倍长中线与截长补短法辅助线一般作法三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 方法1：过D作DG∥AE交BC于G， 方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G， 方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H 例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 提示：倍长AD至G，连接BG， 证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形BEG是等腰三角形 例4：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分∠BAC 提示： 方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD=CD（中线定义）在△ACD和△EBD中BD=CD（已证）∠1=∠2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形对应边相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB+AC>2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习 已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。二、截长补短法作辅助线要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。让我们来大显身手吧！例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点求证：AB-AC>PB-PC。思路导航要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC。证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN在△APN和△APC中AN=AC（辅助线作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共边）∴△APN≌△APC（SAS）∴PC=PN（全等三角形对应边相等）∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边）∴BP-PC<AB-AC证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM在△ABP和△AMP中AB=AM（辅助线作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共边）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形对应边相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)∴AB-AC>PB-PC。在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。求证：DE=AD+BE证明：∴∠1+∠3=90°.∴∠1+∠2=90°.∴∠2=∠3.∠ADC=∠CEB∴⊿ADC≌⊿CEB∴AD=CE,CD=BE∴DE=AD+BE∵∠ACB=90°，∵BE⊥MN，∵AD⊥MN,∴∠ADC=∠CEB=90°.在⊿ADC和⊿CEB中,AC=BC∠2=∠3∵DE=CE+CD﹛例题讲解1.在△ABC中,∠B＝2∠C,AD平分∠BAC.求证：AB+BD=ACABCDE证明：在AC上截取AE=AB，连结DE∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2,在△ABD和△AED中﹛∠1＝∠2AB=AEAD=AD∴△ABD≌△AED∴BD=DE,∠B＝∠3∵∠3=∠4+∠C∵∠B＝2∠C∴∠3=2∠C∴2∠C=∠4+∠C∴DE=CE∴BD=CE∵AE+EC=AC∴AB+BD=AC1234∴∠C＝∠4截长法例题讲解１．在△ABC中,∠B＝2∠C,AD平分BAC.求证：AB+BD=ACABCDE在AB的延长线截取BE=BD，连结DE.证明：补短法在射线AB截取BE=BD，连结DE.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以
说明
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．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．如图，AD∥BC，AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA，CD经过点E，求证：AB＝AD+BC练习在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是ABCDMN思考题在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）的结论还成立吗?ABCDMN写出你的猜想并加以证明；如图3，点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，猜想（I）的结论还成立吗?若不成立，又有怎样的数量关系？写出你的猜想并加以证明.ABCDMN
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