 1 2 2 1 −⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ nn n n n n n n n n n n nn LL ； （5）因 aa x a a x aa x ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=+ L 10 )1( ， bb x b b x bb x ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=+ L 10 )1( ， 两式相乘，其中 x n 的系数为 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 0110 b n a n ba n ba L ， 5 另一方面 bababa x a ba x baba xxx ++ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=+=++ L 10 )1()1()1( ， 其中 x n 的系数为 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + n ba ，即 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ n bab n a n ba n ba 0110 L ； （6）在（5）小题结论中，取 a = b = n，有 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ n nn n n n nn n nn 2 0110 L ， 再由（1）小题结论，知 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ rn n r n ，即 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ n n n nnn 2 10 222 L ． 2． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率． 解：样本点总数 n = 23 = 8， 事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为 1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为 k = 8 − 1 = 7， 故所求概率为 8 7)( =AP ． 3． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率． 解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数 n = 22 = 4， 事件“两个都是偶数”所含样本点个数为 1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为 1， 即事件 A =“它们的和为偶数”所含样本点个数 k = 2， 故所求概率为 2 1 4 2)( ==AP ． 4． 掷两枚骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为 6； （2）点数之和不超过 6； （3）至少有一个 6 点． 解：样本点总数 n = 62 = 36． （1）事件 A1 =“点数之和为 6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数 k1 = 5， 故所求概率为 36 5)( 1 =AP ； （2）事件 A2 =“点数之和不超过 6”的样本点有 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数 k2 = 15， 故所求概率为 12 5 36 15)( 2 ==AP ； （3）事件 A3 =“至少有一个 6 点”的样本点有 (1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数 k3 = 11， 故所求概率为 36 11)( 3 =AP ． 5． 考虑一元二次方程 x 2 + Bx + C = 0，其中 B, C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方 程有实根的概率 p 和有重根的概率 q． 解：样本点总数 n = 62 = 36， 事件 A1 =“该方程有实根”，即 B 2 − 4C ≥ 0，样本点有 6 (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)， 即个数 k1 = 19， 故 36 191 == n k p ． 事件 A2 =“该方程有重根”，即 B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数 k2 = 2， 故 18 1 36 22 === n k q ． 6． 从一副 52 张的扑克牌中任取 4 张，求下列事件的概率： （1）全是黑桃； （2）同花； （3）没有两张同一花色； （4）同色． 解：样本点总数 270725 1234 49505152 4 52 =××× ×××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=n ， （1）事件 A1 =“全是黑桃”所含样本点个数 7151234 10111213 4 13 1 =××× ×××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ， 故所求概率为 0026.0 270725 715)( 1 ==AP ； （2）事件 A2 =“同花”所含样本点个数 28601234 101112134 4 13 42 =××× ××××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛×=k ， 故所求概率为 0106.0 270725 2860)( 2 ==AP ； （3）事件 A3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数 k3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561， 故所求概率为 1055.0 270725 28561)( 3 ==AP ； （4）事件 A4 =“同色”所含样本点个数 299001234 232425262 4 26 24 =××× ××××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛×=k ， 故所求概率为 1104.0 270725 29900)( 4 ==AP ． 7． 设 9 件产品中有 2 件不合格品．从中不返回地任取 2 个，求取出的 2 个中全是合格品、仅有一个合格 品和没有合格品的概率各为多少？ 解：样本点总数 36 12 89 2 9 =× ×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=n ， 事件 A1 =“全是合格品”所含样本点个数 2112 67 2 7 1 =× ×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ，故所求概率为 12 7 36 21)( 1 ==AP ； 事件 A2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数 14271 2 1 7 1 =×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ，故所求概率为 18 7 36 14)( 2 ==AP ； 7 事件 A3 =“没有合格品”所含样本点个数 12 2 3 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ，故所求概率为 36 1)( 3 =AP ． 8． 口袋中有 7 个白球、3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率． 解：样本点总数 45 12 910 2 10 =× ×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=n ， 事件 A =“两个球颜色相同”所含样本点个数 24 12 23 12 67 2 3 2 7 =× ×+× ×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ， 故所求概率为 15 8 45 24)( ==AP ． 9． 甲口袋有 5 个白球、3 个黑球，乙口袋有 4 个白球、6 个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的 两个球颜色相同的概率． 解：样本点总数 n = 8 × 10 = 80， 事件 A =“两个球颜色相同”所含样本点个数 k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38， 故所求概率为 40 19 80 38)( ==AP ． 10．从 n 个数 1, 2, …, n 中任取 2 个，问其中一个小于 k（1 < k < n），另一个大于 k 的概率是多少？ 解：样本点总数 )1( 2 1 2 −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= nnnN ， 事件 A = “其中一个小于 k，另一个大于 k”所含样本点个数 K = (k − 1)(n − k)， 故所求概率为 )1( ))(1(2)( − −−= nn knkAP ． 11．口袋中有 10 个球，分别标有号码 1 到 10，现从中不返回地任取 4 个，记下取出球的号码，试求： （1）最小号码为 5 的概率； （2）最大号码为 5 的概率． 解：样本点总数 210 1234 78910 4 10 =××× ×××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=n ， （1）事件 A1 =“最小号码为 5”所含样本点个数 10123 345 3 5 1 =×× ××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ， 故所求概率为 21 1 210 10)( 1 ==AP ； （2）事件 A2 =“最大号码为 5”所含样本点个数 4123 234 3 4 2 =×× ××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ， 故所求概率为 105 2 210 4)( 2 ==AP ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率： （1）所得的最大点数小于等于 5； （2）所得的最大点数等于 5． 解：样本点总数 n = 63 = 216， 8 （1）事件 A1 =“所得的最大点数小于等于 5”所含样本点个数 k1 = 53 = 125，故所求概率为 216 125)( 1 =AP ； （2）事件 A2 =“所得的最大点数等于 5”所含样本点个数 k2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为 216 61)( 2 =AP ． 13．把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率． 解：样本点总数 n = 10!， 事件 A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数 k = 4! × 7!， 故所求概率为 30 1 8910 1234 !10 !7!4)( =×× ×××=×=AP ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率． 解：样本点总数 N = (n − 1)!， 事件 A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数 k = 2! × (n − 2)!， 故所求概率为 1 2 )!1( )!2(!2)( −=− −×= nn nAP ． 15．同时掷 5 枚骰子，试证明： （1）P{每枚都不一样} = 0.0926； （2）P{一对} = 0.4630； （3）P{两对} = 0.2315； （4）P{三枚一样} = 0.1543（此题有误）； （5）P{四枚一样} = 0.0193； （6）P{五枚一样} = 0.0008． 