2019-2020年第四届“学用杯”全国知识应用竞赛八
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数学决赛
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一、（本题20分）王浩家有一间长7.5m，宽5m的客厅需要铺设地砖，王浩看中了两种地砖，甲种地砖的长与宽分别为50cm和40cm，乙种地砖的长与宽分别为40cm和25cm，每块甲种地砖的售价是每块乙种地砖售价的两倍．
（1）若不考虑铺设方法，王浩应该选购哪种地砖？
（2）若想铺设时地砖的长短方向与房间的长短方向一致，且在长短方向或宽窄方向上只允许使用一块经过裁剪的地砖，则应该选购哪种地砖，为什么？
二、（本题20分）某生活小区临街的一面有块如图1所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏．初步打算沿对角线修两条小路，把梯形分成四块，种上相同种类的花．四块地的面积分别为，一位物业工人很快看出两种需要花的棵数大致相等．
（1）你知道他是根据什么判断的吗？
（说明与之间关系的理由？）
（2）请你用学过的知识探究
三者之间的关系？
三、（本题20分）某种零件加工时，需要把两个半圆环形拼成一个完整的圆环，并确定这个圆环的圆心，在加工时首先要检测两个半圆环形是否合格．检测方法如图2所示，把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，如果在移动钢尺的过程中，钢尺的两个直角边始终和两点接触，并且直角顶点一直在圆周上，就说明这个半圆环形是合格的．
把两个合格的半圆环形拼接在一起就形成了如图3所示的一个圆环．
请你利用三角板和铅笔确定这个圆环的圆心．（在图3上作出圆心，并作必要的文字说明）
四、（本题20分）近几年，为了改善办学条件，国家鼓励多渠道办学．某人准备投资1200万的硬件建设费兴办一所中学，他对该地区的教育市场进行了调查，得出一组数据如下
表
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（以班级为单位）．
班级学生数
配备教师数
硬件建设(万元)
教师年薪(万元)
初中
50
2.0
28
1.2
高中
40
2.5
58
1.6
根据物价部门的有关规定：初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费以外每生每年可收600元．高中每生每年可收取1500元．因生源和环境等条件限制，办学规模以初、高中总共30个班为宜，每年只能招收起始年级，教师实行聘任制．初、高中教育周期为三年，请你合理地安排招生
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？（不考虑除教师年薪和硬件建设以外的支出）
五、（本题30分）材料作文
两个人轮流在一张桌面（长方形或正方形或圆形）上摆放同样大小的硬币，规则是：每人每次摆一个，硬币不能相互重叠，也不能有一部分在桌面边沿之外，摆好以后不准移动，这样经过多次摆放，直到谁最先摆不下硬币，谁就认输，按照这个规则，你用什么办法才能取胜？
初看起来，只能碰运气，其实不然，只要你先摆，并且采取中心对称策略，你就一定能取胜．取胜的秘诀是：你先把一枚硬币放在桌面的对称中心上，以后根据对方所放硬币的位置，在和它关于中心对称的位置上放下一枚硬币．这样，由于对称性，只要对方能放下一枚硬币，你就能在其对称的位置上放一枚硬币．所以一定能赢．
这个游戏对你有什么启示，你是否做过类似的游戏．请以《我这样用数学》为题写一篇400字左右的小短文．
六、（本题40分）从下列题目中任选一个，联系相识知识及现实生活，写一篇数学作文，字数控制在1000字以内．
1．正方形的自述
2．游戏与数学
3．数学增强了我的自信
4．从图形折叠中我学到了……
5．生活处处用数学
6．我与“学用杯竞赛”
加油呀！你一定能取得好成绩！
第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
八年级 决赛试题
参考答案
一、（1）若不考虑铺设方法，只考虑面积，则需用甲地砖（块）．
即188块；需用乙地砖（块）．此时选购乙地砖便宜．
（2）按要求铺设，若用甲地砖，则在长短方向上铺15块，在宽窄方向上铺完12块后，还剩半块地砖的地面没铺，这部分地面再需要8块地砖便可．这样共需要甲地砖块．若用乙地砖，在宽窄方向上铺20块，在长短方向上铺完18块后，还剩地砖的地面没铺，这部分地还需用20块地砖．因此共需要乙地砖块．由于每块甲地砖的价格是乙地砖的2倍，所以此时选购甲地砖便宜．
二、（1）（等底等高）
所以
（2）
三、由检测方法可知，如果钢尺的直角顶点在圆周上，那么，直角钢尺和圆周的另两个交点就确定圆的一个直径．
把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，把钢尺和圆周的两个交点作标记，确定圆的一个直径，再用相同的方法确定圆的另一条直径．
两条直径的交点就是圆心．
四、设初中编个班，高中编个班，则
解不等式，得．
设年利润为则
即（万元）
又．
可以看出越大越小
当时，（万元）
设经过年可收回投资
第一年收回：（万元）
第二年收回：（万元）
第三年收回：（万元）
经过年可收回投资；则
因此，学校规模初中18个班；高中12个班；第一年初中招生6个班；300人，高中招生4个班160人，从第三年开始利润34.8万元，经过36年可以收回全部投资．
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图1
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图2
图3
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浙公网安备 33021202002483