小学生奥数登台阶问题

小学生奥数登台阶问题小学生奥数登台阶问题己巳贡生,843348430, 例1:小明要登10级台阶～每步登1级或2级台阶～共有多少种不同的登法, 解:我们生活中解决一个问题有许许多多的方法、途径～在我们数学中～解决一道数学题～当然也会有很多方法。我们学习数学并不是简简单单的去得到一个答案～而是要去学习如何透彻的去分析一个数学问题～探索多种方法去解决他。就上面的这道题～我们就可以通过2种途径去搞定他～可能还会有更多的方法～但我只想到了两种～具体阐述如下: 第一种方法:利用递推公式:f(n)=f(n-1)+f(n-2)(这递推公式怎么...

小学生奥数登台阶问题己巳贡生,843348430, 例1:小明要登10级台阶～每步登1级或2级台阶～共有多少种不同的登法, 解:我们生活中解决一个问题有许许多多的方法、途径～在我们数学中～解决一道数学题～当然也会有很多方法。我们学习数学并不是简简单单的去得到一个答案～而是要去学习如何透彻的去分析一个数学问题～探索多种方法去解决他。就上面的这道题～我们就可以通过2种途径去搞定他～可能还会有更多的方法～但我只想到了两种～具体阐述如下: 第一种方法:利用递推公式:f(n)=f(n-1)+f(n-2)(这递推公式怎么来的,我们可以这样理解:因为每步只能登1级或者2级～所以你要登上最后1级台阶的话～你必须站在第9级台阶上或者是第8级台阶上。这样我们就可以把登台阶的方法分为两类:第一类:在9级台阶的基础上再登1级～那么前面登9级台阶共有f(9)种方法～这类登台阶的总的方法有f(9)×1=f(9)种。第二类:在8级台阶的基础上再一次登2级～那么前面登8级台阶共有f(8)种方法。这类登台阶的方法有f(8)×1=f(8)种。再根据加法原理f(10)=f(9)+f(8) 种方法。) ,如果每步登2级或3级台阶的话递推公式就变为:f(n)=f(n-2)+f(n-3) 怎么得来的可以自己分析。, 那么根据本道题的递推公式:f(n)=f(n-1)+f(n-2)我们可以很快知道～ f,1,=1种 f(2)=2种 f(3)=f(2)+f(1)=3种 f(4)=f(3)+f(2)=5种 f(5)=f(4)+f(3)=8种 f(6)=f(5)+f(4)=13种 f(7)=f(6)+f(5)=21种 f(8)=f(7)+f(6)=34种 f(9)=f(8)+f(7)=55种 f(10)=f(9)+f(8)=89种～利用递推公式可以轻松的得到本题的答案89种方法。第二种方法:利用组合知识解答。 10=5×2+0×1, 4×2+2×1, 3×2+4×1, 2×2+6×1? 1×2+8×1? 10×1 ? 我们可以把登台阶的方法分为这样的6种: 5第一种:都是2级、2级的登==1种。 c5 4第二种:登4个2级，登2个1级台阶==15种 c6 1 3第三种:登3个2级，登4个1级台阶==35种 c7 2第四种:登2个2级，登6个1级台阶==28种 c8 1第五种:登1个2级，登8个1级台阶==9种 c9 第六种:登10个1级台阶=1种那么总得登法就=1+15+35+28+9+1=89种。例2:有一堆火柴共9跟，每次取走1~3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同的取法,(这是登台阶问题的变形，可以把取9根火柴想成是登9级台阶，每次登1~3级，共有多少种不同的登法,) 解:一样本道题我们也讲两种解法: 第一种:还是利用递推公式:f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3),递推公式怎么来的～可以自己分析:,～我们可以很快的知道: f(1)=1种 F(2)=2种 F(3)=4种 F(4)=f(3)+f(2)+f(1)=7种 f(5)=f(4)+f(3)+f(2)=13种 f(6)=f(5)+f(4)+f(3)=24种 f(7)=f(6)+f(5)+f(4)=44种 f(8)=f(7)+f(6)+f(5)=81种 f(9)=f(8)+f(7)+f(6)=149种～所以登9级台阶有149种方法。第二种方法还是利用组合的知识来解答: 9=3×3 , =2×3+1×2+1×1, =2×3+3×1 , =1×3+3×2 ? =1×3+2×2+2×1? =1×3+1×2+4×1? =1×3+6×1 ? =4×2+1×1 ? =3×2+3×1 ? =2×2+5×1 ? =1×2+7×1 ? =9×1 ? 第一种:连续登3次3级台阶～有1种方法, 32，,12第二种:登2次3级台阶～登1次2级台阶～登1次1级台阶～有cc43 种方法, 2,10第三种:登2次3级台阶～登3次1级台阶～有种方法, c5 2 1,4第四种:登1次三级台阶～登3次2级台阶～有种方法, c4 31，,30第五种:登1次3级台阶～登2次2级台阶～登2次1级台阶～有cc53种方法, 21，,30第六种:登1次3级台阶～登1次2级台阶～登4次1级台阶～有cc62种方法, 1,7第七种:登1次3级台阶～登6次1级台阶～有种方法, c7 4,5第八种:登4次2级台阶～登1次1级台阶～有种方法, c5 3,20第九种:登3次2级台阶～登3次1级台阶～有种方法, c6 2,21第十种:登2次2级台阶～登5次1级台阶～有种方法, c7 1,8第十一种:登1次2级台阶～登7次1级台阶～有种方法, c8 第十二种:登9次1级台阶～有1种方法, 所以总得方法有=1+12+10+4+30+30+7+5+20+21+8+1=149种方法。 3

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