解：样本点总数 n = 65 = 7776， （1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数 72023456561 =××××== Ak ， 故 P{每枚都不一样} 0926.0 7776 720 == ； （2）事件“一对”所含样本点个数 3600345 12 45635 2 5 1 62 =×××× ××=⋅⋅= ACAk ， 故 P{一对} 4630.0 7776 3600 == ； （3）事件“两对”所含样本点个数 18004 12 23 12 45 12 561 4 2 3 2 5 2 63 =×× ××× ××× ×=⋅⋅⋅= ACCCk ， 故 P{两对} 2315.0 7776 1800 == ； （4）事件“三枚一样”所含样本点个数 15005 123 34565 2235 1 64 =××× ×××=⋅⋅= CAk ， 故 P{三枚一样} 1929.0 7776 1500 == ； 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数 120045 123 345625 3 5 1 64 =×××× ×××=⋅⋅= ACAk ， 故 P{三枚一样且另两枚不一样} 1543.0 7776 1200 == ； （5）事件“四枚一样”所含样本点个数 1505 1234 2345615 4 5 1 65 =×××× ××××=⋅⋅= ACAk ， 9 故 P{四枚一样} 0193.0 7776 150 == ； （6）事件“五枚一样”所含样本点个数 6161555166 =×=⋅⋅= ACAk ， 故 P{五枚一样} 0008.0 7776 6 == ． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相 接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率． 解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数 n = 5 × 3 = 15， 事件 A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数 k = 4 × 2 = 8， 故所求概率为 15 8)( =AP ． 17．把 n 个“0”与 n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率． 解：样本点总数 !! )!2(2 nn n n n N ⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ， 事件 A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数 11 +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += n n n k ， 故所求概率为 )!2( )!1(!)( n nnAP +⋅= ． 18．设 10 件产品中有 2 件不合格品，从中任取 4 件，设其中不合格品数为 X，求 X 的概率分布． 解：样本点总数 210 1234 78910 4 10 =××× ×××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=n ， 事件 X = 0 所含样本点个数 701 1234 5678 0 2 4 8 0 =×××× ×××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ， 故所求概率为 3 1 210 70}0{ ===XP ； 事件 X = 1 所含样本点个数 1122 123 678 1 2 3 8 1 =××× ××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ， 故所求概率为 15 8 210 112}1{ ===XP ； 事件 X = 2 所含样本点个数 281 12 78 2 2 2 8 2 =×× ×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ， 故所求概率为 15 2 210 28}2{ ===XP ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率． 解：样本点总数 !! )!( mn mn n mn N ⋅ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ， 10 事件 A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数 )!1(! )!1(1 mnm n m n k −+⋅ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ， 故所求概率为 )2()1)(( )2()1( )!1()!( )!1(!)( +−++ −+−=−+⋅+ +⋅= nmnmn mnnn mnmn nnAP L L ． 20．将 3 个球随机放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数 X 的概率分布． 解：样本点总数 n = 43 = 64， 事件 X = 1 所含样本点个数 24234341 =××== Ak ， 故所求概率为 8 3 64 24}1{ ===XP ； 事件 X = 2 所含样本点个数 363341323142 =××== ACAk ， 故所求概率为 16 9 64 36}2{ ===XP ； 事件 X = 3 所含样本点个数 4143 == Ak ， 故所求概率为 16 1 64 4}3{ ===XP ． 21．将 12 只球随意地放入 3 个盒子中，试求第一个盒子中有 3 只球的概率． 解：样本点总数 n = 312 = 531441， 事件 A =“第一个盒子中有 3 只球”所含样本点个数 112640512 123 1011122 3 12 9 =××× ××=×⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ， 故所求概率为 2120.0 531441 112640)( ==AP ． 22．将 n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入 N 个盒子中，试求： （1）某个指定的盒子中恰好有 k 个球的概率； （2）恰好有 m 个空盒的概率； （3）某指定的 m 个盒子中恰好有 j 个球的概率． 解：样本点总数为 N 取 n 次的重复组合，即 )!1(! )!1(1 −⋅ −+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= Nn nN n nN M ， （1）事件 A1 =“某个指定的盒子中恰好有 k 个球”所含样本点个数为 N − 1 取 n − k 次的重复组合，即 )!2()!( )!2(21)(1 1 −⋅− −−+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −−+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −−+−= Nkn knN kn knN kn knN K ， 故所求概率为 )1()2)(1( )1()1()1( )!2()!()!1( )!1(!)!2()( 1 −−+−+−+ −⋅+−−=−⋅−⋅−+ −⋅⋅−−+= knNnNnN Nknnn NknnN NnknNAP L L ； （2）事件 A2 =“恰好有 m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑： 首先 N 选 m 次的组合，选出 m 个空盒，而其余 N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球， 其次剩下的 n − (N − m)个球任意放入这 N − m 个盒中，即 N − m 取 n − (N − m)次的重复组合， 则 )!1()!()!(! )!1(! )( 1 2 −−⋅−+⋅−⋅ −⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= mNNmnmNm nN mNn n m N K ， 11 故所求概率为 )!1()!1()!()!(! )!1(!)!1(!)( 2 −+⋅−−⋅−+⋅−⋅ −⋅⋅−⋅= nNmNNmnmNm NnnNAP ； （3）事件 A3 =“某指定的 m 个盒子中恰好有 j 个球”所含样本点个数为 m 取 j 次的重复组合乘以 N − m 取 n − j 次的重复组合， 则 )!1()!()!1(! )!1()!1(1)()(1 3 −−⋅−⋅−⋅ −−−+⋅−+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −−+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= mNjnmj jmnNjm jn jnmN j jm K ， 故所求概率为 )!1()!1()!()!1(! )!1(!)!1()!1()( 3 −+⋅−−⋅−⋅−⋅ −⋅⋅−−−+⋅−+= nNmNjnmj NnjmnNjmAP ． 23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于 7/5”的概率． 解：设这两个数分别为 x 和 y，有Ω = {(x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得 m (Ω) = 1， 事件 A =“两数之和小于 7/5”，有 A = {(x, y) | 0 < x + y < 7/5}， 得 50 41 5 3 2 11)( 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛×−=Am ， 故所求概率为 50 41 )( )()( =Ω= m AmAP ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果 甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概 率是多少？ 解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为 x 和 y 小时， 有Ω = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得 m (Ω) = 242 = 576， 事件 A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”， 若甲先到，有 x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有 y + 2 ≤ x ≤ 24； 即 A = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24 或 y + 2 ≤ x ≤ 24}， 得 2 101322 2 123 2 1)( 22 =×+×=Am ， 故所求概率为 1152 1013 )( )()( =Ω= m AmAP ． 25．在平面上画有间隔为 d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为 a, b, c（均小于 d）的三角形，求 三角形与平行线相交的概率． 解：不妨设 a ≥ b ≥ c，三角形的三个顶点分别为 A, B, C，其对边分别为 a, b, c，相应三个角也记为 A, B, C， 设 O 为 BC 的中点，点 O 与最近的一条平行线的距离为 x， 从点 O 向三角形外作与平行线平行的射线 OD， 若 B, C 中点 C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD，否则记α = −∠BOD， 有 π}π, 2 0|),{( <<−≤≤=Ω αα dxx ，得 m (Ω) = π d， 事件 E =“三角形与平行线相交”， 当α ≥ 0 时，如果 C ≤ α < π，事件 E 就是 OC 与平行线相交； 如果 0 ≤ α < C，事件 E 就是 OC 或 AC 与平行线相交； 当α < 0 时，如果−π < α ≤ −B，事件 E 就是 OB 与平行线相交； 如果−B < α < 0，事件 E 就是 OB 或 AB 与平行线相交． x y 0 1 1 7/5 Ω A x y 0 24 Ω24 1 2 A a b c C A B d O x α D a b c C A B d O x α D 12 记 }sin 2 ,|),{(1 ααα axCxE ≤≥= ， )}sin(sin 2 ,0|),{(2 αααα −+≤<≤= CbaxCxE ， }sin 2 ,|),{(3 ααα axBxE −≤−≤= ， )}sin(sin 2 ,0|),{(4 αααα ++−≤<<−= BcaxBxE ， 有 E = E1∪E2∪E3∪E4， 得 ∫∫ −−− ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−= 0 π )sin(sin 2 sin 2 )( B B dBcadaEm ααααα ∫∫ +⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −++ π 0 sin 2 )sin(sin 2 C C dadCba ααααα ∫∫∫∫ +−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−= −− π 00 00 π sin 2 )sin()sin(sin 2 αααααααα dadCbdBcda C B π 00 00 π cos 2 )cos()cos(cos 2 αααα aCbBca C B −−++−= −− 22 coscos 22 aaCbbcBcaa +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−−−++−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−−= cba a acba ab cbab ac bcaccba ++=−++=−+⋅−−+⋅−++= 2 22 22 2 2222222 ， 故所求概率为 d cba m EmEP π)( )()( ++=Ω= ． 方法二： 设事件 A, B, C 分别表示“边长为 a, b, c 三条边与平行线相交”，事件 E 表示“三角形与平行线相交”， 由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即 E = AB∪AC∪BC， 则由三个事件的加法公式得 P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )， 因 ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有 P (ABC ) = 0， 则 P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )， 另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交， 有 A = AB∪AC，B = AB∪BC，C = AC∪BC， 则 P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )， 可得 P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )] = 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]， 根据蒲丰投针问题知 d aAP π 2)( = ， d bBP π 2)( = ， d cCP π 2)( = ， 故 d cbaCPBPAPBCPACPABPEP π )]()()([ 2 1)()()()( ++=++=++= ． 26．在半径为 R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即 交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于 R 的概率． x y 0 1 d/2 Ω A π−π A 13 解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为 x，有Ω = {x | 0 ≤ x < R}，得 m (Ω) = R， 事件 A =“弦的长度大于 R”，有 2 22 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛>− RxR ， 22 4 3 Rx < ， 即 } 2 30|{ RxxA <≤= ，得 RAm 2 3)( = ， 故所求概率为 2 3 )( )()( =Ω= m AmAP ． 27．设一个质点落在 xOy 平面上由 x 轴、y 轴及直线 x + y = 1 所围成的三角形内，而落在这三角形内各点 处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足 y < 2x 的概率是多少？ 解：Ω = {(x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得 2 1)( =Ωm ， 事件 A =“满足 y < 2x”， 有 A = {(x, y) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y}，得 3 1 3 21 2 1)( =××=Am ， 故所求概率为 3 2 )( )()( =Ω= m AmAP ． 28．设 a > 0，有任意两数 x, y，且 0 < x < a，0 < y < a，试求 xy < a 2/4 的概率． 解：Ω = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a}，得 m (Ω) = a 2， 事件 A =“xy < a 2/4”，有 A = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, xy < a 2/4}， 即 4ln 44 ln 44 )( 22 4 2 2 4 2 2 aaxaaxadx x aaaAm a a a a +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−= ∫ ， 故所求概率为 5966.04ln 4 1 4 1 )( )()( =+=Ω= m AmAP ． 29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断） 30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断） x y 0 a a Ω A xy = a 2/4 x R x y 0 1 11/3 A Ω 2/3 14 习题 1.3 1． 设事件 A 和 B 互不相容，且 P(A) = 0.3，P(B) = 0.5，求以下事件的概率： （1）A 与 B 中至少有一个发生； （2）A 和 B 都发生； （3）A 发生但 B 不发生． 解：（1）P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.5 = 0.8； （2）P(AB) = 0； （3）P(A − B) = P(A) = 0.3． 2． 设 P (AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ （1）A 和 B 不相容； （2）A 和 B 相容； （3）AB 是不可能事件； （4）AB 不一定是不可能事件； （5）P (A) = 0 或 P (B) = 0； （6）P (A − B) = P (A)． 解：（1）错误，当 P (AB) = 0 时，A 和 B 可能相容也可能不相容； （2）错误，当 P (AB) = 0 时，A 和 B 可能相容也可能不相容； （3）错误，当 P (AB) = 0 时，A 和 B 可能相容也可能不相容，即 AB 不一定是不可能事件； （4）正确，当 P (AB) = 0 时，A 和 B 可能相容也可能不相容，即 AB 不一定是不可能事件； （5）错误，当 P (A) > 0，P (B) > 0 时，只要 A 和 B 不相容，就有 P (AB) = 0； （6）正确，P (A − B) = P (A) − P (AB) = P (A)． 3． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机 地抽取一个，试求取到二级品的概率． 解：设 A, B, C 分别表示“取到一、二、三级品”，有 P (A) + P (B) + P (C ) = 1，P (A) = 3P (B)， )( 2 1)( BPCP = ， 则 1)( 2 9)( 2 1)()(3 ==++ BPBPBPBP ，即 9 2)( =BP ， 故取到二级品的概率 9 2)( =BP ． 4． 从 0, 1, 2, …, 9 等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： （1）A1 = {三个数字中不含 0 和 5}； （2）A2 = {三个数字中不含 0 或 5}； （3）A3 = {三个数字中含 0 但不含 5}． 解：样本点总数 120 123 8910 3 10 =×× ××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=n ， （1）事件 A1 所含样本点个数 56123 678 3 8 1 =×× ××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ，故 15 7 120 56)( 1 ==AP ； （2）事件 =2A “三个数字中含 0 和 5”所含样本点个数 81 8 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=Ak ，故 15 14 120 112)(1)( 22 ==−= APAP ； （3）事件 A3 所含样本点个数 2812 78 2 8 3 =× ×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=k ，故 30 7 120 28)( 3 ==AP ． 15 5． 某城市中共发行 3 种报纸 A, B, C．在这城市的居民中有 45%订阅 A 报、35%订阅 B 报、25%订阅 C 报， 10%同时订阅 A 报 B 报、8%同时订阅 A 报 C 报、5%同时订阅 B 报 C 报、3%同时订阅 A, B, C 报．求 以下事件的概率： （1）只订阅 A 报； （2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的． 解：设 A, B, C 分别表示“订阅报纸 A, B, C ”， 则 P (A) = 0.45，P (B) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03， （1） )()()()()()())(()( ABCPACPABPAPACABPAPCBAPCBAP +−−=−=−= UU = 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30； （2） )()()()( CBAPCBAPCBAPCBACBACBAP ++=UU ， 因 )()()()()()())(()( ABCPBCPABPBPBCABPBPCABPCBAP +−−=−=−= UU = 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23， )()()()()()())(()( ABCPBCPACPCPBCACPCPBACPCBAP +−−=−=−= UU = 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20， 故 73.020.023.030.0)()()()( =++=++= CBAPCBAPCBAPCBACBACBAP UU ； （3）P (A∪B∪C ) = P (A) + P (B) + P (C ) − P (AB) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC ) = 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90； （4） 10.090.01)(1)( =−=−= CBAPCBAP UU ． 6． 某工厂一个班组共有男工 9 人、女工 5 人，现要选出 3 个代表，问选的 3 个代表中至少有 1 个女工的 概率是多少？ 解：样本点总数 364 123 121314 3 14 =×× ××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=n ， 事件 =A “选的 3 个代表中没有女工”所含样本点个数 84 123 789 3 9 =×× ××=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=Ak ， 故所求概率为 13 10 364 280 364 841)(1)( ==−=−= APAP ． 7． 一赌徒认为掷一颗骰子 4 次至少出现一次 6 点与掷两颗骰子 24 次至少出现一次双 6 点的机会是相等 的，你认为如何？ 解：“掷一颗骰子 4 次”的样本点总数 n1 = 64 = 1296， 事件 =1A “没有出现 6 点”所含样本点个数为 625541 ==Ak ， 则 5177.0 1296 671 1296 6251)(1)( 11 ==−=−= APAP ； “掷两颗骰子 24 次”的样本点总数 n2 = (62 )24 = 36 24， 事件 =2A “没有出现双 6 点”所含样本点个数为 24242 35)16(2 =−=Ak ， 16 则 4914.0 36 3536 36 351)(1)( 24 2424 24 24 22 =−=−=−= APAP ； 故掷一颗骰子 4 次至少出现一次 6 点的机会比掷两颗骰子 24 次至少出现一次双 6 点的机会更大． 8． 从数字 1, 2, …, 9 中可重复地任取 n 次，求 n 次所取数字的乘积能被 10 整除的概率． 解：样本点总数 N = 9 n， 因事件 A =“n 次所取数字的乘积能被 10 整除”就是“至少取到一次数字 5 并且至少取到一次偶数”， 则事件 =A “没有取到数字 5 或没有取到偶数”， 设事件 B =“没有取到数字 5”，C =“没有取到偶数”， 则事件 B 所含样本点个数为 KB = 8 n，事件 C 所含样本点个数为 KC = 5 n， 且事件 BC =“没有取到数字 5 和偶数”所含样本点个数为 KBC = 4 n， 故 n nnnn n n n n n n BCPCPBPCBPAPAP 9 4589 9 4 9 5 9 81)()()(1)(1)(1)( +−−=+−−=+−−=−=−= U ． 9． 口袋中有 n − 1 个黑球和 1 个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第 k 次摸球 时，摸到黑球的概率是多少？ 解：样本点总数 N = n k ， 事件 =A “第 k 次摸球时摸到白球”，此时前 n − 1 次摸球时都必须是摸到黑球， 则 A 中所含样本点个数 1)1( −−= kA nK ， 故所求概率为 k k n nAPAP 1)1(1)(1)( −−−=−= ． 10．若 P (A) = 1，证明：对任一事件 B，有 P (AB) = P (B)． 证：因 P (A) = 1，且 ABA ⊂ ，有 0)(1)()( =−=≤ APAPBAP ， 则 0)()()()( =−=−= ABPBPABPBAP ， 故 P (AB) = P (B)． 11．掷 2n + 1 次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率． 解：设 A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等， 事件 =A “出现的反面数多于正面数”， 由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同， 则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同， 可得 )()( APAP = ，又 1)()( =+ APAP ， 故 P (A) = 0.5． 12．有三个人，每个人都以同样的概率 1/5 被分配到 5 个房间中的任一间中，试求： （1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率． 解：样本点总数 n = 53 = 125， （1）事件 A1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为 k1 = 5， 故所求概率为 25 1 125 5)( 1 ==AP ； （2）事件 A2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为 60345352 =××== Ak ， 故所求概率为 25 12 125 60)( 2 ==AP ． 13．一间宿舍住有 5 位同学，求他们之中至少有 2 个人生日在同一个月份的概率． 17 解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数 n = 125， 事件 =A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为 512AkA = ， 故所求概率为 6181.0 144 89 12 1)(1)( 5 5 12 ==−=−= AAPAP ． 14．某班 n 个战士各有 1 支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人 随机地取了 1 支枪，求至少有 1 人拿到自己的枪的概率． 解：设 Ai =“第 i 个战士拿到自己的枪”， ni ,,2,1 L= ，有 == i n i A 1 U “至少有 1 人拿到自己的枪”， 因 )()1()()()()( 211 1111 n n nkji kji nji ji n i ii n i AAAPAAAPAAPAPAP LLU ⋅−+++−= − ≤<<≤≤<≤== ∑∑∑ ， 且 nn nAP i 1 ! )!1()( =−= ， )1( 1 ! )!2()( −= −= nnn nAAP ji ， )2)(1( 1)( −−= nnnAAAP kji ，……， 故 ! )1( !3 1 !2 11 ! 1)1( )2)(1( 1 )1( 11)( 1 132 1 nn C nnn C nn C n nAP n n n n nni n i − − = −+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×= LLU ． 15．设 A, B 是两事件，且 P (A) = 0.6，P (B) = 0.8，问： （1）在什么条件下 P (AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：（1）因 P (AB) ≤ min{P (A), P (B)} = P (A) = 0.6，故当 P (AB) = P (A) 时，P (AB)取到最大值 0.6； （2）因 P (AB) = P (A) + P (B) − P (A∪B) ≥ P (A) + P (B) − 1 = 0.4， 故当 P (A∪B) = 1 时，P (AB)取到最小值 0.4． 注：若 A ⊂ B，有 AB = A，可得 P (AB) = P (A)，但不能反过来，由 P (AB) = P (A)，得出 A ⊂ B； 若 A∪B = Ω，可得 P (A∪B) = 1，但不能反过来，由 P (A∪B) = 1，得出 A∪B = Ω． 16．已知事件 A, B 满足 )()( BAPABP I= ，记 P (A) = p，试求 P (B)． 解：因 )()()(1)(1)()()( ABPBPAPBAPBAPBAPABP +−−=−=== UUI ，有 1 − P (A) − P (B) = 0， 故 P (B) = 1 − P (A) = 1 − p． 17．已知 P (A) = 0.7，P (A − B) = 0.4，试求 )(ABP ． 解：因 P (A − B) = P (A) − P (AB)，有 P (AB) = P (A) − P (A − B) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故 7.0)(1)( =−= ABPABP ． 18．设 P (A) = 0.6，P (B) = 0.4，试证 )()( BAPABP I= ． 证： )()(4.06.01)()()(1)(1)()( ABPABPABPBPAPBAPBAPBAP =+−−=+−−=−== UUI ． 19．对任意的事件 A, B, C，证明： （1）P (AB) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A)； （2）P (AB) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A) + P (B) + P (C ) − 1． 证：（1）因 P (AB∪AC ) = P (AB) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB∪AC ) ⊂ A，ABC ⊂ BC， 有 P (AB∪AC ) ≤ P (A)，P (ABC ) ≤ P (BC )， 故 P (AB) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB∪AC ) ≤ P (A)． （2）因 P (A∪B∪C ) = P (A) + P (B) + P (C ) − P (AB) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )， 18 故 P (AB) + P (AC ) + P (BC ) = P (A) + P (B) + P (C ) + P (ABC ) − P (A∪B∪C ) ≥ P (A) + P (B) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A) + P (B) + P (C ) − 1． 20．设 A, B, C 为三个事件，且 P (A) = a，P (B) = 2a，P (C ) = 3a，P (AB) = P (AC ) = P (BC ) = b，证明： a ≤ 1/4，b ≤ 1/4． 证：因 P (B∪C ) = P (B) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b，且 a = P (A) ≥ P (AB) = b， 则 P (B∪C ) = 5a − b ≥ 4a，即 4a ≤ 1， 故 a ≤ 1/4 且 b ≤ a ≤ 1/4． 21．设事件 A, B, C 的概率都是 1/2，且 )()( CBAPABCP II= ，证明： 2 P (ABC ) = P (AB) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 证：因 )(1)()()( CBAPCBAPCBAPABCP UUUUII −=== = 1 − P (A) − P (B) − P (C ) + P (AB) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )， 故 2 P (ABC ) = P (AB) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A) − P (B) − P (C ) = P (AB) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明： （1）P (AB) ≥ P (A) + P (B) − 1； （2）P (A1 A2 …An) ≥ P (A1) + P (A2) + … + P (An) − (n − 1)． 证：（1）因 P (A∪B ) = P (A) + P (B) − P (AB)， 故 P (AB) = P (A) + P (B) − P (A∪B ) ≥ P (A) + P (B) − 1； （2）用数学归纳法证明，当 n = 2 时，由（1）小题知结论成立， 设当 n = k 时，结论成立，即 P (A1 A2 …Ak) ≥ P (A1) + P (A2) + … + P (Ak) − (k − 1)， 则 P (A1 A2 …Ak Ak + 1) ≥ P (A1 A2 …Ak) + P (Ak + 1) − 1 ≥ P (A1) + P (A2) + … + P (Ak) − (k − 1) + P (Ak + 1) − 1 = P (A1) + P (A2) + … + P (Ak) + P (Ak + 1) − k， 即当 n = k + 1 时，结论成立， 故由数学归纳法知 P (A1 A2 …An) ≥ P (A1) + P (A2) + … + P (An) − (n − 1)． 23．证明： 4 1|)()()(| ≤− BPAPABP ． 证：因 )()()](1)[()]()()[()()()()( BAPAPAPABPBAPABPAPABPBPAPABP −−=+−=− ， 且 0 ≤ P (AB)[1 − P (A)] ≤ P (A)[1 − P (A)]， )](1)[()()()()(0 APAPAPAPBAPAP −=≤≤ ， 故 )}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(| BAPAPAPABPBAPAPAPABPBPAPABP −≤−−=− 4 1 2 1)( 4 1)]([)()](1)[( 2 2 ≤⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−=−=−≤ APAPAPAPAP ． 19 习题 1.4 1． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占 15%，语文不及格的占 5%，这两门课都不及格的占 3%． （1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：设 A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有 P (A) = 0.15，P (B) = 0.05，P (AB) = 0.03， （1）所求概率为 2.0 15.0 03.0 )( )()|( === AP ABPABP ； （2）所求概率为 6.0 05.0 03.0 )( )()|( === BP ABPBAP ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占 60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是 一等品的概率． 解：设 A, B, C 分别表示“取出一、二、三等品”，有 P (A) = 0.6，P (B) = 0.35，P (C ) = 0.05， 故所求概率为 19 12 05.01 6.0 )(1 )( )( )()|( =−=−== CP AP CP CAPCAP ． 3． 掷两颗骰子，以 A 记事件“两颗点数之和为 10”，以 B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求 条件概率 P (A | B ) 和 P (B | A )． 解：样本点总数 n = 6 2 = 36， 则事件 A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数 kA = 3，有 36 3)( =AP ， 事件 B 中所含样本点个数 kB = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有 36 15)( =BP ， 事件 AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数 kC = 1，有 36 1)( =ABP ， 故 15 1 3615 361 )( )()|( === BP ABPBAP ， 3 1 363 361 )( )()|( === AP ABPABP ． 4． 以某种动物由出生活到 10 岁的概率为 0.8，而活到 15 岁的概率为 0.5，问现年为 10 岁的这种动物能 活到 15 岁的概率是多少？ 解：设 A, B 分别表示“这种动物能活到 10 岁, 15 岁”，有 P (A) = 0.8，P (B) = 0.5， 故所求概率为 8 5 8.0 5.0 )( )( )( )()|( ==== AP BP AP ABPABP ． 5． 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品 的概率． 解：设 A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有 AB = B，样本点总数 45 2 10 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=n ， 事件 A 中所含样本点个数 30624 2 4 1 6 1 4 =+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=Ak ，得 45 30)( =AP ， 事件 AB = B 中所含样本点个数 6 2 4 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=Bk ，得 45 6)()( == BPABP ， 20 故所求概率为 2.0 4530 456 )( )()|( === AP ABPABP ． 6． 设 n 件产品中有 m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的 概率． 解：设 A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有 AB = B， 样本点总数 2 )1( 2 −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= nnnN ， 事件 A 中所含样本点个数 2 )1)(( 2 )1)(()( 211 −+−=−−−+−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= mnmnmnmnmnmmnmnmkA ， 得 )1( )1)(()( − −+−= nn mnmnAP ， 事件 AB = B 中所含样本点个数 2 )1)(( 2 −−−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= mnmnmnkB ， 得 )1( )1)(()()( − −−−== nn mnmnBPABP ， 故所求概率为 1 1 )1( )1)(( )1( )1)(( )( )()|( −+ −−= − −+− − −−− == mn mn nn mnmn nn mnmn AP ABPABP ． 7． 掷一颗骰子两次，以 x, y 分别表示先后掷出的点数，记 A = {x + y < 10}，B = {x > y}， 求 P (B | A )，P (A | B )． 解：样本点总数 n = 6 2 = 36， 则事件 A 中所含样本点个数 kA = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有 36 30)( =AP ， 事件 B 中所含样本点个数 kB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有 36 15)( =BP ， 事件 AB 中所含样本点个数 kAB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有 36 13)( =ABP ， 故 30 13 3630 3613 )( )()|( === AP ABPABP ， 15 13 3615 3613 )( )()|( === BP ABPBAP ． 8． 已知 P (A) = 1/3，P (B | A) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求 P (A∪B )． 解：因 12 1 4 1 3 1)|()()( =×== ABPAPABP ， 2 1 61 121 )|( )()( === BAP ABPBP ， 故 4 3 12 1 2 1 3 1)()()()( =−+=−+= ABPBPAPBAP U ． 9． 已知 3.0)( =AP ，P (B ) = 0.4， 5.0)( =BAP ，求 )|( BABP U ． 解：因 2.05.03.01)()(1)()()( =−−=−−=−= BAPAPBAPAPABP ， 21 且 8.05.04.013.01)()(1)(1)()()()( =−−+−=−−+−=−+= BAPBPAPBAPBPAPBAP U ， 故 25.0 8.0 2.0 )( )( )( ))(()|( ==== BAP ABP BAP BABPBABP UU UU ． 10．设 A, B 为两事件，P (A) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求 )|( BAP ． 解：因 18 1 6 1 3 1)|()()( =×== BAPBPABP ，有 18 11 18 1 3 1 3 1)()()()( =−+=−+= ABPBPAPBAP U ， 则 18 7 18 111)(1)()( =−=−== BAPBAPBAP UU ，且 3 2 3 11)(1)( =−=−= BPBP ， 故 12 7 32 187 )( )()|( === BP BAPBAP ． 11．口袋中有 1 个白球，1 个黑球．从中任取 1 个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的 黑球放回的同时，再加入 1 个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率． （1）取到第 n 次，试验没有结束； （2）取到第 n 次，试验恰好结束． 解：设 Ak =“第 k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, …… （1）所求概率为 P (A1A2…An − 1An) = P (A1A2…An − 1)P (An | A1A2…An − 1) 1 1 13 2 2 1)|()|()( 121121 +=+×××== − nn nAAAAPAAPAP nn LLL ； （2）所求概率为 )|()()( 121121121 −−− = nnnnn AAAAPAAAPAAAAP LLL )1( 1 1 1 3 2 2 1)|()|()( 121121 +=+×××== − nnnAAAAPAAPAP nn LLL ． 12．一盒晶体管有 8 只合格品，2 只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品 的概率． 解：设 A1, A2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为 8.0 90 72 9 8 10 2 9 7 10 8)|()()|()()( 2211 ==×+×=+= ABPAPABPAPBP ． 13．甲口袋有 a 个白球、b 个黑球，乙口袋有 n 个白球、m 个黑球． （1）从甲口袋任取 1 个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取 1 个球．试求最后从乙口袋取出的是白球 的概率； （2）从甲口袋任取 2 个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取 1 个球．试求最后从乙口袋取出的是白球 的概率． 解：（1）设 A0 , A1 分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”， 故所求概率为 P (B) = P (A0)P (B | A0) + P (A1)P (B | A1) )1)(( )1( 11 1 +++ ++=++×++++ +×+= nmba bnna mn n ba b mn n ba a ； （2）设 A0 , A1 , A2 分别表示“从甲口袋取出的是 2 个白球、1 个白球 1 个黑球、2 个黑球”， B 表示“从乙口袋取出的是白球”， 故所求概率为 P (B) = P (A0)P (B | A0) + P (A1)P (B | A1) + P (A2)P (B | A2) 22 2)1)(( )1( 2 1 )1)(( 2 2 2 )1)(( )1( ++×−++ −+++ +×−+++++ +×−++ −= mn n baba bb mn n baba ab mn n baba aa )2)(1)(( )1()1(2)2)(1( ++−++ −++++−= mnbaba nbbnabnaa ． 14．有 n 个口袋，每个口袋中均有 a 个白球、b 个黑球．从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从 第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第 n − 1 个口袋中任取一球放入第 n 个口袋， 最后再从第 n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率． 解：设 Ak表示“从第 k 个口袋取出的是白球”， 当 k = 1 时，有 ba aAP +=)( 1 ， 设对于 k − 1，有 ba aAP k +=− )( 1 ， 则 11 1)|()()|()()( 1111 ++⋅++++ +⋅+=+= −−−− ba a ba b ba a ba aAAPAPAAPAPAP kkkkkkk ba a baba baa baba abaa +=+++ ++=+++ ++= )1)(( )1( )1)(( )1( ， 故由数学归纳法可知，对任意自然数 k， ba aAP k +=)( ，即 ba aAP n +=)( ． 15．钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是 50%、30%和 20%，而掉在上述三处地 方被找到的概率分别是 0.8、0.3 和 0.1．试求找到钥匙的概率． 解：设 A1 , A2 , A3 分别表示“钥匙掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上”，B 表示“找到钥匙”， 故所求概率为 P (B) = P (A1)P (B | A1) + P (A2)P (B | A2) + P (A3)P (B | A3) = 0.5 × 0.8 + 0.3 × 0.3 + 0.2 × 0.1 = 0.51． 16．两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是 0.03，第二台出现不合格品的概率是 0.06， 加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍． （1）求任取一个零件是合格品的概率； （2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率． 解：设 A1, A2分别表示“取出的是第一台、第二台车床加工的零件”，B 表示“取出的是合格品”， （1）所求概率为 96.094.0 3 197.0 3 2)|()()|()()( 2211 =×+×=+= ABPAPABPAPBP ； （2）所求概率为 5.0 04.0 06.0 3 1 )( )|()( )( )( )|( 2222 = × === BP ABPAP BP BAP BAP ． 17．有两箱零件，第一箱装 50 件，其中 20 件是一等品；第二箱装 30 件，其中 18 件是一等品，现从两箱 中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求 （1）第一次取出的零件是一等品的概率； （2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率． 解：设 A1 , A2 分别表示“挑出第一箱、第二箱”，B1 , B2 分别表示“第一次、第二次取出的是一等品”， （1）所求概率为 5.0 30 18 2 1 50 20 2 1)|()()|()()( 2121111 =×+×=+= ABPAPABPAPBP ； （2）因 14210 3601 29 17 30 18 2 1 49 19 50 20 2 1)|()()|()()( 2212121121 =××+××=+= ABBPAPABBPAPBBP ， 故所求概率为 5068.0 7105 3601 5.0 142103601 )( )()|( 1 21 12 ==== BP BBPBBP ． 23 18．学生在做一道有 4 个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测．现从卷 面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率． （1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是 1/2； （2）学生知道正确答案的概率是 0.2． 解：设 A1 , A2 分别表示“学生知道正确答案、胡乱猜测”，B 表示“题答对了”， （1）因 P (A1) = 0.5，P (A2) = 0.5， 故所求概率为 8.0 625.0 5.0 25.05.015.0 15.0 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 ==×+× ×=+= ABPAPABPAP ABPAP BAP ， （2）因 P (A1) = 0.2，P (A2) = 0.8， 故所求概率为 5.0 4.0 2.0 25.08.012.0 12.0 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 ==×+× ×=+= ABPAPABPAP ABPAP BAP ． 19．已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者，今从男女比例为 22:21 的人群中随机地 挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：设 A1 , A2 分别表示“此人是男性、女性”，B 表示“此人是色盲患者”， 故所求概率为 9544.0 0025.0 43 2105.0 43 22 05.0 43 22 )|()()|()( )|()()|( 2211 11 1 =×+× × =+= ABPAPABPAP ABPAPBAP ． 20．口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的．现再往口袋中放入一个白球，然后再从口袋中任意 取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？ 解：设 A1 , A2 分别表示“原来那个球是白球、黑球”，B 表示“取出的是白球”， 故所求概率为 3 2 75.0 5.0 5.05.015.0 15.0 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 ==×+× ×=+= ABPAPABPAP ABPAP BAP ． 21．将 n 根绳子的 2n 个头任意两两相接，求恰好结成 n 个圈的概率． 解：样本点总数为 N = (2n − 1) (2n − 3)…3 ⋅ 1 = (2n − 1)!!， 事件 A =“恰好结成 n 个圈”所含样本点个数 K = 1， 故所求概率为 !)!12( 1)( −= nAP ． 22．m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余 m − 1 个人中的 任何一个．求第 n 次传球时仍由甲传出的概率． 解：设 Ak表示“第 k 次传球时由甲传出”，k = 1, 2, ……，有 P (A1) = 1， 则 )( 1 1 1 1 1 1)](1[0)|()()|()()( 111111 −−−−−− −−−=−⋅−+=+= kkkkkkkkk APmmmAPAAPAPAAPAPAP ， 故 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−−−−=−−−= −− )(1 1 1 1 1 1 1 1)( 1 1 1 1)( 11 nnn APmmmm AP mm AP )( 1 1 1 1 1 1 1 22 −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−= nAPmmm )( 1 1)1( 1 1)1( 1 1)1( 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 AP mmmmm n n n n n n − − − − − − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−= L 24 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −−= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−= − − − − 2 2 2 3 2 1 111 1 11 1 11 1 1 1 1)1( 1 1 1 1 n n n n mm m mm mmm L ． 23．甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷．每当某人掷出 1 点时，则交给对方掷，否则此人继续掷，试求 第 n 次由甲掷的概率． 解：设 Ak表示“第 k 次由甲掷骰子”，k = 1, 2, ……，有 P (A1) = 1， 则 )( 3 2 6 1 6 1)](1[ 6 5)()|()()|()()( 1111111 −−−−−−− +=⋅−+⋅=+= kkkkkkkkkk APAPAPAAPAPAAPAPAP ， 故 )( 3 2 6 1 3 2 6 1)( 3 2 6 1 3 2 6 1)( 3 2 6 1)( 2 2 21 −−− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⋅+=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++=+= nnnn APAPAPAP 11 1 1 12 3 2 2 1 2 1 3 2 3 21 3 21 6 1 )( 3 2 6 1 3 2 6 1 3 2 6 1 −− − −− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ − ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− =⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛++⋅+= nn n nn APL ． 24．甲口袋有 1 个黑球、2 个白球，乙口袋有 3 个白球．每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口 袋．求交换 n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率． 解：设 Ak表示“交换 k 次后黑球在甲口袋中”，k = 1, 2, ……，有 P (A0) = 1， 则 )( 3 1 3 1 3 1)](1[ 3 2)()|()()|()()( 1111111 −−−−−−− +=⋅−+⋅=+= kkkkkkkkkk APAPAPAAPAPAAPAPAP ， 故 )( 3 1 3 1 3 1)( 3 1 3 1 3 1 3 1)( 3 1 3 1)( 2 22 21 −−− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++=+= nnnn APAPAPAP nn n nn AP ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ − ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− =⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= 3 1 2 1 2 1 3 1 3 11 3 11 3 1 )( 3 1 3 1 3 1 3 1 0 2 L ． 25．假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨．若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为 p， 变的概率为 1 − p．设第一天无雨，试求第 n 天也无雨的概率． 解：设 Ak表示“第 k 天也无雨”，k = 1, 2, ……，有 P (A1) = 1， 则 )1()](1[)()|()()|()()( 111111 pAPpAPAAPAPAAPAPAP kkkkkkkkk −⋅−+⋅=+= −−−−−− = 1 − p + (2p − 1) P (Ak − 1)， 故 P (An − 1) = 1 − p + (2p − 1) P (An − 1) = 1 − p + (2p − 1)[1 − p + (2p − 1) P (An − 2)] = 1 − p + (2p − 1)(1 − p) + (2p − 1)2 P (An − 2) = 1 − p + (2p − 1)(1 − p) + … + (2p − 1)n − 2 (1 − p) + (2p − 1)n − 1P (A1) 11 1 )12( 2 1 2 1)12( )12(1 ])12(1)[1( −−− −+=−+−− −−−= nn n pp p pp ． 26．设罐中有 b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入 c（c > 0）个同色的 球．试证：第 k 次取到黑球的概率为 b/(b + r)，k = 1, 2, …． 证：设 Bk (b, r) 表示“罐中有 b 个黑球、r 个红球时，第 k 次取到黑球”，k = 1, 2, …， 25 用数学归纳法证明 rb brbBP k +=)),(( ， 当 k = 1 时， rb brbBP +=)),(( 1 ，结论成立， 设对于 k − 1，结论成立，即 rb brbBP k +=− )),(( 1 ， 对于 k，设 A1 , A2 分别表示“第一次取到黑球、红球”， 有 P (Bk (b, r) | A1) = P (Bk − 1 (b + c, r))，P (Bk (b, r) | A2) = P (Bk − 1 (b, r + c))， 则 P (Bk (b, r)) = P (A1) P (Bk (b, r) | A1) + P (A2) P (Bk (b, r) | A2) = P (A1) P (Bk − 1 (b + c, r)) + P (A2) P (Bk − 1 (b, r + c)) rb b crbrb brcbb crb b rb r crb cb rb b +=+++ ++=++⋅++++ +⋅+= ))(( )( ， 故对于 k，结论成立， rb brbBP k +=)),(( ． 27．口袋中 a 个白球，b 个黑球和 n 个红球，现从中一个一个不返回地取球．试证白球比黑球出现得早的 概率为 a/(a + b)，与 n 无关． 证：设 Bn 表示“口袋中有 n 个红球时白球比黑球出现得早”，n = 0, 1, 2, …， 用数学归纳法证明 ba aBP n +=)( ，与 n 无关， 当 n = 0 时，显然有 ba aBP +=)( 0 ，结论成立， 设对于 n − 1，结论成立，即 ba aBP n +=− )( 1 ， 对于 Bn ，设 A1 , A2 , A3 分别表示“第一次取球时取到白球、黑球、红球”，有 P (Bn | A3) = P (Bn−1)， 则 P (Bn) = P (A1) P (Bn | A1) + P (A2) P (Bn | A2) + P (A3) P (Bn | A3) = P (A1) ⋅ 1 + P (A2) ⋅ 0 + P (A3) P (Bn−1) ba a banba anbaa ba a nba n nba a +=+++ ++=+⋅+++++= ))(( )( ， 故对于 n，结论成立， ba aBP n +=)( ，与 n 无关． 28．设 P (A) > 0，试证 )( )(1)|( AP BPABP −≥ ． 证： )( )(1 )( )(1 )( )()( )( )()|( AP BP AP BAP AP BAPAP AP ABPABP −≥−=−== ． 29．若事件 A 与 B 互不相容，且 0)( ≠BP ，证明： )(1 )()|( BP APBAP −= ． 证：因事件 A 与 B 互不相容，有 BA⊂ ，故 )(1 )( )( )( )( )()|( BP AP BP AP BP BAPBAP −=== ． 30．设 A, B 为任意两个事件，且 A ⊂ B，P (B) > 0，则成立 P (A) ≤ P (A | B)． 证： )( )( )( )( )()|( AP BP AP BP ABPBAP ≥== ． 26 31．若 )|()|( BAPBAP > ，试证 )|()|( ABPABP > ． 证：因 )(1 )()( )( )()|( )( )()|( BP ABPAP BP BAPBAP BP ABPBAP − −==>= ，有 P (AB)[1 − P (B)] > P (B)[P (A) − P (AB)]， 则 P (AB) > P (A) P (B)，得 P (AB)[1 − P (A)] > P (A)[P (B) − P (AB)]， 故 )|( )( )( )(1 )()( )( )()|( ABP AP BAP AP ABPBP AP ABPABP ==− −>= ． 32．设 P (A) = p，P (B) = 1 − ε ，证明： εε ε −≤≤− − 1 )|( 1 pBAPp ． 证：因 P (AB) ≤ P (A) = p，且 P (AB) = P (A) + P (B) − P (A∪B) ≥ P (A) + P (B) − 1 = p + 1 − ε − 1 = p − ε ， 故 p − ε ≤ P (AB) ≤ p，即 εεε ε −≤−==≤− − 11 )( )( )()|( 1 pABP BP ABPBAPp ． 33．若 P (A | B) = 1，证明： 1)|( =ABP ． 证：因 1 )( )()|( == BP ABPBAP ，有 P (AB) = P (B)， 则 P (A∪B) = P (A) + P (B) − P (AB) = P (A)，即 )()()(1)(1)( BAPBAPBAPAPAP ==−=−= UU ， 故 1 )( )()|( == AP BAPABP ． 27 习题 1.5 1． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为 1/5, 1/3, 1/4，求此密码被译出的概率． 解：设 A, B, C 分别表示“第一、第二、第三人能单独译出”，有 A, B, C 相互独立，即 CBA ,, 相互独立， 故所求概率为 5 3 5 21 4 3 3 2 5 41)()()(1)(1)( =−=××−=−=−= CPBPAPCBAPCBAP UU ． 2． 有甲乙两批种子，发芽率分别为 0.8 和 0.9，在两批种子中各任取一粒，求： （1）两粒种子都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率． 解：设 A, B 分别表示“甲批、乙批的种子能发芽”，有 A, B 相互独立， （1）所求概率为 P (AB) = P (A) P (B) = 0.8 × 0.9 = 0.72； （2）所求概率为 P (A∪B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0.8 + 0.9 − 0.72 = 0.98； （3）所求概率为 P (A∪B − AB) = P (A∪B) − P (AB) = 0.98 − 0.72 = 0.26． 3． 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.8 和 0.7，现已知目标被击中，求它是甲射 中的概率． 解：设 A, B 分别表示“甲、乙射击命中目标”，有 A, B 相互独立， 故所求概率为 )()()()( )( )()()( )( )( )()|( BPAPBPAP AP ABPBPAP AP BAP APBAAP −+=−+== UU 8511.0 47 40 94.0 8.0 7.08.07.08.0 8.0 ===×−+= ． 4． 设电路由 A, B, C 三个元件组成，若元件 A, B, C 发生故障的概率分别是 0.3, 0.2, 0.2，且各元件独立工 作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率： （1）A, B, C 三个元件串联； （2）A, B, C 三个元件并联； （3）元件 A 与两个并联的元件 B 及 C 串联而成． 解：设 A, B, C 分别表示“元件 A, B, C 发生故障”，有 A, B, C 相互独立， （1）所求概率为 552.08.08.07.01)()()(1)(1)( =××−=−=−= CPBPAPCBAPCBAP UU ； （2）所求概率为 P (ABC ) = P (A) P (B) P (C ) = 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.012； （3）所求概率为 P (A∪BC ) = P (A) + P (BC ) − P (ABC ) = P (A) + P (B) P (C ) − P (A) P (B) P (C ) = 0.3 + 0.2 × 0.2 − 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.328． 5． 在一小时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是 0.9、0.8 和 0.85，求一小时内 （1）没有一台机床需要维修的概率； （2）至少有一台机床不需要维修的概率； （3）至多只有一台机床需要维修的概率． 解：设 A, B, C 分别表示“甲、乙、丙三台机床不需要维修”，有 A, B, C 相互独立， （1）所求概率为 P (ABC ) = P (A) P (B) P (C ) = 0.1 × 0.2 × 0.15 = 0.003； （2）所求概率为 388.085.08.09.01)()()(1)(1)( =××−=−=−= CPBPAPCBAPCBAP UU ； （3）所求概率为 )()()()()( BCAPCBAPCABPABCPBCACBACABABCP +++=UUU )()()()()()()()()()()()( CPBPAPCPBPAPCPBPAPCPBPAP +++= 28 = 0.1 × 0.2 × 0.15 + 0.1 × 0.2 × 0.85 + 0.1 × 0.8 × 0.15 + 0.9 × 0.2 × 0.15 = 0.059． 6． 设 A1 , A2 , A3相互独立，且 P (Ai) = 2/3，i = 1, 2, 3．试求 A1 , A2 , A3 中 （1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率． 解：（1）所求概率为 27 26 3 1 3 1 3 11)()()(1)(1)( 321321321 =××−=−=−= APAPAPAAAPAAAP UU ； （2）所求概率为 )( 321321321 AAAAAAAAAP UU )()()()()()()()()( 321321321 APAPAPAPAPAPAPAPAP ++= 9 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 =××+××+××= ； （3）所求概率为 )( 321321321321 AAAAAAAAAAAAP UUU )()()()()()()()()()()()( 321321321321 APAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAP +++= 27 7 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 =××+××+××+××= ． 7． 若事件 A 与 B 相互独立且互不相容，试求 min{P (A), P (B)}． 解：因事件 A 与 B 相互独立且互不相容，有 P (AB) = P (A) P (B) 且 AB = ∅，即 P (AB) = 0， 则 P (A) P (B) = 0，即 P (A) = 0 或 P (B) = 0， 故 min{P (A), P (B)} = 0． 8． 假设 P (A) = 0.4，P (A∪B) = 0.9，在以下情况下求 P (B)： （1）A, B 不相容； （2）A, B 独立； （3）A ⊂ B． 解：（1）因 A, B 不相容，有 P (A∪B) = P (A) + P (B)，故 P (B) = P (A∪B) − P (A) = 0.9 − 0.4 = 0.5； （2）因 A, B 独立，有 P (A∪B) = P (A) + P (B) − P (AB) = P (A) + P (B) − P (A) P (B)， 故 8333.0 6.0 5.0 4.01 4.09.0 )(1 )()()( ==− −=− −= AP APBAPBP U ； （3）因 A ⊂ B，有 P (B) = P (A∪B) = 0.9． 9． 设 A, B, C 两两独立，且 ABC = ∅． （1）如果 P (A) = P (B) = P (C ) = x，试求 x 的最大值； （2）如果 P (A) = P (B) = P (C ) < 1/2，且 P (A∪B∪C ) = 9/16，求 P (A)． 解：（1）因 ABC = ∅，有 P (AB∪AC ) = P (AB) + P (AC ) − P (ABC ) = P (A) P (B) + P (A) P (C ) = 2 x 2， 则 2 x 2 = P (AB∪AC ) ≤ P (A) = x，得 x ≤ 0.5， 另一方面，x 可以取到 0.5，若取 P (A) = P (B) = 0.5，P (AB) = 0.25， BABAC U= ， 则 5.0)()()()()()()()( =−+−=+== ABPBPABPAPBAPBAPBABAPCP U ， 且 P (AB) = 0.25 = P (A) P (B)，A, B 独立， )()(25.0)()()()( CPAPABPAPBAPACP ==−== ，有 A, C 独立， )()(25.0)()()()( CPBPABPBPBAPBCP ==−== ，有 B, C 独立， 29 即 P (A) = P (B) = P (C ) = 0.5，A, B, C 两两独立，且 ABC = ∅，得 x 可以取到 0.5， 故 x 的最大值等于 0.5； 注：掷两次硬币，设 A 表示“第一次出现正面”，B 表示“第二次出现正面”，C 表示“恰好出现 一次正面”，有 P (A) = P (B) = P (C ) = 0.5，ABC = ∅，且 AB 表示“两次都出现正面”，P (AB) = 0.25 = P (A)P (B)，有 A, B 独立；AC 表示“第一次出现正面，第二次反面”，P (AC) = 0.25 = P (A)P (C)， 有 A, C 独立；BC 表示“第一次出现反面，第二次正面”，P (BC) = 0.25 = P (B)P (C)，有 B, C 独立． （2）设 P (A) = P (B) = P (C ) = x，有 2 1 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 对甲更有利？ 解：三局两胜制，甲 2∶0 胜乙的概率为 0.6 2 = 0.36，甲 2∶1 胜乙的概率为 2 × 0.6 2 × 0.4 = 0.288， 则三局两胜制时，甲获胜的概率为 P (A1) = 0.36 + 0.288 = 0.648； 五局三胜制，甲 3∶0 胜乙的概率为 0.6 3 = 0.216，甲 3∶1 胜乙的概率为 3 × 0.63 × 0.4 = 0.2592， 且甲 3∶2 胜乙的概率为 20736.04.06.0 2 4 23 =××⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ， 则五局三胜制时，甲获胜的概率为 P (A2) = 0.216 + 0.2592 + 0.20736 = 0.68256； 故 P (A1) < P (A2)，五局三胜制时对甲更有利． 20．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两 场为止，此人即为冠军．而每次比赛双方取胜的概率都是 1/2，现假定甲、乙两人先比，试求各人得 冠军的概率． 解：设每局比赛中，甲胜乙、乙胜甲、甲胜丙、丙胜甲、乙胜丙、丙胜乙分别记为 Ab , Ba , Ac , Ca , Bc , Cb ， 则甲得冠军的情况有两类： ① Ab Ac ，Ab Ca Bc Ab Ac ，Ab Ca Bc Ab Ca Bc Ab Ac ，……，(Ab Ca Bc )k Ab Ac ，……， ② Ba Cb Ac Ab ，Ba Cb Ac Ba Cb Ac Ab ，Ba Cb Ac Ba Cb Ac Ba Cb Ac Ab ，……，(Ba Cb Ac )k Ab ，……， 31 故甲得冠军的概率为 P (A) = (0.5 2 + 0.5 5 + 0.5 8 + ……) + (0.5 4 + 0.5 7 + 0.5 10 + ……) 14 5 14 1 7 2 5.01 5.0 5.01 5.0 3 4 3 2 =+=−+−= ； 由对称性知乙得冠军的概率 14 5)()( == APBP ； 而丙得冠军的情况也有两类： ① Ab Ca Cb ，Ab Ca Bc Ab Ca Cb ，Ab Ca Bc Ab Ca Bc Ab Ca Cb ，……，(Ab Ca Bc)k Ab Ca Cb ，……， ② Ba Cb Ca ，Ba Cb Ac Ba Cb Ca ，Ba Cb Ac Ba Cb Ac Ba Cb Ca ，……，(Ba Cb Ac)k Ba Cb Ca ，……， 故丙得冠军的概率为 P (C ) = (0.5 3 + 0.5 6 + 0.5 9 + ……) + (0.5 3 + 0.5 6 + 0.5 9 + ……) 7 2 5.01 5.02 3 3 =−×= ． 21．甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是 1/2．两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本．但赌 博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本： （1）甲、乙两个赌徒都各需赢 k 局才能获胜； （2）甲赌徒还需赢 2 局才能获胜，乙赌徒还需赢 3 局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢 n 局才能获胜，乙赌徒还需赢 m 局才能获胜． 解：记每一局中甲赢的概率为 p = 0.5，假设赌博继续下去，按甲、乙最终获胜的概率分配赌本， （1）由对称性知，甲、乙获胜的概率相等，则 P (A1) = P (B1) = 0.5，故甲、乙应各得赌本的一半； （2）因甲获胜的概率为 P (A2) = p 2 + 2 (1 − p) p 2 + 3 (1 − p) 2 p 2 = 0.5 2 + 2 × 0.5 3 + 3 × 0.5 4 = 0.6875， 则乙获胜的概率 P (B2) = 1 − P (A2) = 0.3125， 故甲应得赌本的 68.75%，乙应得赌本的 31.25%； （3）因甲获胜的概率为 nmnnn pp m mn pp n pp n pAP 123 )1(1 2 )1( 2 1 )1( 1 )( −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −+++−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+= L 121 5.0 1 2 5.0 2 1 5.0 1 5.0 −+++ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −+++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+= mnnnn m mnnn L ， 则乙获胜的概率为 P (B3) = 1 − P (A3) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −+++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+−= −+++ 121 5.0 1 2 5.0 2 1 5.0 1 5.01 mnnnn m mnnn L ， 故甲应得赌本的 121 5.0 1 2 5.0 2 1 5.0 1 5.0 −+++ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −+++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ mnnnn m mnnn L ， 乙应得赌本的 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −+++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+− −+++ 121 5.0 1 2 5.0 2 1 5.0 1 5.01 mnnnn m mnnn L ． 注：也可假设无论结果如何，都要进行 n + m 局比赛，甲获胜的条件是前 n + m − 1 局比赛中，甲 至少赢得 n 局比赛，故甲获胜的概率为 1211 3 1 1 )1( 1 1 )1( 1 )( −+−+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ −+++−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −++−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= mnmnmn p mn mn pp n mn pp n mn AP L 15.0 1 1 1 11 −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ −+++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= mn mn mn n mn n mn L ． 22．一辆重型货车去边远山区送货．修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的 32 概率都是 0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是 0.2．你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障 的概率是多少吗？ 解：设 X 与 Y 分别表示在途中损坏的前胎个数与后胎个数，A 与 B 分别表示至少有一个前胎与后胎损坏， 且每个前胎损坏的概率为 p1 = 0.1，每个后胎损坏的概率为 p2 = 0.2，A 与 B 相互独立， 则 P(A) = P{X ≥ 1} = 1 − P{X = 0} = 1 − (1 − p1)2 = 1 − 0.92 = 0.19， P(B) = P{Y ≥ 1} = 1 − P{Y = 0} = 1 − (1 − p2)4 = 1 − 0.84 = 0.5904， 故 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0.19 + 0.5904 − 0.19 × 0.5904 = 0.6682． 23．设 0 < P (B) < 1，试证事件 A 与 B 独立的充要条件是 )|()|( BAPBAP = ． 证：必要性，若事件 A 与 B 独立， 则 )( )( )()( )( )()|( AP BP BPAP BP ABPBAP === ， )( )( )()( )( )()|( AP BP BPAP BP BAPBAP === 故 )|()|( BAPBAP = ； 充分性，若 )|()|( BAPBAP = ，有 )(1 )()( )( )( )( )( BP ABPAP BP BAP BP ABP − −== ， 则 P (AB)[1 − P (B)] = P (B)[P (A) − P (AB)]，即 P (AB) − P (AB)P (B) = P (A)P (B) − P (B)P (AB)， 故 P (AB) = P (A) P (B)，即事件 A 与 B 独立． 24．设 0 < P (A) < 1，0 < P (B) < 1， 1)|()|( =+ BAPBAP ，试证 A 与 B 独立． 证：因 )(1 )(1 )( )( )( )( )( )()|()|( BP BAP BP ABP BP BAP BP ABPBAPBAP − −+=+=+ U ， )(1 )()()(1 )( )( BP ABPBPAP BP ABP − +−−+= )](1)[( )]()()(1)[()](1)[( BPBP ABPBPAPBPBPABP − +−−+−= )](1)[( )()()]([)()()()()()( 2 BPBP BPABPBPBPAPBPBPABPABP − +−−+−= 1 )](1)[( )()()( )](1)[( )]([)()()()( 2 +− −=− −+−= BPBP BPAPABP BPBP BPBPBPAPABP ， 且 1)|()|( =+ BAPBAP ， 则 0 )](1)[( )()()( =− − BPBP BPAPABP ， 故 P (AB) = P (A) P (B)，即事件 A 与 B 独立． 25．若 P (A) > 0，P (B) > 0，如果 A, B 相互独立，试证 A, B 相容． 证：因 A, B 相互独立，有 P (AB) = P (A) P (B) > 0， 故 AB ≠ ∅，即 A, B 相容． 概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章课后习题1.1-1.3参考答案.pdf 概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章课后习题1.4参考答案.pdf 概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章课后习题1.5参考答案.pdf